Glossaire topologique
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28089503
2008-04-01T22:33:01Z
Alecs.bot
265428
ortho, Replaced: si il → s'il
{{Annexe de|Topologie}}
Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en [[topologie]].
Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'[[espace topologique|espaces topologiques]]. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.
== Généralités ==
=== A ===
'''Accessible''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>1</sub>'''.
'''Adhérence'''
:L''''[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]]''' ou '''fermeture''' d'une partie d'un [[#E|espace topologique]] est le plus petit [[#F|fermé]] contenant celle-ci. Un point est dit '''adhérent''' à une partie s'il appartient à son adhérence.
:Voir aussi ''[[Valeur d'adhérence]]''.
=== B ===
'''Base''' ou '''base d'ouverts'''
:Une '''[[base (topologie)|base]]''' d'un [[#E|espace topologique]] est un ensemble d'[[#O|ouverts]] dont les réunions sont tous les ouverts de la [[#T|topologie]]. En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.
:Un espace est dit à '''[[Espace à base dénombrable|base dénombrable]]''' s'il admet une base d'ouverts [[ensemble dénombrable|dénombrable]].
'''Base de voisinages''' : voir ''[[#S|Système fondamental de voisinages]]''.
'''Boule'''
:Dans un [[#E|espace métrique]], la '''[[Boule (mathématiques)|boule]] ouverte''' (respectivement '''fermée''') de centre ''x'' et de rayon ''r'' (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une [[#D|distance]] de ''x'' strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à ''r''.
:Dans un [[espace vectoriel normé]], la '''boule unité''' (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.
=== C ===
'''Cauchy''' : voir ''[[#S|Suite de Cauchy]]''.
'''Compact''' : voir les [[#Axiomes de recouvrement|axiomes de recouvrement]].
'''Complet'''
:Un [[#E|espace métrique]] est dit '''[[Espace complet|complet]]''' si toute [[#S|suite de Cauchy]] est [[#C|convergente]].
'''Complètement de Hausdorff''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>2½</sub>'''.
'''Complètement normal''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>5</sub>'''.
'''Complètement régulier''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>3½</sub>'''.
'''Composante connexe'''
:La '''[[composante connexe]]''' d'un point est la plus grande partie [[#Connexité|connexe]] de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.
'''Connexe''', '''connexe par arcs''' : voir les notions de [[#Connexité|connexité]].
'''Continu'''
:Une application entre [[espace topologique|espaces topologiques]] est dite '''[[continuité|continue]]''' lorsque l'[[image réciproque]] de chaque [[#O|ouvert]] est un ouvert.
'''Contractile''' : voir les notions de [[#Connexité|connexité]].
'''Convergent'''
:Une [[suite (mathématiques)|suite]] dans un espace [[#S|séparé]] est dite '''[[convergence|convergente]]''' s'il existe un point (appelé '''[[limite]]''' de la suite) dont chaque [[#V|voisinage]] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
=== D ===
'''Dense'''
:Une partie '''[[Densité (mathématiques)|dense]]''' d'un [[#E|espace topologique]] est une partie dont l'[[#A|adhérence]] est l'espace tout entier.
'''Dérivé'''
: L''''ensemble dérivé''' ''P' '' d'un partie ''P'' d'un [[#E|espace topologique]] est l'ensemble de ses [[#P|points d'accumulation]].
'''Discontinu'''
:Une application entre [[#E|espaces topologiques]] est dite '''discontinue''' si elle n'est pas continue.
:Voir aussi ''[[#Connexité|Totalement discontinu]]''.
'''Discret'''
:Un [[#E|espace topologique]] est dit '''[[Topologie discrète|discret]]''' si toutes ses parties sont des [[#O|ouverts]]. En particulier, il est [[#Connexité|totalement discontinu]].
