<page> <title>Groupe ponctuel de symétrie</title> <id>304875</id> <revision> <id>30066695</id> <timestamp>2008-05-27T23:43:23Z</timestamp> <contributor> <username>Verdy p</username> <id>2739</id> </contributor> <minor /> <comment>/* Opérations de symétrie et chiralité */</comment> <text xml:space="preserve">[[image:symaxe.png|thumb|right|200px|Figure 1 : exemple de rotation]] [[image:symcentre.png|thumb|right|250px|Figure 2 : exemple d'inversion]] [[image:2- 1=m.png|thumb|right|200px|Figure 3 : la combinaison d'une rotation d'ordre 2 et d'inversion et une réflexion]] [[image:symétrie miroir.png|thumb|right|100px|Figure 4 : exemple de réflexion]] En [[mathématiques]], un '''groupe ponctuel de symétrie''' est un [[groupe (mathématiques)|groupe]] formé par l’ensemble des opérations de [[symétrie (transformation géométrique)|symétrie]] ([[isométrie]]s) qui laissent invariant au moins un point de l’espace sur lequel ces opérations de symétrie agissent. Ce groupe est un [[sous-groupe]] du [[groupe orthogonal]] {{nobr|'''O'''(''n'')}}, le groupe des isométries laissant l’origine fixe. En [[cristallographie]], un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la [[Structure cristalline|morphologie]] d’un [[cristal]] et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un [[cristal]] est décrite par les groupes d’espace). Ils sont classés en '''groupes holoèdres''' et '''mérièdres''', selon qu’ils décrivent la [[symétrie]] complète du [[réseau de Bravais|réseau]] ou qu’ils soient des sous-groupes de ceux-ci. == Opérations de symétrie et chiralité == Les opérations ponctuelles sont de deux types : * '''opérations de première espèce''', qui ne changent pas la [[chiralité]] de l’objet sur lequel agissent ; il s’agit de '''rotations pures''' (Figure 1). * '''opérations de seconde espèce''', qui changent la [[chiralité]] de l’objet sur lequel agissent ; il s’agit de '''roto-inversions''', opérations composées d’une rotation suivie d’une [[inversion]] (Figure 2) par rapport à un point géométrique dit '''centre d’inversion'''. À chaque opération de première espèce on peut associer une opération de seconde espèce qui transforme le [[barycentre]] de l’objet comme l’opération de première espèce qui lui est associée. Lorsque l’objet n'est pas chiral, le résultat de l’application de ces deux opérations de symétrie est identique. Note : dans des espaces à plus de 3 dimensions (non utilisés en cristallographie), de nouvelles espèces apparaissent où la chiralité est conservée dans une partie des dimensions mais inversée dans une autre partie : il s’agit de symétries "partielles" par rapport à un plan ou tout sous-espace possédant au moins 2 dimensions en moins par rapport à l’espace d’origine, ces symétries partielles pouvant se combiner sans nécessairement rétablie la chiralité d’origine mais en donnant des opérations d’autres espèces. Leur ordre de combinaison est alors important, les opérations n’étant pas nécessairement symétriques (ni même nécessairement associatives dans les espaces non euclidiens). Une '''rotation''' de <math>2\pi/n</math> (Figure 1) est indiquée par <math>n\,</math> dans la notation de [[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]], ou par C{{ind|''n''}} dans la notation de [[Schoenflies]]. * ''n'' représente le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour retrouver la situation d’origine. * Dans un [[cristal]], à cause de la périodicité de la structure, exprimée par son [[réseau de Bravais|réseau]], les valeurs de ''n'' sont limitées à 1, 2, 3, 4 et 6 (dans les espaces à deux et trois dimensions), qui correspondent aux rotations qui permettent un [[pavage]] périodique infini de l’espace. Une '''roto-inversion''' d’ordre ''n'' est indiquée par <math>\bar{n}\,</math>. * En [[chimie]], on utilise plus fréquemment les '''roto-réflexions''' que les roto-inversions. Ces opérations sont composées d’une rotation suivie d’une réflexion par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe de rotation. À chaque roto-réflexion correspond une roto-inversion et vice-versa. Les roto-réflexions sont indiquées par <math>\tilde{n}\,</math> en notation d’[[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]], ou