Groupe abélien fini 1860552 28664062 2008-04-15T10:12:13Z 81.64.113.84 [[Image:Leopold Kronecker.jpg|250px|thumb|right|Leopold Kronecker <small>(1823-1891)</small>]] En [[mathématiques]] et plus précisément en [[algèbre]], les '''groupes abéliens finis''' correspondent à une sous-catégorie de la [[catégorie]] des [[groupe (mathématiques)|groupes]]. Un '''groupe abélien fini''' est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] [[groupe abélien|commutatif]] dont le [[Nombre cardinal|cardinal]] est [[groupe fini|fini]]. Il correspond à un cas particulier, celui des [[groupe abélien de type fini|groupes abéliens de type fini]]. Ce concept dispose néanmoins d'une histoire propre et de nombreuses applications spécifiques, aussi bien théoriques comme en [[arithmétique modulaire]] qu'industrielles comme pour les [[code correcteur|code correcteurs]]. Ces groupes vérifient une propriété forte : le [[théorème de Kronecker]] qui indique qu'ils sont tous des [[produit direct (groupes)|produits directs]] de [[groupe cyclique|groupes cycliques]]. == Histoire == [[Image:Niels Henrik Abel (detail).jpeg|thumb|150px|left|Niels Abel 1802-1829]] [[Image:evariste galois.jpg|thumb|150px|right|Évariste Galois 1811-1832]] En [[1824 en science|1824]], le mathématicien norvégien [[Niels Henrik Abel]] <small>([[1802 en science|1802]] [[1829 en science|1829]])</small> publie, à ses propres frais un petit texte de six pages<ref>[[Niels Henrik Abel]] ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'' 1824</ref> étudiant la question de la résolution de l'équation générale du cinquième degré. Il met en évidence l'importance du caractère [[Commutativité|commutatif]] d'un ensemble de permutations. Un groupe commutatif porte maintenant le terme d'''abélien'' en référence à cette découverte. [[Évariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]] [[1832 en science|1832]])</small> étudie la même question. En [[1831 en science|1831]], il utilise<ref>[[Evariste Galois]] ''sur les conditions de résolubilité des équations algébriques'' 1846 Journal de Liouville</ref> pour la première fois le terme de ''groupe formel''. Cet article est publié quinze ans plus tard par le mathématicien [[Joseph Liouville]] <small>([[1809 en science|1809]] [[1882 en science|1882]])</small>. Durant la deuxième moitié du [[XIXe siècle]], l'étude des groupes finis apparait essentiel, initialement pour le développement de la [[théorie de Galois]]. De nombreuses années sont néanmoins nécessaires pour définir cette notion de groupe formel. Kronecker est un acteur de cette axiomatisation. Il donne<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen'' Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft. pp. 881–889 Berlin 1870</ref> en [[1870 en science|1870]] une définition équivalente à celle maintenant utilisée pour un groupe abélien fini. La définition générale est souvent attribuée à [[Heinrich Weber]]<ref>[[Heinrich Weber]] ''Lehrbuch der Algebra'' Braunschweig 1896</ref> <small>([[1842 en science|1842]] [[1913 en science|1913]])</small>. En [[1853 en science|1853]] [[Leopold Kronecker]] <small>([[1823 en science|1823]] [[1891 en science|1891]])</small> annonce que les [[extension finie|extensions finies]] des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] ayant un [[groupe de Galois]] abélien sont les sous-corps des [[extension cyclotomique|extensions cyclotomiques]]<ref>[[Leopold Kronecker]] ''Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression x<sup>n</sup> - 1'' Œuvres Tome 1 p 75 1854</ref>. Sa démonstration du théorème maintenant connu sous le nom de [[théorème de Kronecker-Weber]] est fausse, il faudra les apports de [[Richard Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]] [[1916 en science|1916]])</small>, Heinrich Weber<ref>[[Heinrich Weber]] ''Theorie der Abel'schen Zahlkörper'' Acta Math T VIII et IX 1886 et 1887</ref> et enfin [[David Hilbert]]<ref>[[David Hilbert]] ''Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper'' Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen 1896</ref><small>([[1862 en science|1862]] [[1943 en science|1943]])</small> pour une preuve rigoureuse. Ce contexte est celui qui amena Kronecker à démontrer le théorème fondamental des groupes abéliens finis qui porte maintenant son nom dans