Groupe symétrique
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2008-06-15T12:07:30Z
Marvoir
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créé section "Notes et références"
:''Cette notion est différente de celle de [[groupe de symétrie]].''
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En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[algèbre]], le '''groupe symétrique''' d'un [[ensemble]] E est le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[permutation]]s de ''E'', c'est-à-dire des [[bijection]]s de E sur lui-même.
==Définition==
Soit <math>E</math> un [[ensemble]]. On appelle '''groupe symétrique''' de <math>E</math> l'ensemble des [[Fonction (mathématiques)|applications]] [[Bijection|bijectives]] de <math>E</math> sur <math>E</math> muni de la [[Composition de fonctions|composition d'applications]] (la loi <math>\circ</math>). On le note <math>\mathfrak{S}(E)</math> (ce caractère est un S gothique).
Un cas particulier courant est le cas où <math>E</math> est l'ensemble fini <math>\{1, 2, \ldots, n\}</math>, <math>n</math> étant un [[entier naturel]] strictement positif ; on note alors <math>\mathfrak{S}_n</math> ou <math>\ S_{n}</math><ref>R. Goblot, ''Algèbre linéaire'', Paris, 2005, p. 58, utilise la notation <math>\ S_{n}</math>. Les auteurs anglo-saxons écrivent en général <math>\ S_{X}</math> au lieu de <math>\mathfrak{S}(E)</math> et <math>\ S_{n}</math> au lieu de <math>\mathfrak{S}_n</math>.</ref> le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de <math>\mathfrak{S}_n</math> sont appelés [[permutation]]s et <math>\mathfrak{S}_n</math> est appelé '''groupe des permutations d'ordre ''n'' '''ou '''groupe symétrique d'indice ''n''.'''
Maintenant, si <math>E \,</math> est un [[ensemble]] à n éléments, alors on sait que <math>\mathfrak{S}_n</math> est [[isomorphisme|isomorphe]] à <math>\mathfrak{S}(E)</math>. En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du [[groupe (mathématiques)|groupe]] <math>\mathfrak{S}_n</math> pour en déduire celles du [[groupe (mathématiques)| groupe]] <math>\mathfrak{S}(E)</math>. C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur <math>\mathfrak{S}_n</math>.
=== Origine et importance===
Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un [[polynôme]] par [[Évariste Galois]] est à l'origine du concept de groupe.
Un [[théorème de Cayley]] assure que tout groupe peut être considéré comme sous-groupe d'un groupe symétrique.
==Propriétés==
Le groupe <math>\mathfrak{S}_n</math> est d'ordre <math>n!</math>.
Cette propriété peut être prouvée en [[Permutation#Dénombrement des permutations|dénombrant les permutations]]. Il est également possible de faire une démonstration par récurrence, en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques d'ordre ''n-1'' et ''n''.
:''Démonstration par récurrence sur <math>n</math>''.
:<math>\mathfrak{S}_1</math> possède un seul élément.
:Supposons que <math>\mathfrak{S}_{n-1}</math> possède <math>(n-1)!</math> éléments. Considérons l'application
::<math>\varphi :
\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{S}_n &\to &\{1,\ldots,n\}\times \mathfrak{S}_{n-1} \\
\sigma & \mapsto & (\sigma(n), \sigma')
\end{array}
\right.</math>
:où <math>\sigma'</math> est la restriction à <math>\{1,\ldots,n-1\}</math> de la permutation <math>(n, \sigma(n)) \sigma</math>. <math>\sigma'</math> appartient bien à <math>\mathfrak{S}_{n-1}</math> car <math>\sigma'(n)=n</math> donc <math>\sigma'(i) < n</math> pour tout <math>1\leq i < n</math>.
:On montre la bijectivité de <math>\varphi</math> en exhibant l'application réciproque. On en déduit que le cardinal de <math>\mathfrak{S}_n</math> est égal à celui de <math>\{1,\ldots,n\}\times \mathfrak{S}_{n-1}</math> c'est-à-dire <math>n.(n-1)!=n!</math>.
Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les [[matrice de permutation|matrices de permutation]] muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.
=== Générateurs du groupe symétrique ===
Une '''[[transposition]]''' est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note par <math>(i,j)</math> la transposition qui échange l'élément <math>i</math> avec l'élément <math>j</math>.
Il existe un [[Algorithmique|algorithme]] permettant de [[permutation#Décomposition en produit de transpositions|décomposer une permutation en produit de transpositions]]. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un système de générateurs de <math>{\mathfrak S}_n</math>
Il est possible de se limiter aux transpositions de la forme <math>\tau_i=(i,i+1)</math> puisque, pour ''i<j'', il est possible de décomposer
:<math>(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)</math>
Ces générateurs permettent de donner une [[présentation d'un groupe|présentation]] du groupe symétrique, avec les relations
*<math>{\tau_i}^2 = 1\, </math>,
*<math>\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si } |j-i| > 1\,</math>,
*<math>{(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.\,</math>
Il s'agit donc d'un cas particulier de [[groupe de Coxeter]].