par S{{ind|''n''}} dans la notation de [[Schoenflies]]. * <math>\bar{1}\,</math> est l’'''[[inversion]]''' pure. * <math>\bar{2}\,</math> correspond à une rotation de <math>\pi\,</math> suivie d’une [[inversion]] (Figure 3), ce qui est équivalent à une '''réflexion''' par rapport à un plane perpendiculaire à l’axe <math>\bar{2}\,</math> (Figure 4). Cette opération est plus fréquemment indiquée comme <math>m\,</math>, réflexion par rapport à un miroir. Les opérations de symétrie ponctuelle sont finalement classées de la manière suivante : * les '''rotations''' pures, qui sont notées par <math>n\,</math> ; * les '''réflexions'''. qui sont des symétries orthogonales à un plan (voir Figure 4), sont notées par la lettre <math>m\,</math> (comme miroir) ; * l’'''[[inversion]]''', qui est une symétrie par rapport à un point, ou centre d’inversion (voir Figure 2), est notée <math>\bar{1}\,</math> ([[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]]), ''i'', ou C<sub>''i''</sub> ([[Schoenflies]]) ; * des '''roto-inversions''', qui sont des opérations composées d’une rotation suivie d’une inversion, sont notées par <math>\bar{n}\,</math>, où ''n'' est la composante de rotation. == Éléments de symétrie == Les points invariants lors d’une opération de symétrie sont les points constitutifs de l’'''élément de symétrie''' par rapport auquel cette opération est effectuée : le plan de symétrie, l’axe de rotation et le centre de symétrie. Pour qu’un point de l’espace demeure invariant sous l’effet de toutes les opérations de symétrie du groupe ponctuel de symétrie, il faut que ce point soit situé sur chacun des éléments de symétrie. Il se situe donc à leur intersection : ''tous les éléments de symétrie se coupent en un point''. Dans l’espace tridimensionnel, les éléments de symétrie autour desquels on effectue des opérations de première ou de seconde espèce sont dits '''axes directs''' et '''axes inverses''' respectivement. L’opération de symétrie effectuée autour d’un axe inverse se compose d’une rotation suivie d’une [[inversion]]. Seulement 10 éléments de symétrie sont compatibles avec la symétrie cristallographique en trois dimensions : * axes directs : <math>1\,</math> (identité), <math>2\,</math>, <math>3\,</math>, <math>4\,</math>, <math>6\,</math> ; * axes inverses : <math>\bar{1}\,</math> (inversion), <math>\bar{2}\,</math> ou <math>m\,</math> (miroir), <math>\bar{3}\,</math>, <math>\bar{4}\,</math>, <math>\bar{6}\,</math>. {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" class="wikitable" |+ '''Les éléments de symétrie ponctuelle cristallographique dans l’espace tridimensionnel''' |- ! Symbole de [[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]] ! Symbole de [[Schoenflies]] ! Description ! Opération ou notation équivalente |- |align="center"| <math>{1}\,</math> |align="center"| C{{ind|1}} | identité | — |- |align="center"| <math>{2}\,</math> |align="center"| C{{ind|2}} | rotation de <math>\pi</math> | — |- |align="center"| <math>{3}\,</math> |align="center"| C{{ind|3}} | rotation de <math>2\pi/3</math> | — |- |align="center"| <math>{4}\,</math> |align="center"| C{{ind|4}} | rotation de <math>\pi/2</math> | — |- |align="center"| <math>{6}\,</math> |align="center"| C{{ind|6}} | rotation de <math>\pi/3</math> | — |- |align="center"| <math>\bar{1}\,</math> |align="center"| C{{ind|''i''}} | inversion | — |- |align="center"| <math>\bar{2}\,</math> |align="center"| C{{ind|''s''}} | réflexion | <math>m\,</math> |- |align="center"| <math>\bar{3}\,</math> |align="center"| S{{ind|6}} | rotation de <math>2\pi/3</math> suivie d’une inversion | rotation de <math>\pi/3</math> suivie d’une réflexion |- |align="center"| <math>\bar{4}\,</math> |align="center"| S{{ind|4}} | rotation de <math>\pi/2</math> suivie d’une inversion | rotation de <math>\pi/2</math> suivie d’une réflexion |- |align="center"| <math>\bar{6}\,</math> |align="center"| S{{ind|3}} | rotation de <math>\pi/3</math> suivie d’une inversion | rotation de <math>2\pi/3</math> suivie d’une réflexion |} == Groupes ponctuels cristallographiques == Il existe 2, 10 et 32 groupes ponctuels cristallographiques dans les espaces à 1, 2 et 3 dimensions