Groupe orthogonal 150211 28888242 2008-04-22T13:44:21Z 83.112.80.192 Soit <math>E</math> un [[espace vectoriel]] de [[dimension finie]] ''n'' sur un [[Corps (mathématiques)|corps]] <math>\mathbb K</math>, muni d'une [[forme quadratique]] ''q''. Un '''[[automorphisme orthogonal]]''' pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire ''f'' du <math>\mathbb K</math>-espace vectoriel <math>E</math> laissant invariant ''q''. Autrement dit, pour tout vecteur ''x'' de <math>E</math>, on a : ''q''(''f''(''x'')) = ''q''(''x''). Le groupe orthogonal est [[compact]], en effet on est en dimension finie et il est borné car tous les endomorphismes orthogonaux sont unitaires et fermé car c'est l'image réciproque du singleton identité par l'application <math> M \mapsto {}^tMM </math> continue. L'[[identité]] est un automorphisme orthogonal. L'ensemble des automorphismes orthogonaux est stable par [[composition]] et [[inversion]]. C'est donc un sous-groupe du groupe des automorphismes de <math>E</math> ; on l'appelle le '''groupe orthogonal''' associé à la forme quadratique ''q''. Il est noté <math>O(E,q)</math>. Pour <math>E={\mathbb K}^n</math>, lorsque la forme quadratique ''q'' s'écrit : ''q''(''x'') = <math>\sum_{k=1}^n</math> ''x''<sub>''k''</sub><sup>2</sup>, on appelle '''matrices orthogonales''' les matrices des automorphismes orthogonaux. Une matrice ''M'' est donc orthogonale [[Équivalence logique|si et seulement si]] <sup>t</sup>''MM'' = I<sub>''n''</sub>, où <sup>t</sup>''M'' est la matrice [[Matrice transposée|transposée]] de ''M''. Par définition, le '''groupe orthogonal''' de degré ''n'' du corps <math>\mathbb K</math> est le groupe des matrices orthogonales ''n'' × ''n'' à coefficients dans <math>\mathbb K</math>, muni de la multiplication matricielle. Il est habituellement noté <math> O(n,\mathbb K)</math> ou <math>O_n(\mathbb K)</math>. C'est un [[sous-groupe]] du [[groupe général linéaire]] <math>GL(n,\mathbb K)</math>. Toute matrice orthogonale a un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] égal à 1 ou -1. Les matrices orthogonales ''n'' × ''n'' de déterminant 1 forment un [[sous-groupe invariant]] de <math>O(n,\mathbb K)</math> appelé le '''groupe spécial orthogonal''' et noté <math>SO(n,\mathbb K)</math> ou <math>SO_n(\mathbb K)</math>. Si la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] de <math>\mathbb K</math> est 2, alors les groupes orthogonal et spécial orthogonal coïncident. Dans le cas contraire, l’[[Classe d’un sous-groupe|indice]] de <math>SO(n,\mathbb K)</math> dans <math>O(n,\mathbb K)</math> est 2. <math>O(n,\mathbb K)</math> et <math>SO(n,\mathbb K)</math> sont des [[Groupe algébrique|groupes algébriques]], car la condition que leurs matrices soient orthogonales, c’est-à-dire que leur transposée soit leur inverse, peut s’exprimer comme un ensemble d’équations polynomiales dans les éléments de ces matrices. ==Nombres réels== Sur le corps <math>\R</math> des [[Nombre réel|nombres réels]], <math>O(n,\R)</math> et <math>SO(n,\R)</math> sont généralement simplement notés <math>O(n)\,\!</math> et <math>SO(n)\,\!</math> quand aucune confusion n’est possible. Ils forment deux [[Groupe de Lie|groupes de Lie]] [[Espace compact|compacts]] de dimension <math>{1\over 2}n(n-1)</math>. <math>O(n)\,\!</math> possède deux composantes [[Connexité (mathématiques)|connexes]], <math>SO(n)\,\!</math> étant celle contenant la matrice identité. Géométriquement, <math>O(n)\,\!</math> est [[Isomorphisme|isomorphe]] au groupe des [[isométrie]]s de <math>\R^n</math> laissant invariant l’origine. <math>SO(n)\,\!</math> est isomorphe au groupe des isométries directes, ou [[rotation]]s de <math>\R^n</math> laissant l’origine invariante. <math>SO(2)\,\!</math> est isomorphe (en tant que groupe de Lie) au cercle <math>S^1</math>, formé des [[Nombre complexe|nombres complexes]] de [[module]] 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre complexe <math>e^{i\cdot \phi} = cos(\phi) + i\cdot sin(\phi)</math> à la matrice orthogonale :<math>\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}</math> Le groupe <math>SO(3)\,\!</math>, compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des [[rotation]]s. En termes de [[topologie algébrique]], pour ''n'' &gt; 2, le [[groupe fondamental]] de <math>SO(n)\,\!</math> est le [[groupe cyclique]] d’ordre 2 et le [[groupe Spin]] Spin(''n'') est son [[revêtement universel]]. Pour ''n''=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini et son revêtement universel correspond à la droite des réels. L’[[algèbre de Lie]] associée aux groupes de Lie <math>O(n)\,\!</math> et <math>SO(n)\,\!</math> est formée des matrices n×n antisymétriques. Elle est généralement notée <math>\mathfrak o(n)\,\!</math> ou <math>\mathfrak{so}(n)\,\!</math>. ==Nombres complexes== Sur le corps <math>\mathbb C</math> des [[Nombre complexe|nombres complexes]], <math>O(n,\mathbb C)</math> et <math>SO(n,\mathbb C)</math> (là aussi notés <math>O(n)\,\!</math> et <math>SO(n)\,\!</math> quand aucune confusion n’est possible) sont des groupes de Lie complexes de dimension <math>{1\over 2}n(n-1)</math> sur <math>\mathbb C</math> (le double sur <math>\R</math>). <math>O(n)\,\!</math> possède deux composantes connexes, <math>SO(n)\,\!</math> étant celle contenant la matrice identité. Pour <math>n\ge 2</math>, ces groupes ne sont pas compacts. Pour <math>n>2</math>, le groupe fondamental de <math>SO(n)\,\!</math> est le groupe cyclique d’ordre 2, tandis que le groupe fondamental de <math>SO(2)\,\!</math> est le groupe cyclique infini. L’[[algèbre de Lie]] associée aux groupes de Lie <math>O(n)\,\!</math> et <math>SO(n)\,\!</math> est formée des matrices complexes n×n antisymétriques. [[Catégorie:Algèbre bilinéaire]] [[Catégorie:Groupe remarquable|Orthogonal (groupe)]] {{Portail mathématiques}} [[de:Orthogonale Gruppe]] [[en:Orthogonal group]] [[es:Grupo ortogonal]] [[it:Gruppo ortogonale]] [[ru:Ортогональная группа]]