Grandeur sans dimension
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2008-07-23T09:28:03Z
Snipre
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En [[physique]], une '''grandeur sans dimension''' est une quantité permettant de décrire une caractéristique physique sans [[dimension]] ni [[Unité de mesure|unité]] explicite d'expression. Elle est constituée du [[produit mathématique|produit]] ou [[division|rapport]] de grandeurs ayant une dimension, de telle façon que le rapport des unités équivaut à un. L'[[analyse dimensionnelle]] permet de définir ces grandeurs sans dimension. L'unité SI dérivée associée est le nombre 1<ref>[http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter2/2-2/2-2-3.html Site du Bureau international des mesures]</ref>. On trouve parmi ces grandeurs l'indice de réfraction ou la densité par exemple.
Ces grandeurs sans dimension interviennent particulièrement en [[mécanique des fluides]] et en [[phénomène de transfert]] dans la similitude des modèles réduits (ou théorie des maquettes) et l'interprétation des résultats d'essais, où elles portent le nom de '''nombres sans dimension'''.
== Liste de nombres sans dimension ==
Le principal domaine d'application des nombres adimentionnels est la mécanique des fluides. Il existe des centaines de nombres dont une grande partie réservé à des sujets très spécialisés. Une liste non-exhaustive est donnée ci-après et donne les nombres les plus courants.
{| align="center" class="wikitable center" style="text-align:center; width:90%;"
|+ '''Liste des nombres adimentionnels'''
!20%| Nom
!10%| Symbol
!40%|Domaines d'utilisation
!30%|Type de rapport
|-
| [[Nombre d'Abbe]] || V || Optique || angle de réfraction/angle de dispersion
|-
| [[Nombre d'Archimède]] || Ar || Mécanique des fluides || portance/force d'inertie
|-
| [[Nombre d'Atwood]] || A || Mécanique des fluides || différence de densités/somme de densité
|-
| [[Nombre de Bagnold]] || Ba || Mécanique des fluides, rhéologie || énergie dissipée par frottement visqueux/énergie dissipée par choc
|-
| [[Nombre de Bingham]] ||Bm ||Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Biot]] || Bi || Transfert thermique || transfert thermique dans un corps/transfert thermique à la surface du corps
|-
| [[Nombre de Bodenstein]] || Bo || Transfert de masse || transfert de masse convectif/transfert de masse diffusif
|-
| [[Nombre de Bond]] || B || Mécanique des fluides || gravité/tension superficielle
|-
| [[Nombre de Brinkman]] || Br || Transfert thermique, rhéologie || énergie des forces visqueuses dissipée/énergie dissipée par conduction
|-
| [[Nombre de Cauchy]] || Ca || Rhéologie || force d'inertie/force élastique
|-
| [[Nombre de Courant]] || Co || Informatique ||
|-
| [[Nombre de Damköhler]] || Da || Cinétique chimique || vitesse de réaction chimique/vitesse de transfert des réactifs
|-
| [[Nombre de Dean]] || D || Mécanique des fluides || force d'inertie/force visqueuse ([[nombre de Reynolds]] pour tube courbe)
|-
| [[Nombre de Deborah]] || De || Mécanique des fluides, rhéologie || temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience
|-
| [[Nombre d'Eckert]] || Ec || Mécanique des fluides || énergie cinétique d'un fluide/enthalpie du fluide
|-
| [[Nombre d'Ekman]] || Ek || Mécanique des fluides || force visqueuse/force de Coriolis
|-
| [[Nombre d'Eötvös]] || Eo || Mécanique des fluides || cf. [[Nombre de Bond]]
|-
| [[Nombre d'Euler (physique)]] || Eu || Mécanique des fluides || chute de pression/force d'inertie
|-
| [[Nombre de Fourier]] || Fo || Transfert thermique || transfert thermique par conduction/accumulation d'énergie
|-
| [[Nombre de Fresnel]] || F || Optique ||
|-
| [[Nombre de Froude]] || Fr || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Galilée]] || Ga || Mécanique des fluides || portance/force d'inertie (cf. [[nombre d'Archimède]])
|-
| [[Nombre de Grashof]] || Gr || Mécanique des fluides || portance thermique/force d'inertie
|-
| [[Nombre de Graetz]] || Gz || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Hatta]] || Ha || Cinétique chimique || vitesse de réaction chimique sans transfert de masse/transfert de masse
|-
| [[Nombre de Hagen]] || Hg || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Helmholtz]] || He || Acoustique || longueur caractéristique/longueur d'onde
|-
| [[Nombre de Jakob]] || Ja || Transfert thermique || cf. [[Nombre de Stefan]]
|-
| [[Nombre de Knudsen]] || Kn || Mécanique des fluides || distance libre/longueur caractéristique
|-
| [[Nombre de Laplace]] || La || Mécanique des fluides || tension superficielle et force d'inertie/forces visqueuse (cf. [[nombre d'Ohnesorge]])
|-
| [[Nombre de Lewis]] || Le || Transfert de masse et thermique || diffusivité massique/diffusivité thermique
|-
| [[Nombre de Mach]] || Ma || Mécanique des fluides || vitesse du fluide/vitesse du son dans le fluide
|-
