Gradient
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2008-07-10T09:50:10Z
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{{sources|date=date inconnue}}
[[image:Gradient2.svg|thumb|200px|Les lignes bleues représentent le gradient de couleur du plus clair vers le plus foncé]]
En [[physique]], en [[analyse vectorielle]], on définit le '''gradient''' comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En [[mathématiques]], le '''gradient''' est une quantité représentant la variation d'une fonction dépendant de plusieurs paramètres par rapport à la variation de ces différents paramètres.
Il est courant, selon la façon de noter des vecteurs, d'écrire le gradient d'une fonction <math>f</math> ainsi :
:<math>\overrightarrow{\mathrm{grad}}~f</math> ou <math>\overrightarrow{\nabla} f</math>
Souvent, en typographie, on préfère mettre un caractère en gras pour afficher son caractère vectoriel :
:<math>\mathbf{grad}~f</math> ou <math>\mathbf{\nabla f}</math>.
Le gradient est d'une importance capitale en physique, où il fut d'abord employé. Il peut être intéressant d'en voir certains exemples avant une définition plus mathématique.
{{Analyse vectorielle}}
== Le gradient de température ==
{{Article détaillé|Gradient thermique adiabatique}}
=== Gradient dans une seule direction ===
Imaginons que nous mesurions la température d'un solide, d'un liquide, d'un gaz dans une seule direction (hauteur, longueur, épaisseur). Il s'avère que la température <math>T</math> dépend de l'endroit <math>x</math> où elle est prise. On définit alors une fonction <math>T(x)</math>. On peut chercher , pour une petite variation de <math>x</math> (<math>\mathrm dx</math>), quelle serait la variation de température (dT). Celle ci s'écrit <math>\mathrm dT = T(x + \mathrm dx) - T(x)</math>.
Si on cherche à quelle variation moyenne cela correspond, il faut calculer
:<math>\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} = \frac{T(x + \mathrm dx) - T(x)}{\mathrm dx}</math>.
C'est ce qu'on appelle communément le gradient de température.
De manière très pragmatique, on peut imaginer que la température est une fonction linéaire du déplacement, alors le gradient de température devient tout simplement la variation moyenne de température en fonction du lieu
:<math>\frac{\Delta T}{\Delta x}</math>
Mais certains reconnaitront là le taux d'accroissement de la température <math>T</math> en fonction du lieu et pourront remarquer que, pour <math>\mathrm dx</math> « très petit », ce quotient se rapproche de la dérivée de la température en fonction du lieu, dérivée notée en mathématique <math>T '(x)</math> et en physique <math>\tfrac{\mathrm dT}{\mathrm dx}</math>. On appelle alors gradient de température cette dérivée.
=== Gradient de température dans trois directions différentes ===
En réalité, la température varie en fonction d'un déplacement dans l'espace donc en fonction de <math>x, y</math> et <math>z</math>. Il s'agit alors d'une fonction <math>T</math> dépendant de trois variables <math>x, y, z</math>. Un déplacement dans une des trois directions, induit une variation de température que l'on peut comme précédemment, quantifier par
:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>, <math>\frac{\partial T}{\partial y}</math>, <math>\frac{\partial T}{\partial z}</math>.
On crée alors un vecteur
:<math>\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) =\overrightarrow{ \nabla}(T)= \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}\right)</math>
de nouveau appelé gradient de température.
Bilan : nous étions partis d'une fonction de <math>\R^3</math> dans <math>\R</math> et nous aboutissons à une fonction vectorielle de <math>\R^3</math> dans <math>\R ^3</math>.
Connaissant la température à l'endroit <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, il est possible de déterminer la température en un point <math>(x_0 + \mathrm dx , y_0 + \mathrm dy , z_0 + \mathrm dz)</math>
:<math>T(x_0+\mathrm dx , y_0+\mathrm dy , z_0+\mathrm dz) = T(x_0,y_0,z_0) + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}.\mathrm dx + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dy}.\mathrm dy + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dz}.\mathrm dz</math>
En écriture condensée, cela donne
:<math>T(\vec{r_{0}}+\mathrm d\vec{r}) = T(\vec{r_{0}}) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) (\vec{r_0})\cdot \mathrm d\vec{r}</math>
où le point représente le produit scalaire des deux vecteurs
== Introduction par les éléments différentiels ==
Comme pour la [[différentielle]] dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple on examine le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.
Considérons dans le plan <math>(xOy)</math> un rectangle de côté <math>x</math> et <math>y</math>.
Sa surface est égale à <math>xy</math> et dépend des coordonnées <math>x</math> et <math>y</math> du point <math>M</math>.
