Groupe des unités
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2008-07-11T18:32:26Z
Nefbor Udofix
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En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre]], le '''groupe des unités''' est une notion de la [[théorie des anneaux]]. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un [[inverse]] pour la deuxième [[loi de composition interne|loi]]. On l'appelle parfois '''groupe des inversibles'''.
Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux. Dans le cas particulier de l'[[entier algébrique|anneau des entiers algébriques]] d'un [[corps de nombres algébriques]], ce groupe a une structure bien connue, grâce au [[théorème des unités de Dirichlet]]. Il fait partie, comme le [[groupe des classes]], des invariants importants des corps de nombres, et intervient souvent dans leur étude, notamment en [[cohomologie galoisienne]].
== Motivation ==
Dans un [[anneau commutatif]] unitaire ''A'', un multiple d'un élément ''a'' est un produit de ''a'' par un élément ''b''. L'ensemble des multiples de ''a'', noté ''aA'', est l'[[idéal principal]] engendré par ''a''. Le comportement de ''a'' vis-à-vis de la loi produit dépend des propriétés de l'idéal qu'il engendre. Des exemples sont donnés par les notions d'[[élément irréductible]] ou d'[[élément premier]].
Si ''b'' est un élément de ''A'', alors pour tout ''u'' inversible dans ''A'', les éléments ''a'' = ''ub'' et ''b'' engendrent le même idéal principal. Les propriétés de divisibilité ne permettent pas de distinguer ''a'' et ''b'' : ils sont dits associés. Par exemple, dans l'anneau '''Q'''[X] des polynômes à coefficients rationnels, les polynômes X<sup>2</sup> + 1 et 2.''X''<sup>2</sup> + 2 sont associés. Ces deux polynômes, qui sont tous deux irréductibles sur '''Q''', divisent X<sup>4</sup>-1. L'unicité de la décomposition en facteurs premiers ne peut être assurée que si l'on ''associe'' les deux polynômes pour ne les considérer que comme un unique représentant.
Les [[plus grand commun diviseur|pgcd]] et [[plus petit commun multiple|ppcm]] se définissent aussi à partir des idéaux principaux et modulo multiplication par un inversible. Par exemple, dans un anneau commutatif ''A'', "le" ppcm de ''a'' et de ''b'' est bien défini si l'intersection des idéaux engendrés par ''a'' et ''b'' est un idéal principal ; et tout élément qui l'engendre est un ppcm de ''a'' et de ''b''.
Dans la mesure du possible, on utilise un unique représentant d'une classe d'éléments ''associés''. Par exemple, pour les polynômes on ajoutera la condition ''unitaire'' pour définir un polynôme irréductible (c’est-à-dire que son monôme dominant est égal à un). Pour ''Z'' l'ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]], un nombre est dit premier s'il est positif, on ne considère jamais le représentant négatif, même s'il existe toujours.
== Définitions et propriétés==
===Groupe des unités===
Dans un [[anneau unitaire]], un élément est dit '''inversible''' si, par définition il admet un inverse pour la loi de multiplication. On parle aussi d'''unité'' de l'anneau. L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau ''A'' est appelé '''groupe des unités''' ou '''groupe des inversibles'''. Cet ensemble, noté ''U''(''A''), est une partie de ''A'' stable par multiplication et passage à l'inverse. La multiplication de ''A'' induit donc une loi de groupe sur ''U''(''A'').
Quand l'anneau est un corps, on parle aussi parfois du '''groupe multiplicatif'''.
L'image d'une unité par un homomorphisme d'anneaux est inversible. Par conséquent, un homomorphisme d'anneaux ''f'' de ''A'' dans ''B'' (anneaux unitaires) induit un morphisme de groupes de ''U''(''A'') dans ''U''(''B''). En théorie des catégories, on pourrait interpréter ce fait comme un foncteur de la catégorie des anneaux unitaires dans la catégorie des groupes, mais oublions.
En particulier, si ''C'' est un sous-anneau unitaire de ''A'', alors son groupe des unités ''U''(''C'') est un sous-groupe de ''U''(''A'').
{{boîte|titre=Démonstrations|contenu=
;''U''(''A'') est stable par produit et passage à l'inverse
:Si ''x'' est inversible dans ''A'', il possède un inverse ''y'' ; et ''y'' possède alors un inverse dans ''A'', qui est précisément ''x'' ! Donc, l'inverse d'un élément inversible est inversible.
:Si ''x'' et ''y'' sont des unités de ''A'', alors ''y''<sup>-1</sup>''x''<sup>-1</sup> est un inverse de ''xy''. En effet, l'associativité donne:
:<center><math>(y^{-1}x^{-1})\times (xy)=y^{-1}\times (x^{-1}x)\times y=x^{-1}\times 1\times x=x^{-1}x=1</math>.</center>
:Par conséquent, le produit de deux inversibles est inversible.