'''Distance'''
:Une '''[[distance (mathématiques)|distance]]''' sur un ensemble ''E'' est une application <math>d \colon E \times E \to \R^+</math> satisfaisant les propriétés suivantes :
:# la symétrie : pour tout couple ''(x, y)'' d'éléments de ''E'', <math>d(x,y) = d(y,x)</math> ;
:# la séparation : pour tout couple ''(x, y)'' d'éléments de ''E'', <math>d(x,y) = 0</math> si et seulement si <math>x=y</math> ;
:# l'inégalité triangulaire : pour tout triplet ''(x, y, z)'' d'éléments de ''E'', <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math>.
=== E ===
'''Engendrée''' : voir ''[[#T|Topologie engendrée]]''.
'''Espace de Fréchet'''
#Un '''espace de Fréchet''' est un espace topologique satisfaisant l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>1</sub>'''.
#Certains [[espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]] sont aussi dits [[espace de Fréchet|de Fréchet]].
'''Espace de Hausdorff''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>2</sub>'''.
'''Espace de Kolmogorov''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>0</sub>'''.
'''Espace de Tychonoff''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>3½</sub>'''.
'''Espace métrique'''
:Un '''[[espace métrique]]''' est un couple (''E'',''d''), où ''E'' est un ensemble, et ''d'' une [[#D|distance]] sur ''E''. En particulier, il est [[#M|métrisable]] donc [[#Axiomes de séparation|séparé]], [[#Axiomes de recouvrement|paracompact]], [[#Axiomes de séparation|normal]] et [[#Axiomes de séparation|complètement régulier]].
'''Espace polonais'''
:Un '''[[espace polonais]]''' est un espace [[#S|séparable]] et [[#M|métrisable]] par une [[#D|distance]] pour laquelle il est [[#C|complet]].
'''Espace topologique'''
:Un '''[[espace topologique]]''' est un ensemble ''E'' muni d'une [[#T|topologie]].
=== F ===
'''Faiblement normal''' : voir les [[#Axiomes de séparation|axiomes de séparation]].
'''Fermé'''
#Une partie d'un [[#E|espace topologique]] est dite '''[[Fermé (topologie)|fermée]]''' lorsque son [[complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] est un [[#O|ouvert]].<br /> L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'une [[Famille (mathématiques)|famille]] quelconque de fermés est un fermé.
#En [[géométrie]], une [[courbe]] est dite '''[[courbe fermée|fermée]]''' lorsqu'elle est [[fonction périodique|périodique]].
'''Fermeture''' : voir ''[[#A|Adhérence]]''.
'''Fin'''
:Une [[#T|topologie]] est '''plus fine''' qu'une autre sur le même ensemble si tout [[#O|ouvert]] pour la deuxième est ouvert pour la première.
'''Fonctionnellement séparés'''
:Deux parties <math> A </math> et <math> B </math> d'un [[#E|espace topologique]] <math> X </math> sont dites '''fonctionnellement séparées''' lorsqu'il existe une fonction [[#C|continue]] ''f'' : ''X'' → [0,1] telle que ''f''<sub>|''A''</sub>=0 et ''f''<sub>|''B''</sub> = 1.
'''Fréchet''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>1</sub>''', ou le type d'[[espace vectoriel topologique]] dit [[espace de Fréchet|de Fréchet]].
'''Frontière'''
:La '''frontière''' d'une partie d'un [[#E|espace topologique]] est le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] de son [[#I|intérieur]] dans son [[#A|adhérence]], autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est un [[#F|fermé]].
=== G ===
'''Grossière''' : voir ''[[#T|Topologie grossière]]''.
=== H ===
'''Hausdorff''' : : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>2</sub>''' ou ''Séparé''.
'''Homéomorphisme'''
:Un '''[[homéomorphisme]]''' entre deux espaces est une [[bijection]] [[#C|continue]] à [[application réciproque|réciproque]] continue. Deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont dits '''[[homéomorphisme|homéomorphes]]'''.
'''Homogène'''
:Un espace est dit '''[[espace homogène|homogène]]''' si le groupe des [[automorphisme]]s agit [[action de groupe (mathématiques)#Action transitive|transitivement]], autrement dit si pour tout couple de points il existe un homéomorphisme de l'espace sur lui-même qui envoie le premier point sur le deuxième. Tous les [[groupe topologique|groupes topologiques]], en particulier les [[espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]], sont des espaces homogènes.