son article de 1870. == Propriétés == === Propriétés élémentaires === :* ''Tout [[groupe cyclique]] est un groupe abélien fini''. :* ''Tout [[sous-groupe]] d'un groupe abélien fini est abélien et fini''. :* ''Tout [[groupe quotient]] d'un groupe abélien fini est abélien fini''. :* ''Tout [[produit direct (groupes)|produit direct]] d'une famille finie de groupes abéliens finis est un groupe abélien fini.'' La première propriété est démontrée dans le paragraphe [[Groupe cyclique#Théorème fondamental|Théorème fondamental]] de l'article [[groupe cyclique]], les autres sont le propre des [[groupe abélien|groupes abéliens]] et des [[groupe fini|groupes finis]]. === Théorème de Kronecker === {{Loupe | Théorème de Kronecker}} Dans le reste de l'article, ''G'' désigne un groupe abélien fini : :* ''Il existe une suite d'entiers strictement positifs (''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,...,''a''<sub>k</sub>) tel que ''G'' est isomorphe au [[Produit direct (groupes)|produit direct]] des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite. Il existe donc la suite suivante isomorphe au groupe ''G'': <center><math>G\approx \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/a_k\mathbb{Z}</math></center> :* Si la suite (a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>k</sub>) est choisie de tel sorte que a<sub>i+1</sub> divise a<sub>i</sub> pour tout i entier entre 1 et k - 1, alors la suite est unique. Les éléments de cette suite sont appelés '''facteurs invariants'''. Ce théorème est démontré dans l'article détaillé. === Conséquences du théorème de Kronecker === La définition suivante permet d'obtenir une autre décomposition : :* Soit ''p'' un nombre premier, un groupe abélien est dit de '''p-torsion''' si tous ses éléments sont d'ordre une puissance de p. Dans le cas des groupes finis un groupe de p-torsion correspond exactement à la notion de [[p-groupe]]. :* ''Il existe une et une unique décomposition de G en produit de groupes de ''p''<sub>i</sub>-torsions fini, à l'ordre près. Ici (''p''<sub>i</sub>) désigne une famille de [[nombre premier|nombres premiers]]''. Il existe aussi une autre décomposition plus fine : :* ''Il existe une unique décomposition de G en produit de cycles d'ordre une puissance d'un nombre premier.'' On dispose de plus, de la propriété suivante : :* ''Soit ''d'' un diviseur de l'ordre de ''G'', il existe un sous-groupe de ''G'' d'ordre ''d''.'' {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu= :* '''Il existe une et une unique décomposition de G en produit de groupes de ''p''<sub>i</sub>-torsions fini, à l'ordre près.''' :: ''Existence'' Le théorème de Kronecker limite la démonstration au cas d'un groupe cyclique. En effet, comme tout groupe abélien fini est un produit de groupes cycliques, et que le produit direct d'un nombre fini de p-groupes est un p-groupe, il suffit alors de regrouper tous les p-groupes obtenus. Le [[Théorème des restes chinois|théorème chinois]] indique que si ''a'' et ''b'' sont deux entiers [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] alors [[Anneau Z/nZ|''Z''/''ab''.''Z'']] est isomorphe à ''Z''/''a''.''Z'' x ''Z''/''b''.''Z''. Il permet de conclure. :: ''Unicité'' Il suffit pour cela de remarquer que le ''p''<sub>i</sub>-groupe est formé des éléments dont l'ordre est une puissance de ''p''<sub>i</sub>. :* '''Il existe une unique décomposition de G en produit de cycles d'ordre une puissance d'un nombre premier.''' La proposition précédente limite la démonstration à l'existence et l'unicité d'une décomposition en produit direct de cycles pour un ''p''-groupe. : L'existence est une conséquence directe du théorème de Kronecker. : L'unicité se démontre par récurrence. :: Si le p-groupe est de cardinal ''p'', alors il n'admet pas de sous-groupe et sa décomposition est unique. :: Supposons la démonstration établie à l'ordre ''p''<sup>k</sup>, montrons qu'elle est aussi vraie à l'ordre ''p''<sup>k + 1</sup>. Soit ''p''<sup>l</sup> l'[[exposant d'un groupe|exposant]] du ''p''-groupe, toute décomposition en produit de cycle contient au moins un groupe cyclique d'ordre ''p''<sup>l</sup> et ne contient aucun cycle d'ordre ''p''<sup>m</sup> avec ''m'' > ''l'' (sinon l'exposant serait égal à ''p''<sup>m</sup>). La démonstration du théorème