respectivement. Chacun est noté par un symbole, le symbole d’[[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]], qui résume l'ensemble des opérations de symétrie constituant le groupe. Par exemple, le groupe <math>2/m\ 2/m\ 2/m</math> est constitué de trois axes de rotation d’ordre 2 dans les trois directions de l'espace, et de trois plans de réflexions ''m'' qui leur sont perpendiculaires. Les symboles de [[Schoenflies]] sont moins employés en cristallographie, car il ne permettent pas d’indiquer l’orientation des éléments de symétrie par rapport au repère cristallographique (voir les conventions de lecture de la notation d’Hermann-Mauguin). Les groupes ponctuels cristallographiques sont classés selon la [[famille cristalline]] dans le tableau suivant. {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" class="wikitable" |+ '''Les groupes ponctuels cristallographiques''' |- ! Dimensions de l’espace ! Famille cristalline ! Groupe holoèdre (Hermann-Mauguin) ! Groupes mérièdres correspondants |- |align="center"| 1 | triclinique | <math>m\,</math> | <math>1\,</math> |- |rowspan="4" align="center"| 2 | monoclinique | <math>2\,</math> | <math>1\,</math> |- | orthorhombique | <math>2\,m\,m</math> | <math>2\,</math> |- | [[carré|tétragonale]] | <math>4\,m\,m</math> | <math>4\,</math> |- | [[hexagone|hexagonale]] | <math>6\,m\,m</math> | <math>3\,</math><br /><math>3\,m</math><br /><math>6\,</math> |- |rowspan="7" align="center"| 3 | triclinique | <math>\bar{1}\,</math> | <math>1\,</math> |- | monoclinique | <math>2/m\,</math> | <math>2\,</math><br /><math>m\,</math> |- | orthorhombique | <math>m\,m\,m</math> | <math>2\,2\,2</math><br /><math>m\,m\,2</math> |- | [[carré|tétragonale]] | <math>4/m\,m\,m</math> | <math>4\,</math><br /><math>\bar{4}\,</math><br /><math>4\,2\,2</math><br /><math>4\,m\,m</math><br /><math>\bar{4}\,2\,m</math><br /><math>4/m\,</math> |- |rowspan="2"| [[hexagone|hexagonale]] | <math>\bar{3}\,m</math> | <math>3\,</math><br /><math>\bar{3}\,</math><br /><math>3\,m</math><br /><math>3\,2</math> |- | <math>6/m\,m\,m\,</math> | <math>6\,</math><br /><math>\bar{6}\,</math><br /><math>6\,2\,2</math><br /><math>6\,m\,m</math><br /><math>6/m\,</math><br /><math>\bar{6}\,2\,m</math> |- | [[cube|cubique]] | <math>m\,\bar{3}\,m</math> | <math>2\,3</math><br /><math>m\,\bar{3}</math><br /><math>4\,3\,2</math><br /><math>\bar{4}\,3\,m</math> |} Par exemple, dans la [[famille cristalline]] hexagonale de l'espace tridimensionnel il y a deux groupes holoèdres, <math>\bar{3}\,m</math> et <math>6/m\,m\,m</math> qui correspondent aux deux réseaux, rhomboédrique et hexagonal, existant dans cette [[famille cristalline|famille]]. == Conventions de lecture de la notation d’Hermann-Mauguin : directions de symétrie == Les symboles d’[[Carl Hermann|Hermann]]-[[Charles Victor Mauguin|Mauguin]] sont des '''symboles orientés''' : l’orientation de chaque élément de symétrie peut se lire à partir du symbole, en sachant que dans chaque [[système réticulaire]] les directions de symétrie sont données dans un ordre conventionnel. Une direction de symétrie de l’espace tridimensionnel est indiquée par <math>[u\,v\,w]</math>, où les trois indices ''u'', ''v'', ''w'' sont les coordonnées du premier nœud du réseau le long de la direction donnée. Les indices ''u'', ''v'', ''w'' sont toujours débarrassés des facteurs communs. La direction <math>[u\,v\,w]</math> passe toujours par l’origine de l’espace, qui est le point à coordonnées (0, 0, 0). === Exemples === La direction qui passe par l’origine (0, 0 ,0) et par les nœuds (1, 3, 4), (2, 6, 8), (3, 9, 12), (4, 12, 16), etc., est indiquée par <math>[1\,3\,4]</math>. Les axes '''''a''''', '''''b''''' et '''''c''''' sont indiqués par <math>[1\,0\,0]</math>, <math>[0\,1\,0]</math> et <math>[0\,0\,1]</math> respectivement, car (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont les premiers nœuds le long de ces axes. {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" class="wikitable" |+ '''Les directions de symétrie dans les systèmes réticulaires de l’espace tridimensionnel''' |- ! Système réticulaire ! Première direction ! Deuxième direction ! Troisième direction |- | triclinique |align="center"| — |align="center"| — |align="center"| — |- | monoclinique |align="center"| <math>[0\,0\,1]</math> |align="center"| — |align="center"| — |- | orthorhombique |align="center"| <math>[1\,0\,0]</math> |align="center"| <math>[0\,1\,0]</math> |align="center"| <math>[0\,0\,1]</math> |- | tétragonal |align="center"| <math>[0\,0\,1]</math> |align="center"| <math>[1\,0\,0]</math><br /><math>[0\,1\,0]</math> |align="center"| <math>[1\,1\,0]</math><br /><math>[1\,\bar{1}\,0]</math> |- | rhomboédrique (axes hexagonaux) |align="center"| <math>[0\,0\,1]</math> |align="center"| <math>[1\,0\,0]</math><br /><math>[0\,1\,0]</math><br /><math>[1\,1\,0]</math> |align="center"| — |- | hexagonal |align="center"| <math>[0\,0\,1]</math> |align="center"| <math>[1\,0\,0]</math><br /><math>[0\,1\,0]</math><br /><math>[1\,1\,0]</math> |align="center"| <math>[2\,1\,0]</math><br /><math>[1\,2\,0]</math><br /><math>[1\,\bar{1}\,0]</math> |- | cubique |align="center"| <math>[1\,0\,0]</math><br /><math>[0\,1\,0]</math><br /><math>[0\,0\,1]</math> |align="center"| <math>[1\,1\,1]</math><br /><math>[\bar{1}\,1\,1]</math><br /><math>[1\,\bar{1}\,1]</math><br /><math>[\bar{1}\,\bar{1}\,1]</math> |align="center"| <math>[1\,1\,0]</math><br /><math>[1\,\bar{1}\,0]</math><br /><math>[1\,0\,1]</math><br /><math>[1\,0\,\bar{1}]</math><br /><math>[0\,1\,1]</math><br /><math>[0\,1\,\bar{1}]</math> |} Il n’y a aucune direction de symétrie dans le système réticulaire triclinique ; les cristaux qui appartiennent à ce système réticulaire peuvent posséder le centre d’inversion comme seul élément de symétrie, qui ne définit pas une direction. Dans le système réticulaire monoclinique, il n’y a qu’une seule direction de symétrie ; celle-ci est normalement prise comme axe '''''b''''' du cristal. À partir du système réticulaire tétragonal, deux ou plusieurs directions apparaissent dans la même case : ces directions sont elles-mêmes équivalentes par symétrie ; par exemple dans le système réticulaire tétragonal, les axes '''''a''''' et '''''b''''' (directions <math>[1\,0\,0]</math> et <math>[0\,1\,0]</math> qui sont à 90º) sont reliés par l’axe quaternaire parallèle à la direction <math>[0\,0\,1]</math>. Dans le système réticulaire rhomboédrique, la troisième direction de symétrie n’existe pas. En fait, la présence des nœuds le long de la diagonale de la [[Maille (cristallographie)|maille conventionnelle]] supprime la symétrie réticulaire le long des directions <math>[2\,1\,0]</math>, <math>[1\,2\,0]</math>, <math>[1\,\bar{1}\,0]</math>, qui existe en revanche dans le système réticulaire hexagonal. == Groupes isomorphes == Dans les systèmes réticulaires tétragonal et hexagonal certains groupes, ayant des éléments de symétrie différents le long des directions contenues dans le plan normal à l’axe principal, peuvent se présenter avec orientation différente, ce qui sépare ces groupes en deux [[Isomorphe| groupes isomorphes]], comme dans le tableau suivant. {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" class="wikitable" |+ '''Les groupes ponctuels cristallographiques isomorphes dans l’espace tridimensionnel''' |- ! Groupe original !! Groupe isomorphe |-align="center" | <math>[\bar{4}\,2\,m]</math> || <math>[\bar{4}\,m\,2]</math> |-align="center" | <math>[\bar{3}\,m\,1]</math> || <math>[\bar{3}\,1\,m]</math> |-align="center" | <math>[3\,2\,1]</math> || <math>[3\,1\,2]</math> |-align="center" | <math>[3\,m\,1]</math> || <math>[3\,1\,m]</math> |-align="center" | <math>[\bar{6}\,2\,m]</math> || <math>[\bar{6}\,m\,2]</math> |} Dans le système réticulaire rhomboédrique, comme la troisième direction de symétrie n’existe plus, les trois paires de groupes trigonaux ci-dessus coalescent dans les groupes <math>\bar{3}\,m</math>, <math>3\,2</math> et <math>3\,m</math> respectivement. == Voir aussi == <!-- === Notes et références === {{références|colonnes=2}} === Liens externes === * --> === Articles connexes === * [[Groupe d'espace]] * [[Symboles de Hermann-Mauguin]] * [[Système cristallin]] {{Portail|géométrie|mathématiques}} [[catégorie:cristallographie]] [[catégorie:minéralogie]] [[de:Punktgruppe]] [[en:point group]]</text> </revision> </page>