'''Homotopie'''
:Une '''[[homotopie]]''' entre deux applications [[#C|continues]] <math> f,g : X \to Y </math> est une application continue <math> H : X\times [0,1] \to Y</math> telle que <math> \forall x \in X, H(x,0) = f(x)\; \mbox{et}\; H(x,1)=g(x) </math>. Les applications ''f'' et ''g'' sont alors dites '''homotopes'''.
=== I ===
'''Induite''' : voir ''[[#T|Topologie induite]]''.
'''Intérieur'''
:L''''[[Intérieur (topologie)|intérieur]]''' d'une partie d'un [[#E|espace topologique]] est la réunion de tous les [[#O|ouverts]] contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l'[[#A|adhérence]] de son complémentaire. Un point est '''intérieur''' à une partie si et seulement si cette partie est un [[#V|voisinage]] du point.
'''Isolé''' : voir ''[[#P|Point isolé]]''.
=== K ===
'''Kolmogorov''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>0</sub>''' ou ''Espace de Kolmogorov''.
=== L ===
'''Limite'''
:La '''[[limite]]''' d'une suite [[#C|convergente]] est son unique [[#V|valeur d'adhérence]].
'''Lindelöf''' : voir l'[[#Axiomes de recouvrement|axiome de recouvrement]] ''Espace de Lindelöf''.
'''Localement compact''' : voir les [[#Axiomes de recouvrement|axiomes de recouvrement]].
'''Localement connexe''' ou '''localement connexe par arcs''' : voir les notions de [[#Connexité|connexité]].
'''Localement fini'''
:Une [[Famille (mathématiques)|famille]] de parties d'un [[#E|espace topologique]] est dite '''localement finie''' lorsque chaque point possède un [[#V|voisinage]] qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille.
'''Localement métrisable'''
:Un espace est dit '''localement métrisable''' lorsque chaque point admet un [[#V|voisinage]] [[#M|métrisable]].
=== M ===
'''Maigre'''
:Une partie d'un [[#E|espace topologique]] est dite '''maigre''' lorsqu'elle est contenue dans une réunion [[ensemble dénombrable|dénombrable]] de [[#F|fermés]] d'[[#I|intérieur]] vide.
'''Métrique''' : voir '''[[#E|Espace métrique]]'''.
'''Métrisable'''
:Un espace est dit '''métrisable''' lorsqu'il peut être muni d'une [[#D|distance]] dont les [[#B|boules]] forment une [[#B|base d'ouverts]]. Un espace métrisable est nécessairement [[#S|séparé]] et [[#Axiomes de recouvrement|paracompact]] (et, par conséquence, [[#Axiomes de séparation|normal]] et [[#C|complètement régulier]]). Un espace à [[#B|base dénombrable]] est métrisable si et seulement s'il est [[#R|régulier]] d'après le [[lemme d'Urysohn]].
'''Moins fine''' : voir ''[[#T|Topologie moins fine]]''.
=== N ===
'''Normal''' : voir les [[#Axiomes de séparation|axiomes de séparation]].
=== O ===
'''Ouvert'''
:Un '''[[Ouvert (topologie)|ouvert]]''' est un élément d'une [[#T|topologie]].
:Un [[#R|recouvrement]] est dit '''ouvert''' lorsque tous ses éléments sont des ouverts.
:Une application entre espaces topologiques est dite '''ouverte''' lorsque l'image de chaque ouvert est un ouvert.
=== P ===
'''Paracompact''' : voir les [[#Axiomes de recouvrement|axiomes de recouvrement]].
'''Parfait'''
:Un '''[[ensemble parfait]]''' d'un [[#E|espace topologique]] est une partie [[#F|fermé]] sans [[#P|point isolé]].
'''Parfaitement normal''' : voir les [[#Axiomes de séparation|axiomes de séparation]].
