Groupe abélien 15664 31098775 2008-06-28T16:37:06Z Necrid Master 30919 En [[algèbre générale]], un '''groupe abélien''', ou '''groupe commutatif''', est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] <math>(\mathcal G, \star)</math> où la [[loi de composition interne]] <math>\star</math> est [[Commutativité|commutative]], c’est-à-dire que pour tous les éléments <math>a, b \in \mathcal G</math>, on a <math>a \star b = b \star a</math>. Les groupes abéliens portent le nom de [[Niels Henrik Abel]]. == Notations habituelles == Il y a deux notations courantes pour les groupes abéliens : la notation [[Addition|additive]] et la notation [[Multiplication|multiplicative]]. {| class="wikitable" |- ! Convention ! Opération ! Identité ! Puissance ! Inverse ! [[Somme directe]]/produit |- ! Addition | ''x'' + ''y'' || 0 || ''nx'' || &minus;''x'' || ''G'' &oplus; ''H'' |- ! Multiplication | ''x'' * ''y'' ou ''xy'' || ''e'' ou 1 | ''x''<sup>''n''</sup> | ''x''<sup> &minus;1</sup> || ''G'' &times; ''H'' |} La notation multiplicative est la notation habituelle pour les groupes, la notation additive étant préférée pour les [[Module sur un anneau|modules]]. La notation additive est également courante lorsque les groupes abéliens sont étudiés à part des autres groupes. == Exemples == Des exemples de groupes abéliens incluent les [[Génération d'un groupe#Groupe monogène|groupes monogènes]] tels que l'ensemble des [[entier relatif|entier]]s <math>(\mathbb Z, +)</math> et l'ensemble des [[congruence sur les entiers|entiers modulo ''n'']] <math>(\mathbb Z/ n\mathbb Z, +)</math>. L'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]], <math>\mathbb R</math>, forme un groupe abélien avec l'[[addition]] ; de même que l'ensemble des nombres réels non nuls,<math>\mathbb R^*</math>, pour la [[multiplication]]. De la même façon tout [[corps (mathématiques)|corps]] <math>\mathbb K</math> ''renferme'' deux groupes, <math>(\mathbb K, +)</math> muni de ''l'addition'' sur ce corps et <math>(\mathbb K^*, .)</math> privé de l'[[Loi de composition interne#Éléments particuliers|élément absorbant]] muni de la ''multiplication'' sur ce corps. Un autre exemple important est celui du [[groupe quotient]] <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>. Si ''n'' est un [[entier naturel]] et ''x'' est un élément d'un groupe abélien <math>\mathcal G</math>, alors ''nx'' peut être défini comme ''x'' + ''x'' + ... + ''x'' (''n'' sommes) et (-''n'')''x'' = -(''nx''). De cette façon, <math>\mathcal G</math> devient un [[module (mathématiques)|module]] sur l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] <math>\mathbb Z</math> des entiers. En fait, les modules sur <math>\mathbb Z</math> peuvent être identifiés avec les groupes abéliens. Les théorèmes sur les groupes abéliens peuvent souvent être généralisés en théorèmes sur les modules sur un [[anneau principal]]. Un exemple est la classification des [[groupe abélien de type fini|groupes abéliens de type fini]]. == Propriétés == Tout [[sous-groupe]] d'un groupe abélien est un [[sous-groupe distingué]], et ainsi les groupes quotients peuvent être formés librement. Les sous-groupes, les groupes quotients, les [[produit de groupes|produits]] et les [[somme directe de groupes|sommes directes]] de groupes abéliens, sont aussi abéliens. Si ''f'', ''g'' : ''G'' → ''H'' sont deux [[homomorphisme de groupe|homomorphismes]] entre groupes abéliens, alors leur somme ''f''+''g'', définie par (''f''+''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x''), est aussi un homomorphisme. (ce qui n'est pas vrai si ''H'' n'est pas un groupe abélien). L'ensemble Hom(''G'', ''H'') de tous les homomorphismes de groupes de ''G'' vers ''H'' devient ainsi lui-même un groupe abélien. Les groupes abéliens, conjointement avec les homomorphismes, forment une [[catégorie]], prototype d'une [[catégorie abélienne]]. == Rang == Quelque peu apparenté à la [[dimension]] d'un [[espace vectoriel]], tout groupe abélien a un [[rang d'un groupe abélien|rang]]. Le rang est défini comme le [[Nombre cardinal|cardinal]] du plus grand ensemble d'éléments [[linéairement indépendant]]s du groupe. Les ensembles des nombres entiers et des nombres rationnels respectivement ont un rang égal à un. Alors que les rangs des groupes abéliens finis sont bien compris, les rangs des groupes infinis peuvent être extrêmement complexes et encore beaucoup de questions en suspens subsistent, souvent intimement liées à des questions de la [[théorie des ensembles]]. == Topologie == Beaucoup de grands groupes abéliens portent une [[topologie]] naturelle, les transformant en des [[groupe (mathématiques)|groupe]]s topologiques. {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Groupe|Abelien]] [[bn:আবেলীয় গ্রুপ]] [[ca:Grup abelià]] [[cs:Abelova grupa]] [[da:Abelsk gruppe]] [[de:Abelsche Gruppe]] [[el:Αβελιανή ομάδα]] [[en:Abelian group]] [[eo:Komuta grupo]] [[es:Grupo abeliano]] [[et:Abeli rühm]] [[fa:گروه آبلی]] [[fi:Abelin ryhmä]] [[he:חבורה אבלית]] [[hr:Abelova grupa]] [[hu:Abel-csoport]] [[it:Gruppo abeliano]] [[ja:アーベル群]] [[ko:아벨군]] [[nl:Abelse groep]] [[nn:Abelsk gruppe]] [[no:Abelsk gruppe]] [[nov:Abelan grupe]] [[pl:Grupa przemienna]] [[pt:Grupo abeliano]] [[ro:Grup abelian]] [[ru:Абелева группа]] [[sk:Abelovská grupa]] [[sl:Abelova grupa]] [[sr:Абелова група]] [[sv:Abelsk grupp]] [[ta:பரிமாற்றுக் குலம்]] [[vi:Nhóm giao hoán]] [[zh:阿贝尔群]] [[zh-classical:交換群]]