:L'associativité de la multiplication est garantie par les propriétés de l'anneau et l'existence d'un élément neutre par le fait que l'anneau est choisi unitaire.
;L'image d'un inversible est inversible
:Soit un élément inversible ''x'' d'un anneau unitaire ''A''. Notons ''y'' l'inverse de ''x'' dans ''A''. Soit un homomorphisme d'anneaux unitaires ''f'' de ''A'' dans ''B''. Comme ''xy'' = 1 dans ''A'', il vient : ''f''(''w'')''f''(''y'') = ''f''(''xy'') = 1. Par conséquent, ''f''(''x'') est inversible dans ''B'' (et son inverse est ''f''(''y'').
}}
===Divisibilité===
Dans un anneau unitaire, ''x'' est dit '''associé à''' ''y'' si il existe un inversible ''u'' tel que ''x'' = ''uy''. C'est une relation d'équivalence. On peut remarquer que le groupe des unités ''U''(''A'') agit sur ''A'' par multiplication à gauche. Les orbites de cette action de groupes sont précisément les classes d'éléments associés.
Il existe [[relation de préordre]] appelée '''division''' définie de la manière suivante :
:''x'' '''divise''' ''y'' si, il existe un élément ''a'' de l'anneau tel que ''y'' = ''ax''.
(C'est une relation binaire réflexive et transitive.)
La relation d'associativité est congruente à la division au sens où:
:Pour ''x'' et ''v'' associés, pour ''y'' et ''w'' associés, alors ''x'' divise ''y'' ssi ''v'' divise ''w''.
Pour un [[anneau intègre]], si ''x'' divise ''y'' et ''y'' divise ''x'' alors ''x'' et ''y'' sont associés. Par passage au quotient, la division induit alors une relation d'ordre sur les classes d'éléments associés.
{{boîte déroulante|titre=Démonstrations|contenu=
La relation ''est associé à'' est [[Réflexivité|reflexive]] car si ''x'' est un élément de l'anneau ''x'' = 1''x'', elle est [[relation binaire#Relation symétrique|symétrique]] car si ''y'' est un élément de l'anneau et ''u'' une unité tel que ''x'' = ''u''. ''y'', alors ''y'' = ''u''<sup>-1</sup>.''x'' (l'anneau est supposé commutatif), enfin elle est [[transitivité|transitive]] car si ''x'', ''y'' et ''z'' sont des éléments de l'anneau tel qu'il existe ''u'' et ''v'' dans le groupe des unités avec ''x'' = ''u''.''y'' et ''y'' = ''vz'', alors ''x'' = ''uv'' ''z'' et ''uv'' est inversible. Elle est donc une [[relation d'équivalence]].
Soit ''x'' et ''y'' deux éléments de l'anneau, si ''x'' est associé à ''y'' alors ''x'' divise ''y'' et ''y'' divise ''x'', la relation d'association est bien compatible avec la relation de division. De plus si ''x'' divise ''y'' et si ''y'' divise ''x'' alors il existe deux unités ''u'' et ''v'' tel que ''y'' = ''ux'' et ''x'' = ''vy'' ce qui montre que ''x'' = ''uvx''. Comme l'anneau est intègre ''uv'' est égal à 1 et ''u'' et ''v'' sont des unités, en conclusion ''x'' est associé à ''y'', ce qui montre que la relation de division sur le quotient de l'anneau est [[relation binaire#Relation antisymétrique|antisymétrique]]. Enfin si ''x'' divise ''y'' et si ''y'' divise ''z'' alors il existe ''a'' et ''b'' éléments de l'anneau tel que ''y'' = ''ax'' et ''z'' = ''by'' donc ''z'' = ''abx'' et la relation est transitive. En conclusion la ''relation de divisibilité'' est une relation d'ordre sur le quotient de l'anneau par la ''relation d'association''.
}}
:* '''L'application du quotient de l'anneau par la ''relation d'association'', muni de la ''relation de divisibilité'' dans l'ensemble des idéaux de l'anneau muni de la relation d'ordre ''contient'' est un isomorphisme.'''
Cette proposition signifie deux propriétés : ''a'' et ''b'', deux éléments de l'anneau engendrent le même idéal si, et seulement si, ''a'' et ''b'' sont associés, de plus ''aA'' contient ''bA'' si, et seulement si, ''a'' divise ''b''.
== Exemples ==
===Entier relatif===
{{Article détaillé|Entier relatif}}
Le groupe des unités pour l'anneau des entiers relatifs est composé des deux éléments 1 et -1. L'anneau est [[anneau principal|principal]], donc tout idéal non nul admet exactement deux [[antécédent]]s par l'application qui à un élément ''a'' associe ''a''.''Z''. Les deux antécédents sont ''a'' et ''-a''.