'''Partition de l'unité'''
:Une '''partition de l'unité''' sur un [[espace topologique]] est un ensemble de fonctions [[#C|continues]] à valeurs dans <math> [0,1]</math> tel que chaque point possède un [[#V|voisinage]] sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions n'est pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.
'''Plus fine''' : voir ''[[#T|Topologie plus fine]]''.
'''Point d'accumulation'''
:Si ''A'' est une partie d'un [[espace topologique]], un '''[[Point d'accumulation (mathématiques)|point d'accumulation]]''' de ''A'' est un point ''x'' dont tout [[#V|voisinage]] contient un point de ''A'' distinct de ''x''. Autrement dit, un point ''x'' est un point d'accumulation de ''A'' si et seulement s'il est [[#A|adhérent]] à <math>A - \{x\}</math>.
'''Point isolé'''
:Dans un [[#S|espace séparé]], un '''[[point isolé]]''' d'une partie ''A'' est un point ''x'' de ''A'' pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre ''A'' qu'au point ''x''. Autrement dit, c'est un point de ''A'' qui n'est pas [[#P|point d'accumulation]] de ''A''.
'''Polonais''' : voir ''[[#E|Espace polonais]]''.
'''Prébase'''
:Une '''prébase''' d'une [[#T|topologie]] est un ensemble d'[[#O|ouverts]] dont l'ensemble des intersections finies constitue une [[#B|base]].
<!--On dit aussi que cette topologie est engendrée par la '''prébase'''.-->
'''Produit''' : voir ''[[#T|Topologie produit]]''.
=== Q ===
'''Quasi-compact''' : voir les [[#Axiomes de recouvrement|axiomes de recouvrement]].
'''Quotient'''
:Voir ''[[#T|Topologie quotient]]''.
=== R ===
'''Raffinement'''
:Un '''[[Raffinement (topologie)|raffinement]]''' d'un recouvrement <math>\mathcal U</math> est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de <math>\mathcal U</math>.
'''Rare'''
:Une partie d'un [[#E|espace topologique]] est dite '''[[Ensemble nulle part dense|rare]]''' lorsque son [[#A|adhérence]] est d'[[#I|intérieur]] vide, c'est-à-dire lorsque le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] de son adhérence est [[#D|dense]].
'''Recouvrement'''
:Un '''[[recouvrement]]''' d'un [[#E|espace topologique]] est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est dit '''ouvert''' lorsque tous ses éléments sont des ouverts.
'''Relativement compact'''
:Une partie d'un [[#E|espace topologique]] est dite '''relativement compacte''' lorsque son [[#A|adhérence]] est [[#Axiomes de recouvrement|compacte]].
'''Régulier''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>3</sub>'''.
=== S ===
'''Séparable'''
:Un '''[[espace séparable]]''' est un espace qui admet une partie [[#D|dense]] [[ensemble dénombrable|dénombrable]].
:Un espace [[#Axiomes de séparation|séparé]] n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.
'''Séparant'''
:Une [[famille (mathématiques)|famille]] d'[[application (mathématiques)|applications]] [[#C|continues]] entre deux espaces topologiques ''X'' et ''Y'' est dite '''séparante''' si tout couple de points distincts dans ''X'' a des images séparées dans ''Y'' par au moins l'une de ces applications.
:L'espace ''X'' est alors nécessairement séparé.
'''Séparé''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>2</sub>'''.
'''Simplement connexe''' : voir les notions de [[#Connexité|connexité]].
'''Sous-recouvrement'''
:Un '''sous-recouvrement''' d'un [[#R|recouvrement]] ''K'' est une partie de ''K'' qui est aussi un recouvrement.
'''Système fondamental de voisinages'''
:Un '''système fondamental de voisinages''' d'un point est un ensemble <math>\mathcal V</math> de voisinages de ce point tel que tout autre voisinage de ce point contient un élément de <math>\mathcal V</math>.
'''Suite de Cauchy'''
:Dans un [[#E|espace métrique]], une '''[[suite de Cauchy]]''' est une suite de points telle que pour tout réel strictement positif ''a'' il existe un rang de la suite à partir duquel la [[#D|distance]] entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure à ''a''.