| [[Nombre de Marangoni]] || Mg || Transfert thermique, mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Morton]] || Mo || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Nusselt]] || Nu || Transfert thermique || transfert thermique total/transfert thermique par conduction
|-
| [[Nombre d'Ohnesorge]] || Oh || Mécanique des fluides || force visqueuse/tension superficielle et forces d'inertie
|-
| [[Nombre de Péclet]] || Pe || Transfert thermique || transfert thermique total/transfert thermique par convection
|-
| [[Nombre de Peel]] || || ||
|-
| [[Nombre de Prandtl]] || Pr || Mécanique des fluides, transfert thermique || diffusivité de moment/diffusivité thermique
|-
| [[Nombre de puissance]] || Np || Mécanique des fluides || puissance d'agitation/force d'inertie
|-
| [[Nombre de Rayleigh]] || Ra || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Reynolds]] || Re || Mécanique des fluides || force d'inertie/force visqueuse
|-
| [[Nombre de Richardson]] || Ri || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Rossby]] || Ro || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Schmidt]] || Sc || Mécanique des fluides, transfert de masse || diffusivité de moment/diffusivité massique
|-
| [[Nombre de Sherwood]] || Sh || Transfert de masse || transfert massique total/transfert massique par diffusion
|-
| [[Nombre de Sommerfeld]] || S || ||
|-
| [[Nombre de Stanton]] || St || Transfert thermique et de masse || transfert total/transfert par convection
|-
| [[Nombre de Stefan]] || Se || Transfert thermique || énergie transférée/énergie utilisée par changement de phase
|-
| [[Nombre de Stokes]] || S || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Strouhal]] || Sr || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Taylor]] || Ta || Mécanique des fluides ||
|-
| [[Nombre de Weber]] || We || Mécanique des fluides || forces d'inertie/tension superficielle
|-
| [[Nombre de Weissenberg]] || Wi || Rhéologie || temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience
|-
| [[Nombre de Womersley]] || Wo || Mécanique des fluides || force d'inertie instationnaire/force visqueuse
|}
=== En cosmologie ===
* [[Nombre d'e-fold|Nombre d<nowiki>'</nowiki>''e''-fold]]
* [[Paramètre de densité]]
* [[Redshift]]
== Similitude des modèles réduits ==
=== Généralités ===
Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.
Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse M, la longueur L et le temps T, sera seul considéré.
Dans ces conditions, toute grandeur physique est homogène à une expression de la forme M<sup>α</sup> L<sup>β</sup> T<sup>γ</sup>. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.
Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.
Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.
=== Exemples ===
Dans l'étude de l'écoulement des fluides visqueux, on peut obtenir des résultats intéressant à partir de considérations simples basées sur les formules de dimensions des grandeurs physiques concernées. Dans le cas du mouvement d'un corps de forme donnée, la détermination complète n'exige la connaissance que de l'une de ses dimensions linéaires (rayon d'un sphère ou d'un tube de cylindre, longueur de l'un des demi-axes d'un ellipsoïde de révolution d'excentricité donnée, etc).
Prenons le cas d'écoulement permanent. Si l'on se réfère à l'équation de Navier-Stokes, les paramètres caractérisant le fluide sont: la viscosité cinématique <math>\nu = \eta / \rho</math> et les fonctions inconnues fournies par la résolution, c'est à dire la vitesse <math>\vec{v}</math> et le rapport <math>p / \rho</math>. L'écoulement dépend encore de la forme caractérisé par la dimension linéaire <math>D</math>. On vérifie aisément qu'à l'aide des grandeurs <math>V</math>, <math>D</math> et <math>\nu</math>, on peut former qu'une seule combinaison indépendante sans dimension. Cette combinaison sans dimension est le [[nombre de Reynolds]]:
<center><math>Re = {{V D} \over \nu}</math></center>
Tout autre paramètre sans dimension peut être représenté par une fonction de <math>Re</math>. Si l'on mesure les longueurs en unité <math>D</math> et les vitesses en unité <math>V</math> revient à introduire les quantités sans dimension: <math>\vec{r} / D</math> et <math>\vec{v} / V</math>. Comme le seul paramètre sans dimension est le nombre de Reynolds, on conçoit que la distribution des vitesses résultant de la résolution des équations hydrodynamique soit décrite par des fonctions de la forme:
<center><math>\vec{v} = V \cdot f({\vec{r} \over D}, Re)</math></center>
Cette expression montre que dans deux écoulements différents mais du même type les vitesses <math>\vec{v} / V</math> sont des fonctions identiques du rapport <math>\vec{r} / D</math> à condition que les nombres de Reynolds de ces écoulements soient les mêmes. Les modifications de l'échelle de mesure des coordonnées et des vitesses sont dits semblables. Par conséquent, deux écoulements de même type, caractérisés par le même nombre de Reynolds sont semblable. C'est la loi dite de similitude énoncé par [[Osborne Reynolds|O. Reynolds]] en 1883.