Il est possible également de prendre pour système de générateurs les transpositions de la forme ''(1,i)'' pour ''i>1''.
Enfin on peut se contenter de deux générateurs : la transposition ''σ=(1,2)'' et le [[permutation circulaire|cycle]] ''c=(1,2,...,n)''.
=== Signature ===
{{Article détaillé|Signature d'une permutation}}
Toute permutation se décompose en un produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais le nombre de transpositions nécessaire pour représenter une permutation est toujours soit pair, soit impair. On parle alors de '''permutation paire''' ou '''impaire'''.
La '''signature''' d'une permutation <math>\sigma</math> est l'application notée <math>{\mathrm sgn}</math> ou <math>\varepsilon</math> et définie par :
:<math>\operatorname{sgn}(\sigma)=\varepsilon(\sigma)=\left\{\begin{array}{cl} +1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est paire } \\ -1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est impaire } \end{array}\right.</math>
Avec cette définition, la signature est un [[homomorphisme de groupes]] <math>(\mathfrak S_n,\circ)</math> dans <math>\left(\{-1,1\},\times\right)</math>.
Le [[Noyau (algèbre)|noyau]] de cet homomorphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le [[groupe alterné]] d'ordre ''n'', noté <math>\mathfrak{A}_n</math> (ce caractère est un A).
<math>\mathfrak{A}_n</math> est un [[sous-groupe distingué]] de <math>\mathfrak{S}_n</math> et possède <math>{n!\over 2}</math> éléments. En effet, <math>\mathfrak{A}_n</math> et son complémentaire dans <math>\mathfrak{S}_n</math> sont de même cardinal (pour t transposition de <math>\mathfrak{S}_n</math>, <math>f:\sigma\longmapsto t \circ \sigma</math> est une bijection de <math>\mathfrak{A}_n</math> dans son complémentaire)
=== Classes de conjugaison ===
Si <math>\sigma</math> est une permutation, sa
[[classe de conjugaison]] est l'ensemble des conjuguées de <math>\sigma</math>
:<math>C(\sigma)=\{\tau \circ \sigma\circ \tau^{-1}, \tau \in {\mathfrak S}_n\}</math>
Les conjuguées de <math>\sigma</math> sont les permutations dont la [[permutation#Décomposition en produit de cycles à supports disjoints|décomposition en produit de cycles à supports disjoints]] a la même structure que celle de <math>\sigma</math> : même nombre de cycles de chaque longueur.
Ainsi si on considère dans <math>{\mathfrak S}_5</math> les permutations qui se décomposent respectivement en (1,2,3)(4,5), (1,3,4)(2,5) et (1,3)(2,5), les deux premières sont dans la même classe de conjugaison, et la troisième est dans une classe distincte.
== Propriétés issues de l'étude du groupe alterné ==
{{Article détaillé|Groupe alterné}}
Le résultat fondamental dans l'étude du groupe alterné <math>{\mathfrak A}_n</math> est que celui-ci est un [[groupe simple]] pour <math>n\neq 4</math>.
Il en résulte notamment que le [[groupe dérivé]] de <math>{\mathfrak S}_n</math> est <math>{\mathfrak A}_n</math> pour <math>n\neq 4</math>. Pour <math>n\geq 5</math>, c'est là le seul [[sous-groupe distingué]] propre de <math>{\mathfrak S}_n</math>.
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[groupe alterné]]
* [[groupe de tresses]]
* [[permutation]]
* [[permutation circulaire]]
* [[représentations du groupe symétrique d'indice trois]]
* [[représentations du groupe symétrique d'indice quatre]]
* [[tableau de Young]]
* [[signature d'une permutation]]
* [[transposition]]
=== Bibliographie ===
* {{Perrin1}}
== Notes et références ==
<references/>
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Groupe remarquable|Symétrique (Groupe)]]
[[Catégorie:Permutation]]
[[de:Symmetrische Gruppe]]
[[en:Symmetric group]]
[[eo:Simetria grupo]]
[[fi:Symmetrinen ryhmä]]
[[he:החבורה הסימטרית]]
[[id:Grup simetri]]
[[ja:対称群]]
[[ko:대칭군]]
[[pl:Grupa symetryczna]]
[[ru:Симметрическая группа]]
[[sr:Симетрична група]]
[[sv:Symmetrisk grupp]]
[[zh:对称群 (n次对称群)]]