Pour éviter l'ambiguïté, on ne parle donc que du représentant positif. Ainsi un nombre premier (comme l'anneau est principal, la notion d'irréductibilité et celle de primalité sont confondus et on ne parle en général que nombre premier) dans ''Z'' est par convention toujours positif, un pgcd ou un ppmc sont aussi par définition toujours positifs. Ce choix permet d'obtenir sans ambiguïté une décomposition en facteurs premiers unique à une permutation près, à la différence du cas des [[entier naturel|entiers positifs]], la décomposition contient en plus un facteur choisi dans le groupe des unités, soit 1 soit -1.
===Polynôme===
{{Article détaillé|Polynôme}}
Dans le cas où les coefficients du polynôme sont dans un corps ''K'', alors le groupe des unités est égal à ''K''*, aucune convention analogue au cas précédent ne lève l'ambiguïté.
Comme précédemment, l'anneau est principal, les notions de polynôme [[élément premier]] et [[élément irréductible]] sont encore confondues. La tradition impose d'utiliser le terme d'irréductible. Un polynôme est dit irréductible si, et seulement si, toute décomposition en deux facteurs contient une unité et s'il n'est pas constant.
Cependant toute classe d'équivalence de la relation d'association contient un unique polynôme unitaire, c’est-à-dire un polynôme dont le [[monôme]] dominant est égal à 1. Ainsi, on appelle en général ppmc et pgcd le polynôme unitaire générateur de l'idéal, ainsi l'unicité est encore présente. De même, le théorème de la décomposition en facteurs premiers est en général exprimé en terme de polynôme unitaire irréductible et l'unicité à l'ordre des éléments près est rétablie. Cette décomposition contient un facteur supplémentaire élément de ''K''*.
Dans le cas ou les coefficients du polynôme sont choisi dans ''Z'', alors le groupe de l'unité est égal à {1, -1}. Il est d'usage de prendre une convention analogue au cas des entiers relatifs. Ainsi le polynôme irréductible d'une décomposition en facteur premier, un ppmc ou un pgcd est choisi avec un monôme dominant positif. Cette convention n'est pas générale.
Dans le cas ou le polynôme est à coefficients dans un anneau quelconque, alors aucune convention ne normalise un représentant canonique d'une classe d'association.
===Entier de Gauss===
{{Article détaillé|Entier de Gauss}}
Les entiers de Gauss forment un [[anneau euclidien]], donc principal. On parle indifféremment de nombre premier de Gauss ou d'entier irréductible. Le groupe des unités contient quatre éléments {1,-1,i,-i}. Aucune convention particulière n'est prise.
Ainsi un entier de Gauss et dit irréductible si, et seulement si toute division en deux facteurs contient une unité et qu'il n'est pas élément du groupe des unités. 3, -3, 3i et -3i sont appelés nombres premiers de Gauss. Si ''a'' et ''b'' sont deux entiers de Gauss, alors il existe quatre représentants pour les pgcd et les ppmc.
L'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'exprime ''aux facteurs du groupe de l'unité près''.
=== Entier algébrique ===
{{Article détaillé|Entier algébrique}}
Dans le cas général, les entiers algébriques ne disposent que d'une structure d'[[anneau de Dedekind]], l'anneau n'est ni euclidien ni principal ni même [[anneau factoriel|factoriel]]. L'ambiguïté est donc de peu de conséquences et tout représentant (quand il existe) d'un l'idéal est réputé posséder les propriétés de l'idéal. Ainsi un entier algébrique est irréductible si, et seulement si, son idéal l'est, indépendamment de son représentant dans la classe d'association.
Le [[théorème des unités de Dirichlet]] montre l'existence de plusieurs éléments inversibles dans la plupart des anneaux d'[[entier algébrique|entiers algébriques]]. L'égalité (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 est un exemple.
Dans le cas d'un [[anneau local]], ce groupe est facile à décrire : c'est très exactement le complémentaire de l'unique [[idéal#Idéaux particuliers|idéal maximal]]. La théorie des nombres sur un [[corps local]] s'en trouve simplifiée, par rapport à sa version globale.
=== Anneau cyclique ===
L'anneau cyclique ''Z''/''nZ'' possède pour groupe des unités l'ensemble des générateurs du groupe. Son cardinal est égal à l'[[indicatrice d'Euler]].
Dans le cas où ''n'' est premier, l'anneau est le corps ''F''<sub>p</sub>, le groupe des unités est isomorphe au groupe cyclique à ''n'' - 1 éléments (cf [[groupe cyclique]]).
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Théorie des anneaux|Element inversible]]
[[Catégorie:groupe remarquable|Unités (groupe des)]]
[[de:Einheitengruppe]]
[[en:Unit (ring theory)]]
[[nl:Eenheid (algebra)]]
[[pl:Element odwracalny]]