Groupe alterné
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2008-06-07T18:57:39Z
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{{ébauche|mathématiques}}
En mathématiques, les '''groupes alternés''' sont les [[groupe (mathématiques)|groupes]] formés par les [[permutation paire|permutations paires]] d'un ensemble fini, sous-groupes des [[groupe symétrique|groupes symétriques]] correspondants. Le groupe alterné correspondant à l'ensemble {1,...,''n''} est appelé groupe alterné d'indice ''n'' et noté <math>{\mathfrak A}_n</math>.
Ainsi le groupe alterné d'indice 4 est l'ensemble formé des permutations identique et (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).
== Propriétés ==
Pour ''n>1'', le groupe alterné d'indice ''n'' est un [[sous-groupe distingué]] du [[groupe symétrique]], puisque c'est le noyau d'un morphisme de groupes : la signature. Il est d'indice 2, donc de cardinal ''n''!/2.
Toute permutation paire peut s'écrire comme un produit de [[permutation circulaire|3-cycles]], ce qui signifie que les 3-cycles forment un système de générateurs du groupe alterné.
Ce groupe est abélien si et seulement si ''n'' ≤ 3 ; c'est un [[groupe simple]] si et seulement si ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. Ainsi <math>{\mathfrak A}_5</math> est le plus petit groupe simple non abélien, d'ordre 60, et le plus petit [[groupe résoluble|groupe non résoluble]].
== Voir aussi ==
* [[permutation]]
* [[groupe symétrique]]
* [[signature d'une permutation]]
=== Références ===
* {{Perrin1}}
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Groupe remarquable|Alterné (groupe)]]
[[Catégorie:Permutation]]
[[da:Alternerende gruppe]]
[[de:Alternierende Gruppe]]
[[en:Alternating group]]
[[fi:Alternoiva ryhmä]]
[[he:חבורת התמורות הזוגיות]]
[[pl:Grupa alternująca]]