=== T ===
'''T<sub>0</sub>''', '''T<sub>1</sub>''', '''T<sub>2</sub>''', '''T<sub>2½</sub>''', '''T<sub>3</sub>''', '''T<sub>3½</sub>''', '''T<sub>4</sub>''', '''T<sub>5</sub>''' : voir les [[#Axiomes de séparation|axiomes de séparation]].
'''Topologie'''
:Une [[Espace topologique|topologie]] sur un ensemble ''E'' est un sous-ensemble ''T'' de l'ensemble des parties ''E'' tel que :
:# l'ensemble ''E'' lui-même et l'[[ensemble vide]] sont des éléments de ''T'' ;
:# la [[réunion (mathématiques)|réunion]] de toute [[famille (mathématiques)|famille]] d'éléments de ''T'' est un élément de ''T'' ;
:# l'intersection de deux éléments de ''T'' est un élément de ''T''.
:Les éléments de ''T'' sont appelés les '''[[ouvert (topologie)|ouverts]]''' de cette topologie.
'''Topologie discrète'''
:La '''[[topologie discrète]]''' sur un ensemble ''E'' est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties de ''E''. C'est la plus [[#F|fine]] de toutes les topologies sur ''E''.
'''Topologie engendrée'''
:La '''topologie engendrée''' par un ensemble <math>\mathcal P</math> de parties d'un ensemble est celle dont les [[#O|ouverts]] sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de <math>\mathcal P</math>. L'ensemble <math>\mathcal P</math> constitue une [[#P|prébase]] de la topologie engendrée.
'''Topologie grossière'''
:La '''[[topologie grossière]]''' sur un ensemble ''E'' est la [[#T|topologie]] dont les seuls [[#O|ouverts]] sont l'ensemble vide et l'ensemble ''E''. C'est la moins [[#F|fine]] de toutes les topologies sur ''E''.
'''Topologie induite'''
:La '''[[topologie induite]]''' sur une partie ''A'' d'un [[#E|espace topologique]] ''E'' est l'ensemble des intersections de ''A'' avec les [[#O|ouverts]] de ''E''. C'est la topologie la moins fine sur ''A'' rendant continue l'injection canonique de ''A'' dans ''E''.
'''Topologie moins fine'''
:Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est '''moins fine''' que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).
'''Topologie plus fine'''
:Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est '''plus fine''' que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').
'''Topologie produit'''
:La '''[[topologie produit]]''' sur un [[Produit cartésien|produit]] quelconque d'[[#E|espaces topologiques]] <math>\prod_{i \in I}E_i</math> est celle dont les [[#O|ouverts]] sont les [[Famille (mathématiques)|familles]] <math>(U_i)_{i \in I}</math> où un nombre fini d'éléments <math>U_i</math> sont des ouverts des espaces topologiques correspondants et les autres sont les espaces ''E_i'' correspondants.
C'est la topologie la moins [[#F|fine]] rendant [[#C|continues]] toutes les projections <math>\pi_j \colon \prod_{i \in I}E_i \to E_j</math>.
'''Topologie quotient'''
:Si ''E'' est un espace topologique et <math>\mathfrak R</math> une [[relation d'équivalence]] sur ''E'', la '''[[topologie quotient]]''' sur l'[[espace quotient|ensemble quotient]] <math>E/\mathfrak R</math> est l'ensemble des parties de <math>E/\mathfrak R</math> dont les [[préimage]]s sont des [[#O|ouverts]] de ''E''. C'est la topologie la plus [[#F|fine]] rendant [[#C|continue]] la projection canonique, qui à tout élément de ''E'' associe sa classe d'équivalence..
'''Topologique''' : voir ''[[#E|Espace topologique]]''.
'''Totalement discontinu''' : voir les notions de [[#Connexité|connexité]].
'''Tychonoff''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>3½</sub>''' ou ''Complètement régulier''.
=== U ===
'''Uniformisable''' : voir l'[[#Axiomes de séparation|axiome de séparation]] '''T<sub>3½</sub>''' ou ''Complètement régulier''.