En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par <math>\mathrm dx</math> une très petite variation de la variable <math>x</math>. Lorsqu'on fait subir au point <math>M</math> un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que :
: <math>S+\mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot(y+\mathrm dy)=x\cdot y +x\cdot \mathrm dy+y\cdot \mathrm dx + \mathrm dx\cdot \mathrm dy</math>
On en déduit facilement que
: <math>\mathrm dS= y\cdot \mathrm dx+x\cdot \mathrm dy+\mathrm dx\cdot \mathrm dy</math>
Une simple application numérique où <math>x</math> et <math>y</math> seraient des mètres et <math>\mathrm dx</math> et <math>\mathrm dy</math> des centimètres illustre que <math>\mathrm dx.\mathrm dy</math> est négligeable par rapport aux autres grandeurs
On peut donner un statut mathématique précis aux notations <math>\mathrm dx</math> et <math>\mathrm dy</math> (qui sont des [[forme différentielle|formes différentielles]]), et à la quantité <math>\mathrm dx.\mathrm dy</math> qui est alors ''du second ordre''. Le calcul précédent est en fait un calcul de [[développement limité]] à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction <math>xy</math> par rapport aux deux variables.
On écrit donc:
:<math> \mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot (y+\mathrm dy)-x\cdot y =y\cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy = (y,x)\cdot(\mathrm dx,\mathrm dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}</math>
:<math> \overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)</math>
Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire... un produit scalaire de deux vecteurs :
:<math> \mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot (y+\mathrm dy)-x\cdot y =y\cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{\mathrm dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}</math> où <math>\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)</math>
L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.
:<math> (y\vec i +x \vec j )\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)=0</math> pour : <math> y \mathrm dx + x \mathrm dy = 0</math> dans notre exemple du rectangle.
[[Image:gradientsurface.png|frame|center|tracé du gradient de surface et d'une courbe d'isosurface]]
Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».
== Définition mathématique ==
=== Gradient d'une fonction de <math>n</math> variables ===
Soit <math>U</math> un ouvert de <math>\R^n </math>. Soit <math>f : U \to \R</math> une [[fonction (mathématiques)|fonction]] différentiable. Soit <math>a \in U</math>, alors la [[différentielle]] en <math>a</math>, <math>\mathrm df \left( a \right)</math>, est une forme linéaire sur <math> \R^n</math>.
Le gradient en <math>a</math> de <math>f</math> est alors l'unique élément de <math>\R^n </math>, noté <math>\nabla f</math> tel que :
:<math>\forall \vec{h} \in \R^n \qquad \mathrm df ( a ) \bigl( \vec{h} \bigr) = \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)</math>.
Ici, (•|•) désigne le [[produit scalaire]].
Ainsi, le gradient de <math>f</math> au point <math>a</math> peut être écrit, ''dans la base canonique'', sous la forme :
:<math> \overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f }{\partial x_1}\left( a \right) \\
\vdots \\
\frac{\partial f }{\partial x_p}\left( a \right)
\end{pmatrix}.
</math>
Lors d'un changement de base, au travers d'un <math>C^1</math>-difféomorphisme de <math>\R^n</math>, l'expression du gradient est modifiée : par exemple si on utilise
* les [[coordonnées cylindriques]]
:<math>\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r
+ \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi}
+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}
</math>
* les [[coordonnées sphériques]]
:<math>\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r
+ \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta}
+ \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi}
</math>
=== Définition plus générale ===
Plus généralement, si <math>E</math> est un espace euclidien et <math>f</math> une fonction différentiable sur un ouvert de <math>E</math>, à valeurs réelles, on peut définir le gradient par la formule
:<math>\forall \vec{h} \in E \qquad \mathrm df (a) \bigl( \vec{h} \bigr) = \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)</math>,
puisque toute forme linéaire sur <math>E</math> peut être considérée comme l'application de produit scalaire par un vecteur de <math>E</math>.
On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une [[variété riemannienne]] <math>(M,g)</math>. Le gradient de <math>f</math> en <math>a</math> est alors un vecteur tangent à la variété en <math>a</math>, défini par
:<math>\forall \vec{h} \in T_aM \qquad \mathrm df (a) \bigl( \vec{h} \bigr) =g \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)</math>.
Enfin, si <math>f</math> est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un [[tenseur]] d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa [[dérivée covariante]] : <math>(\nabla f)_i = \partial_i f = f_{,i} = f_{;i}</math>. En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de <math>f</math> :
:<math>(\nabla f)^i = g^{ij}~f_{;j}</math>
Cette formule permet, une fois établi le [[tenseur métrique]], de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque.
==Relations vectorielles==
En [[analyse vectorielle]], le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs. Soit <math>f</math> une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe <math>C^2</math> par rapport à chaque paramètre, alors :
:<math>\frac{ \partial }{\partial t} \left( \nabla f \right) = \nabla \frac{ \partial f }{\partial t}</math> ;
:<math>\mathrm{\mathrm div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f </math>;
:<math>\overrightarrow{\mathrm{grad}} \left( \mathrm{\mathrm div} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{rot}} f \right) + \Delta f</math>;
== Voir aussi ==
{{Wiktionnaire}}
*[[Théorème du gradient]]
*[[Analyse vectorielle]]
*[[Descente de gradient]]
*[[Opérateur laplacien]]
== Références ==
* {{en}} ''Fundamentals of Differential Geometry'', Serge Lang, Springer
* {{en}} ''Elementary Differential Geometry, Revised 2nd Edition, Second Edition'', Barrett O'Neill
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:analyse vectorielle]]
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