Groupe d'espace
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2008-01-19T01:43:27Z
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robot Modifie: [[de:Raumgruppe]]
Le '''groupe d'espace''' d'un [[cristal]] est une description mathématique de la [[symétrie]] d'une [[structure cristalline]]. Il s'agit d'un [[groupe (mathématiques)|groupe]] au sens mathématique du terme.
Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un [[groupe ponctuel de symétrie]] et d'un [[réseaux de Bravais|réseau de Bravais]].
Différentes notations sont utilisées pour représenter un groupe d'espace : les principales sont les ''notations de [[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]]'' et de ''[[Schoenflies]]''.
L'[[Union internationale de cristallographie]] publie des [[Tables internationales de cristallographie]] où chaque groupe d'espace et ses opérations de symétrie sont représentés graphiquement et mathématiquement.
==Principe de détermination des groupes d'espace==
L'ensemble des groupes d'espace résulte de la combinaison d'une unité de base (ou motif) avec des opérations ponctuelles de symétrie ([[symétrie|réflexion, rotation et inversion]]), auxquelles s'ajoutent des opérations de [[translation (géométrie)|translation]], translation dans le plan ou combinée à une réflexion ou une rotation.
Cependant le nombre de groupes distincts est inférieur à celui des combinaisons, certaines étant isomorphes, c'est-à-dire conduisant au même groupe d'espace. Ce résultat peut être démontré mathématiquement par la [[théorie des groupes]].
Les opérations de translation comprennent :
:* la translation selon les vecteurs de base du réseau, qui fait passer d'une [[Maille (cristallographie)|maille]] à la maille voisine ;
:* les translations combinées aux réflexions et aux rotations :
:** <u>axe hélicoïdal</u> : une rotation suivant un axe, combinée à une translation selon la direction de l'axe, et dont l'amplitude est une fraction des vecteurs de base. Ils sont notés par un nombre n décrivant le degré de rotation, où n est le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour obtenir l'identité (3 représentent donc par exemple une rotation d'un tiers de tour, soit 2π/3). Le degré de translation est alors noté par un indice qui indique à quelle fraction du vecteur du réseau correspond la translation. Par exemple, 2<sub>1</sub> représente une rotation d'un demi-tour suivi d'une translation d'un demi-vecteur du réseau.
:** <u>miroir translatoire</u> : une réflexion suivie d'une translation parallèle au plan, comme définis dans le tableau suivant :
<center>
{|border=1
|-
|'''type de miroir''' || '''glissement'''
|-
|''a'' || '''a'''/2 (1/2 de la période le long de la direction a)
|-
|''b'' || '''b'''/2 (1/2 de la période le long de la direction b)
|-
|''c'' || '''c'''/2 (1/2 de la période le long de la direction c)
|-
|''n'' || 1/2 de la période le long d’une direction diagonale
|-
|''d'' || 1/4 de la période le long d’une direction diagonale
|-
|''e'' || 1/2 de la période le long de deux directions perpendiculaires*
|}
</center>
<nowiki>*</nowiki>Le plan de type e existe seulement dans groupes ayant un réseau centré (non primitif) et les deux glissements sont reliés par le vecteur de translation à composantes fractionnaires
<br /><br />
Dans un groupe d’espace, différents éléments des symétrie de la même dimensionalité peuvent co-exister en orientation parallèle. Par exemple, des axes 2<sub>1</sub> peuvent être parallèles à des axes 2 ; des miroirs de type ''m'' peuvent être parallèles à des miroirs de type ''a'' ; etc. Dans le symbole du groupe d’espace, le choix de l’élément représentatif suit un ordre de priorité, qui est le suivant :
*les axes sans glissement ont priorité sur les axes hélicoïdaux ;
*la priorité dans le choix du miroir représentatif est : m > e > a > b > c > n > d.
Toutefois, quelques exceptions existent (voir les ''International Tables for Crystallography'', Volume A, 2002, section 4.1.2.3). Par exemple, les groupes ''I'' 222 et ''I'' 2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> contiennent des axes 2<sub>1</sub> parallèles à des axes 2, mais dans le premier groupe les trois axes 2 ont intersection commune et les trois axes 2<sub>1</sub> aussi, tandis que dans le deuxième groupe ce n’est pas le cas. La règle de priorité ne s’applique pas ici, autrement les deux groupes auraient le même symbole.
==Les 230 types de groupes d'espace==
L'ensemble des 230 types de groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32 groupes ponctuels de symétrie avec les 14 types de [[réseaux de Bravais]].
Par [[isomorphisme]], les combinaisons d'un type de réseau de Bravais et d'un [[groupe ponctuel de symétrie]] (32*14 = 448) se réduisent finalement à 230 types de groupes d'espace distincts.
La liste de ces types de groupes d'espace, classés par classe de symétrie, est présentée dans l'article [[système cristallin]].
==Voir aussi==
[[Groupe ponctuel de symétrie]]
[[Groupe d'espace (4D)]]
[[Catégorie:Cristallographie]]
[[Catégorie:Minéralogie]]
[[de:Raumgruppe]]
[[en:Space group]]
[[it:Gruppo spaziale]]
[[ja:空間群]]
[[ko:공간군]]
[[nl:Ruimtegroep]]