de Kronecker montre qu'il existe une unique décomposition du ''p''-groupe en un groupe cyclique d'ordre ''p''<sup>l</sup> et d'un sous-groupe ''G'. ''L'hypothèse de récurrence montre l'unicité de la décomposition du groupe ''G' ''et termine la démonstration. :* '''Il existe un sous-groupe de ''G'' d'ordre ''d''.''' Soit ''g'' l'ordre du groupe ''G'', le théorème de Kronecker indique qu'il existe un isomorphisme entre ''G'' et un produit de cycles : <center><math>G \approx \prod_i C_i </math></center> soit ''c''<sub>i</sub> l'ordre de ''C''<sub>i</sub>, le produit des ''c''<sub>i</sub> est égal à ''g'', donc il existe une famille d'entiers ''d''<sub>i</sub> tel que ''d''<sub>i</sub> divise ''c''<sub>i</sub> et que le produit des ''d''<sub>i</sub> soit égal à ''d''. Il existe un sous-groupe ''D''<sub>i</sub> de ''C''<sub>i</sub> d'ordre ''d''<sub>i</sub> ''(cf troisième proposition du paragraphe [[Groupe cyclique#Théorème fondamental|Théorème fondamental]] de l'article [[Groupe cyclique]])''. Le produit des sous-groupes ''D''<sub>i</sub> est isomorphe à un sous-groupe de ''G'' d'ordre ''d''. }} == Applications == === Analyse harmonique === {{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}} Un groupe abélien fini possède des [[caractère d'un groupe fini|caractères de groupe]] remarquables, les caractères du groupe sont isomorphes au groupe lui-même. La théorie de l'[[analyse harmonique]] est alors simple à établir. Il est ainsi possible de définir la [[transformation de Fourier]] ou le [[produit de convolution]]. Les résultats usuels comme l'[[égalité de Parseval]], la [[théorème de Plancherel]] ou encore la [[formule sommatoire de Poisson]] sont vérifiés. === Arithmétique modulaire=== {{Article détaillé|Arithmétique modulaire|Symbole de Legendre}} [[Image:Louis Legendre.jpg|thumb|Adrien-Marie Legendre{{référence nécessaire}}]] [[Image:johann_dirichlet.jpg|thumb|left|Gustav Lejeune Dirichlet]] Une structure largement utilisé en [[théorie algébrique des nombres]] est celle de [[Anneau Z/nZ|''Z''/p''Z'']] et particulièrement son [[groupe des unités]]. Cette approche est la base de l'arithmétique modulaire. Si p est un [[nombre premier]], alors le groupe multiplicatif est cyclique d'ordre ''p'' - 1. Dans le cas contraire, le groupe des unités est encore abélien et fini. Il aide à la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme le [[petit théorème de Fermat]], ainsi que la généralisation d'[[Théorème d'Euler (nombres)|Euler]]. Il est aussi utilisé dans la démonstration du [[théorème des deux carrés de Fermat]] par [[Richard Dedekind]]. L'analyse harmonique sur les groupes abéliens finis possèdent aussi de nombreuses applications en arithmétique. Elle correspondent à la formalisation moderne de résultats démontrés par des mathématiciens comme [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]] [[1855 en science|1855]])</small> ou [[Adrien-Marie Legendre]] <small>([[1752]] [[1833 en science|1833]])</small>. Le [[symbole de Legendre]] apparait maintenant comme un caractère d'un groupe cyclique, donc abélien et fini, à valeur dans {-1, 1}. Les [[somme de Gauss|sommes]] ou les [[période de Gauss|périodes de Gauss]] s'exprime aussi à l'aide de caractères sur un groupe abélien fini, ce qui permet de les calculer. Cette approche est à la base d'une démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]]. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]] - [[1859 en science|1859]])</small> s'intéresse à une conjecture de Gauss et Legendre : toute classe du [[groupe des unités]] de l'[[anneau Z/nZ]] contient une infinité de nombres premiers. [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]] - [[1783]])</small> propose bien une méthode, à travers le [[produit eulérien]] pour répondre, cependant les nombres premiers recherchés sont tous localisés dans une unique classe. Dirichlet utilise l'analyse harmonique pour démontrer ce théorème maintenant connu sous le nom de [[théorème de la progression arithmétique]]. Ses travaux sont fondateurs de la [[théorie analytique des nombres]]. === Théorie de Galois === {{Article détaillé|Théorème d'Abel-Ruffini}} [[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|160px|Carl Friedrich Gauss]] [[Image:Heptadecagone.jpg|thumb|left|160px|Construction de