Groupe simple
158473
31708099
2008-07-19T15:51:53Z
Actorstudio
58851
/* Théorème de Feit–Thompson */ ( c'est à dire un élément d'ordre 2 )
{{ébauche|algèbre}}
En [[mathématiques]], un '''groupe simple''' est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] qui ne possède pas de [[sous-groupe distingué]] autre que trivial.
==Définition==
Soit <math>(G,*)</math> un groupe. On dit qu'il s'agit d'un '''groupe simple''' s'il n'a pas de [[sous-groupe distingué]] mis à part <math>(\{e\},*)</math> (<math>e</math> étant l’[[élément neutre]] du groupe) et <math>(G,*)</math> lui-même.
==Exemples==
Quelques exemples de groupes simples :
* Les seuls [[groupe abélien|groupes abéliens]] simples hormis le [[groupe trivial]] sont les [[Groupe cyclique|groupes cycliques]] d'ordre premier.
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
En effet, tout sous-groupe d'un groupe commutatif ''G'' est normal.
Ainsi, si ''g'' est un élément de ''G'' autre que le neutre, le sous-groupe qu'il engendre est nécessairement ''G'' lui-même.
Si ''G'' est non trivial, alors ''G'' est [[Groupe cyclique|monogène]]. S'il est infini, il est isomorphe à <math>\mathbf Z</math> et contient le sous-groupe strict <math>2\mathbf Z</math>. Sinon, il est cyclique d'ordre ''n'' ; et à tout diviseur strict éventuel de ''n'' correspond un sous-groupe non trivial. Donc, ''n'' est nécessairement premier.
}}
* <math>SO_{3}(\mathbb{R})</math>, le groupe des [[Matrice orthogonale|matrices spéciales orthogonales]] d'ordre 3 à coefficients réels, muni du produit matriciel.
* Pour <math>n \geqslant 5</math>, le [[groupe alterné]] sur <math>n</math> éléments <math>A_{n}</math>. Ce résultat est à la base de la théorie de la [[Théorème d'Abel (algèbre)|résolution par radicaux]].
* Les [[Groupe sporadique|groupes sporadiques]].
==Intérêt==
Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial <math>H</math> d'un groupe <math>G</math> est souvent de permettre la construction du [[groupe quotient]] <math>G/H</math>. L'étude de <math>G</math> se ramène alors à celle de <math>H</math> et de <math>G/H</math>. Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.
Les groupes simples finis sont importants car il peuvent être perçus comme les briques de base de tous les [[Groupe fini|groupes finis]], de la même façon que tous les [[Entier naturel|nombres entiers]] peuvent être décomposés en produit de [[Nombre premier|nombres premiers]].
Les seuls groupes simples [[Groupe abélien|abéliens]] sont les [[Groupe cyclique|groupes cycliques]] d’ordre premier. La [[classification des groupes simples finis]] fut achevée en [[1982]].
==Théorème de Feit–[[John Griggs Thompson|Thompson]]==
Tout [[groupe fini]] d’ordre '''impair''' est [[Groupe résoluble|résoluble]].
Il en résulte que tout groupe fini [[groupe simple | simple]] non abélien est d’ordre '''pair''' et contient donc au moins une [[Involution (mathématiques)|involution]] ( c'est à dire un élément d'ordre 2 ).
==Voir aussi==
*[[Classification des groupes simples finis]]
*[[Théorème de Jordan-Hölder]]
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Théorie des groupes|Simple (Groupe)]]
[[en:Simple group]]
[[es:Grupo simple]]
[[fi:Yksinkertainen ryhmä]]
[[he:חבורה פשוטה]]
[[it:Gruppo semplice]]
[[ko:단순군]]
[[nl:Enkelvoudige groep]]
[[pl:Grupa prosta]]
[[ru:Простая группа]]
[[zh:單群]]