=== V ===
'''Valeur d'adhérence'''
:Une '''[[valeur d'adhérence]]''' d'une [[suite (mathématiques)|suite]] de points d'un [[#E|espace topologique]] est un point dont tout [[#V|voisinage]] contient une infinité de termes de la suite. Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la [[limite]] d'une [[sous-suite]].
'''Voisinage'''
:Un '''[[voisinage]]''' d'une partie ''A'' d'un [[#E|espace topologique]] est un ensemble contenant un [[#O|ouvert]] contenant lui-même ''A''. En particulier, un '''voisinage ouvert''' de ''A'' est simplement un ouvert contenant ''A''. Un '''voisinage d'un point''' ''p'' est un voisinage du singleton <math> \{ p\} </math>.
== Propriétés d'espaces topologiques ==
Les espaces topologiques peuvent être qualifiés de différentes manières en termes de [[#Axiomes de séparation|séparation]], de [[#Axiomes de recouvrement|recouvrements]] ou de [[#Connexité|connexité]].
=== Axiomes de séparation ===
Les axiomes de séparation signalent l'existence de [[#V|voisinages]] ([[#O|ouverts]] ou [[#F|fermés]]) disjoints qui séparent certaines parties [[disjoint]]es.
Certains des termes employés ici peuvent avoir été définis autrement dans la littérature ancienne (voir l'[[histoire des axiomes de séparation]]).
L'expression « axiome de séparation » en topologie ne doit pas être confondue avec l'[[Schéma d'axiomes de compréhension|axiome de séparation]] de la théorie des ensembles).
[[Espace de Kolmogorov|'''T<sub>0</sub>''' ou '''de Kolmogorov''']] : dans lequel pour tout couple de points distincts, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.
: L'espace <math>E = \{a,b\}</math> dont les ouverts sont <math>\varnothing, \{a\}, E</math> est T<sub>0</sub> mais pas T<sub>1</sub>.
[[Espace T1|'''T<sub>1</sub>''' ou '''accessible''' ou '''de Fréchet''']] : dont tous les singletons sont fermés.
:Tout point y est l'unique intersection de ses voisinages.
:Un espace E infini dont les ouverts non vides sont les complémentaires des parties finies (c'est-à-dire muni de la [[topologie cofinie]]) est T<sub>1</sub> mais pas T<sub>2</sub>.
[[Espace séparé|'''T<sub>2</sub>''' ou '''de Hausdorff''' ou '''séparé''']] : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints.
:Tout point y est l'unique intersection de ses voisinages fermés.
:Un espace séparé n'est pas nécessairement [[#S|séparable]] et réciproquement.
:On trouvera dans l'article dédié un exemple d'espace T<sub>2</sub> mais non T<sub>2½</sub>.
[[Espace complètement de Hausdorff|'''T<sub>2½</sub>''' ou '''complètement de Hausdorff''']] : dans lequel deux points distincts admettent toujours des voisinage fermés disjoints.
:L'ensemble <math>\mathbb R</math> muni de la topologie engendrée par les intervalles <math>]a,b[</math> et l'ensemble des rationnels <math>\mathbb Q</math> est T<sub>2½</sub> mais pas T<sub>3</sub>.
[[Espace régulier|'''T<sub>3</sub>''' ou '''régulier''']] : séparé et dans lequel tout fermé et tout point n'appartenant pas à ce fermé admettent des voisinages disjoints.
:Tout fermé y est l'intersection de ses voisinages fermés. Tout point admet une [[#B|base de voisinages]] fermés.
[[Espace complètement régulier|'''T<sub>3½</sub>''' ou '''de Tychonoff''' ou '''complètement régulier''' ou '''uniformisable''']] : séparé et dont tout fermé est [[#F|fonctionnellement séparé]] de tout point qu'il ne contient pas.
[[Espace faiblement normal|'''Faiblement normal''']] : complètement régulier et dans lequel deux ouverts disjoints quelconques ont deux voisinages fermés disjoints dont l'un est à [[#B|base dénombrable]].