l'Heptadécagone]] Les groupes abéliens finis ont un rôle particulier dans la théorie de Galois. Une conséquence du théorème d'Abel-Ruffini est que tout [[polynôme]] ayant un [[groupe de Galois]] abélien est résoluble par radicaux. La réciproque est un peu plus complexe, le groupe ne doit pas être nécessairement abélien mais [[groupe résoluble|résoluble]]. Le [[corps de décomposition]] d'un tel polynôme est une [[extension abélienne]], c'est-à-dire une extension dont le groupe de Galois est abélien. Ce résultat rend donc les extensions abéliennes et leur groupe particulièrement intéressant. C'est la raison pour laquelle les mathématiciens du {{XIXe siècle}} ont cherché à démontrer le théorème de Kronecker-Weber avec tant d'assiduité. Bien avant les découvertes de Galois Kronecker et Weber, Gauss avait utilisé un cas particulier : l'[[polynôme cyclotomique|équation cyclotomique]] d'indice 17 pour trouver une méthode de [[construction à la règle et au compas]] de l'heptadécagone, c'est-à-dire du polygone régulier à 17 cotés. Le fait que le groupe de Galois du polynôme soit abélien est un élément essentiel de la méthode. === Corps fini === {{Article détaillé|Corps fini}} Un corps fini ''F''<sub>d</sub> est construit sur deux structures de groupes différentes celle additive (''F''<sub>d</sub>, + ) qui est un produit d'un même groupe cyclique d'ordre un [[nombre premier]] et (''F''<sub>d</sub><sup>*</sup>, . ) qui est un groupe cyclique. === Théorie de l'information === {{Article détaillé|Théorie de l'information}} [[Image:CD autolev crop.jpg|180px|thumb|right|Les ''CD'' utilisent un code de Reed-Solomon]] Au {{XXe siècle}}, les groupes abéliens finis prennent une importance particulière grâce à la naissance de la [[théorie de l'information]]. Ils sont utilisés à la fois pour la [[cryptologie]] et les [[code correcteur|codes correcteurs]]. En cryptologie, les groupes cycliques à la base de nombreux algorithmes. L'arithmétique modulaire permet, par exemple, d'obtenir des [[Test de primalité|tests de primalité]] comme celui de [[Test de primalité de Fermat|Fermat]], ou de [[Test de primalité de Miller-Rabin|Miller-Rabin]]. L'utilisation des groupes abéliens finis ne s'arrête pas là. Une structure essentielle est celle d'un [[espace vectoriel]] de cardinal fini, donc sur un corps fini et de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] fini. Elle correspond à un groupe abélien fini et permet de définir une [[analyse harmonique sur un espace vectoriel fini|analyse harmonique particulière]]. Si le corps contient deux éléments, les fonctions de l'espace vectoriel dans le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] prend le nom de [[fonction booléenne]] et la transformée de Fourier celui de ''transformée de Walsh''. La cryptologie utilise largement les fonctions booléennes et la transformée de Walsh, par exemple pour l'étude des [[S-Box|boîtes-S]]. La théorie des codes correcteurs et particulièrement celle des [[code linéaire|codes linéaires]] n'est pas en reste. Elle utilise, par exemple, l'analyse harmonique sur les espaces vectoriels finis quelconques pour l'analyse d'un code dual à travers l'[[identité de Mac Williams]]. Le code utilisé pour les [[disque compact|disques compacts]] est de type [[Code de Reed-Solomon|Reed-Solomon]], il utilise un espace vectoriel sur un corps à 256 éléments, une structure fondée sur de multiples groupes abéliens finis. == Notes et références == ===Notes=== <references /> ===Liens externes=== * {{en}} [http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/9302/group.html A history of Group theory] par William Comb * {{fr}} [http://www.mat.ulaval.ca/fileadmin/Cours/MAT-10393/histoire_2007.pdf Un ensemble de mathématiciens de l'antiquité à aujourd'hui] par J-M de Koninck et B R Hodgson * {{fr}} [http://math.univ-lyon1.fr/~ducloux/enseignement/maitrise/algebre/chap4.pdf Groupes abéliens] cours d'algèbre de l'Université Claude Bernard Lyon I, par Fokko du Cloux * {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/c/a/node21.php3 Groupe abélien] sur les mathématiques.net ===Références=== :S. Lang ''Algebre'' Dunod 2004 :J.F. Labarre ''La theorie des groupes'' Presses Universitaires de France (PUF) 1978 :{{Samuel1}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie des groupes]]