Une formule analogue peut être établie en ce qui concerne la distribution de pression <math>p</math>. Nous constatons que <math>p \over {\rho V^2}</math> est sans dimension. Nous pouvons donc affirmer que:
<center><math>p = \rho V^2 \cdot f({\vec{r} \over D}, Re)</math></center>
Nous pouvons appliquer le même raisonnement aux grandeurs ne dépendant pas des coordonnées. Par exemple, le force de résistance <math>F</math> s'exerçant sur le corps placé dans un écoulement de fluide. Nous pouvons alors dire que:
<center><math>F = \rho V^2 D^2 \cdot f(Re)</math></center>
Si la force de pesanteur affecte notablement le mouvement, celui-ci dépendra non plus de trois mais de quatre paramètres: <math>D</math>, <math>V</math>, <math>\nu</math> et <math>g</math>. Nous pouvons alors former deux combinaisons: le nombre de Reynolds et le [[nombre de Froude]] définit par:
<center><math>Fr = {V \over {\sqrt{D g}}}</math></center>
Les fonctions <math>f</math> du nombre de Reynolds données précédemment dépendront alors de <math>Re</math> et <math>Fr</math> et les écoulements ne seront semblable que si ces deux nombres y sont égaux.
Pour un écoulement non permanent, il faudra ajouter la grandeur <math>\tau</math>: intervalle de temps caractéristique au cours duquel cet écoulement varie. Nous pouvons alors former deux quantités sans dimensions: le nombre de Reynolds et le [[nombre de Strouhal]] définit par:
<center><math>Sr = {D \over {V \tau}}</math></center>
La similitude des écoulements implique alors l'égalité de chacun de ces nombres dans les deux écoulements.
Si on considère l'écoulement d'un fluide dont la caractéristique essentielle est la compressibilité, l'expérience montre que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie, sont la vitesse <math>V</math> de l'écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité du son dans le fluide notée <math>a</math>. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s'en déduit immédiatement, c'est le [[nombre de Mach]]:
<center><math> Ma = {V \over a}\,</math></center>
=== Commentaire ===
Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité. Dans ce cas il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique déduite d'autres expériences.
== Interprétation des résultats d'essais ==
Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.
Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le [[théorème de Buckingham]] mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont
* la force F de dimension MLT<sup>-2</sup>,
* une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
* l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
* la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT<sup>-1</sup>,
* la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML<Sup>-3</sup>,
* sa viscosité μ de dimension ML<sup>-1</sup>T<sup>-1</sup>.
Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :
<center><math> F = f(D,\theta,V,\rho,\mu)\,</math></center>
Cette fonction peut être considérée comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient k sans dimension :
<center><math> F = \sum k {D^\alpha \theta^\beta V^\gamma \rho^\delta \mu^\epsilon}</math></center>
Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :
<center><math> F =\rho D^2 V^2 \sum k ({{\rho V D} \over \mu})^{-\epsilon} \theta^\beta</math></center>
qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D<sup>2</sup> :
<center><math> F = {1 \over 2} C({{\rho V D} \over \mu},\theta) \rho A V^2</math></center>
Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.
Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :
<center><math> {F \over {{1 \over 2} \rho A V^2}} = C({{\rho V D} \over \mu},\theta)</math></center>
== Notes et références ==
<references /> <!-- aide : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Notes et références -->
== Voir aussi ==
* [[effet d'échelle]]
*[[Équation aux dimensions]]
*[[Analyse dimensionnelle]]
*[[Unité réduite]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Concept fondamental de la physique]]
[[Catégorie:Métrologie]]
[[Catégorie:Grandeur sans dimension|*]]
[[bs:Bezdimenzionalne veličine]]
[[ca:Nombre adimensional]]
[[cs:Bezrozměrná veličina]]
[[de:Dimensionslose Kennzahl]]
[[en:Dimensionless quantity]]
[[es:Magnitud adimensional]]
[[fi:Dimensioton suure]]
[[he:גודל חסר ממד]]
[[it:Gruppo adimensionale]]
[[ja:無次元数]]
[[nl:Dimensieloos getal]]
[[pl:Liczby podobieństwa]]
[[simple:Dimensionless quantity]]
[[sl:Brezrazsežna količina]]
[[sv:Dimensionslös storhet]]
[[zh:无量纲]]