[[Espace normal|'''Normal''']] : dans lequel deux fermés disjoints quelconques possèdent toujours des voisinages disjoints. Le [[lemme d'Urysohn]] garantit alors que ces deux fermés sont [[#F|fonctionnellement séparés]].
[[Espace T4|'''T<sub>4</sub>''']] : séparé et normal.
[[Espace complètement normal|'''T<sub>5</sub>''' ou '''complètement normal''']] : séparé et dans lequel pour toutes parties ''A'' et ''B'' telles que l'[[#A|adhérence]] de l'un n'intersecte pas l'autre, il existe deux ouverts disjoints contenant respectivement ''A'' et ''B''.
:En particulier, un espace complètement normal est '''T<sub>4</sub>'''.
[[Espace parfaitement normal|'''Parfaitement normal''']] : normal et dont tout fermé est intersection dénombrable d'ouverts.
:En particulier, un espace parfaitement normal est alors complètement normal.
=== Axiomes de recouvrement ===
Les axiomes de recouvrement traitent de l'existence de [[#R|raffinements]] ou de [[#S|sous-recouvrements]] particuliers pour un [[#R|recouvrement]] quelconque de l'espace considéré.
'''[[Espace paracompact|Paracompact]]''' : dont tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini.
:Les [[espace séparé|espaces séparés]] paracompacts sont [[espace normal|normaux]].
'''[[Espace de Lindelöf|Lindelöf]]''' : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement [[ensemble dénombrable|dénombrable]].
'''[[Quasi-compact]]''' : dont tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.
'''[[Compacité (mathématiques)|Compact]]''' : quasi-compact et [[#Axiomes de séparation|séparé]].
:Le terme ''compact'' est utilisé en anglais pour décrire un quasi-compact. Le risque de confusion peut alors amener à préciser « compact Hausdorff » pour désigner l'acception française.
:Voir aussi ''[[#R|Relativement compact]]''.
'''[[σ-compact]]''' ou '''sigma-compact''' : recouvert par une famille [[ensemble dénombrable|dénombrable]] de parties compactes.
'''[[Espace localement compact|Localement compact]]''' : dont chaque point admet un [[#S|système fondamental de voisinages]] compacts.
:Les espaces [[#Axiomes de séparation|séparés]] localement compacts sont [[#Axiomes de séparation|de Tychonoff]].
'''[[Séquentiellement compact]]''' : dans lequel toute [[suite (mathématiques)|suite]] admet au moins une [[#V|valeur d'adhérence]].
=== Connexité ===
Les hypothèses de connexité décrivent la cohésion de l'espace ou de certains voisinages, ou l'existence de déformations ([[#H|homotopies]]) entre certaines applications [[#C|continues]] vers l'espace considéré.
'''[[Connexité (mathématiques)|Connexe]]''' : qui n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.
:Voir aussi ''[[#C|Composante connexe]]''.
'''[[Espace localement connexe|Localement connexe]]''' : dont chaque point admet un [[#S|système fondamental de voisinages]] connexes.
'''[[Espace totalement discontinu|Totalement discontinu]]''' : dont les seules parties connexes sont les singletons.
'''[[Connexité par arcs|Connexe par arcs]]''' : dont tout couple de points <math>(x,y)</math> est relié par un chemin (ou arc), c'est-à-dire une application continue <math> p:[0,1]\to X </math> telle que <math> p(0)=x</math> et <math>p(1)=y </math>.
:Un espace connexe par arcs est connexe.
'''[[Espace localement connexe par arcs|Localement connexe par arcs]]''' : dont chaque point admet un [[#S|système fondamental de voisinages]] connexes par arcs.
:Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.
'''[[Espace simplement connexe|Simplement connexe]]''' : connexe par arcs et dans lequel toute application continue <math> f:S^1 \to X </math> est homotope à une application constante.
'''[[Espace contractile|Contractile]]''' : pour lequel l'[[application identité]] de <math> X </math> est homotope à une application constante.
:Les espaces contractiles sont toujours simplement connexes.
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