Harmonique sphérique
1486013
31352360
2008-07-06T17:26:47Z
SieBot
236006
robot Ajoute: [[he:הרמוניות ספריות]]
{{à vérifier}}
En [[mathématiques]], les '''harmoniques sphériques''' sont des fonctions harmoniques particulières.
À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son [[laplacien]] est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.
Les polynômes harmoniques <math>P(x,y,z)</math>, de degré <math>l</math> sont au nombre de <math>2l+1</math>, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques <math>( r,\theta,\varphi )</math> à l'aide de <math>(2l+1)</math> combinaisons :
<center><math>r^l \cdot Y_{l,m}(\theta, \varphi)</math>, </center>
avec <math> - l \le m \le + l</math>
Les coordonnées sphériques <math>( r,\theta,\varphi )</math> sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la [[colatitude]] et la [[longitude]].
Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité <math>S^2</math>.
{{Théorème|Définition|Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynôme homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.}}
C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.
Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation ([[anisotropie]]) et donc de rotation ([[groupe de symétrie]] orthogonal SO3) et que le laplacien entre en jeu :
*en [[acoustique]] (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
*en [[théorie du potentiel]] newtonien (électrostatique, mécanique), [[gravimétrie]] ...
*en [[géophysique]] (représentation du [[géoïde|globe terrestre]], en [[météorologie]])
*en [[cristallographie]] pour la [[texture (cristallographie)|texture]],
*en [[physique quantique]] (développement d'une [[fonction d'onde]], densité du nuage électronique, description des [[orbitale atomique|orbitales atomiques]] de l'[[atome d'hydrogène]])
*etc.
== Résolution de l'équation de Laplace ==
On cherche les fonctions <math>Y_{l,m}(\theta, \varphi)</math> sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :
<center><math>Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k P_{l,m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}
</math></center>
où <math>k</math> est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une [[équation différentielle linéaire d'ordre deux]] pour la fonction <math>P_{l,m}(\cos \theta)</math> :
<center><math>- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ~}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta) = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta)
</math></center>
On fait le changement de variable : <math>\theta \mapsto x = \cos \theta</math> qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :
<center><math>- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{m^2}{(1-x^2) } P_{l,m}(x) = E_{l,m} P_{l,m}(x)
</math></center>
Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de <math>m</math> :
<center><math>E_{l,m} = l (l+1)~</math></center>
Les fonctions propres <math>P_{l,m}(x)</math> se construisent à partir des [[Polynôme de Legendre|polynômes de Legendre]] <math>P_{l}(x)</math> qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas <math>m = 0</math> :
<center><math>- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right] = l (l+1) P_{l}(x)
</math></center>
On a la formule génératrice d'[[Olinde Rodrigues]] :
<center><math>P_{l}(x) = \frac{1}{2^l l !} \frac{\mathrm d^l ~}{\mathrm dx^l} \left[ x^2 - 1 \right]^l</math></center>
On construit alors les fonctions propres <math>P_{l,m}(x)</math> par la formule :
<center><math>P_{l,m}(x) = (-1)^m \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^m P_{l}(x)}{\mathrm dx^m} </math></center>
soit explicitement :
<center><math>P_{l,m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^l l !} \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^{l+m} ~}{\mathrm dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1 \right]^l </math></center>
Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions <math>P_{l,m}(x)</math> pour <math> m \ge 0</math>, car il existe une relation simple entre <math>P_{l,m}(x)</math> et <math>P_{l,-m}(x)</math> :
<center><math>P_{l,- \, m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} P_{l,m}(x)</math></center>
=== Expression des harmoniques sphériques ===
On obtient alors l'expression inscrite plus bas.
Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :
<center><math> Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}</math>, </center>
où <math>Pl(x)</math> est le [[polynôme de Legendre]] de degré <math>l</math>.
On obtient ensuite :
<center><math>J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}</math></center>
où
<center><math> J_+ = e^{i\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{\tan \theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)</math></center>
est l'opérateur « d'échelle montante ».
Pour <math>m</math> négatif, <math>Y_{l,m} = (-1)^m.Y_{l, -m}^*</math>
''Note :'' on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.
Souvent cette base se note <math>|lm\rangle</math> :
toute fonction sur la sphère <math>S^2</math> pourra donc s'écrire :
<center><math>f(\theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm\rangle</math></center>
(en [[convention de sommation d'Einstein]]), les coefficients complexes <math>f(l,m)</math> jouant le rôle de composantes de <math>f</math> dans la base des <math>|lm\rangle</math> (on dit parfois coefficients de fourier généralisés).
En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de fourier réels.
===Expression mathématique===
Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue <math>f(\theta, \varphi)</math> se décompose en une [[série (mathématiques)|série]] d'harmoniques sphériques :
<center><math>f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)</math></center>
où <math>l</math> et <math>m</math> sont des indices [[nombre entier|entiers]], {{math|''C<sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.
Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en [[série de Fourier|séries de Fourier]] pour les [[fonction périodique|fonctions périodiques]].
{{math|''Y<sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est la partie réelle d'une fonction [[nombre complexe|complexe]] {{math|''<u>Y</u><sub>l</sub><sup>m</sup>''}}
<center><math>Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )</math></center>
{{math|''<u>Y</u><sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par
<center><math>\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}</math></center>
où <math>i</math> est l'[[nombre complexe|imaginaire]] et {{math|''P<sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est le [[polynôme de Legendre]] :
<center><math>P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot
\frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]</math></center>
On a donc
<center><math>Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)</math></center>
On a par exemple :
* <math>P_0^0(\cos \theta) = 1</math> ({{math|''Y''<sub>0</sub><sup>0</sup>}} est isotrope) ;
* <math>P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta</math> ;
* <math>P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta</math> ;
* <math>P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1)</math> ;
Les fonctions {{math|''Y<sub>l</sub><sup>m</sup>''(θ, φ)}} présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que <math>l</math> croît (sauf lorsque <math>l = 0</math>, puisque {{math|''Y''<sub>0</sub><sup>0</sup>}} est une fonction constante et décrit donc une sphère).
=== Polynômes de Legendre ===
Pour les harmoniques circulaires, on utilise des [[polynôme]]s <math>P_{l}</math> de la fonction [[cosinus]] :
<center><math>Y_l(\theta) = P_l (\cos \theta)</math></center>
Les polynômes <math>P_{l}</math> utilisés sont les [[polynômes de Legendre]]<sup>1</sup> :
<center><math>P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{d^l}{d X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ]</math>
(formule de [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]], mathématicien suisse)</center>
On obtient :
* <math>P_0(\cos \theta) = 1~</math> (fonction isotrope) ;
* <math>P_1(\cos \theta) = \cos \theta~</math> ;
* <math>P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)</math> ;
* <math>P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)</math> ;
==Harmoniques sphériques normalisées==
=== Base orthonormale des harmoniques sphériques ===
Parmi les <math>(2l+1)</math> fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère <math>S^2</math> munie de la mesure
<center><math>\mathrm d\mu = \frac{1}{4\pi} \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi</math>, </center>
soit le [[produit scalaire]] ([[hermitien]] en fait) :
<center><math>\langle f_1\mid f_2\rangle = \frac{1}{4\pi} \iint_{S^2} f_1^{*} f_2 \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi</math></center>
Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres <ref>On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres ''positives''. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction <math>\phi~</math> lisse à support compact, on a : <center><math>\int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm{grad} \phi \|^2 </math></center>
Cette égalité se démontre en utilisant la relation {{math|1=Δ = div grad}} et en [[intégration par parties|intégrant par parties]].</ref> :
<center><math>- \Delta Y_{l,m}(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_{l,m}(\theta, \varphi)
</math></center>
où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, <math>J^2</math> :
<center><math>\Delta f(\theta, \varphi) \stackrel{\rm def}{=} J^2 f = \frac{1}{\sin \theta } \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta } \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math></center>
Elles sont fonctions propres de l'opérateur <math>J_3 = -i \tfrac{\partial}{\partial \phi}</math> :
<center><math> J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}</math></center>
Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement <math>Y_{l,m}(\theta, \varphi)</math>, où les angles <math>(\theta, \varphi)</math> sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et <math>l</math> et <math>m</math> sont deux nombres entiers tels que :
* <math>0 \le l</math>
* <math> - l \le m \le + l</math>
=== Normalisation ===
Les harmoniques sphériques constituent une ''[[base orthonormale]]'' de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité <math>S_2</math> au sens où :
Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :
<center><math>\iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \delta_{l, l'} \delta_{m, m'}
</math></center>
Dans cette formule, <math>\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)</math> représente l'[[angle solide]] élémentaire :
<center><math>\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\varphi
</math></center>
Toute fonction <math>f(\theta, \varphi)</math> suffisamment régulière admet un développement en série :
<center><math>f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{+ \infty} \sum_{m=-l}^{+l} a_{l,m} Y_{l,m}(\theta, \varphi)
</math></center>
où les coefficients complexes <math>a_{l,m}</math> se calculent par :
<center><math>a_{l,m} = \iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi) f(\theta, \varphi)
</math></center>
=== Expression des harmoniques sphériques normalisées ===
Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S<sub>3</sub>. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :
{{bloc emphase|<math>Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_{l,|m|}(\cos \theta) \mathrm{e}^{i \, m \, \varphi}
</math>}}
==Représentations graphiques==
===Représentation sphérique===
Si l'on utilise la représentation sphérique
<center><math>\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)</math></center>
alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où {{math|''Y<sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est positif, les creux aux parties où {{math|''Y<sub>l</sub><sup>m</sup>''}} est négatif.
Lorsque <math>\theta</math> et <math>\varphi</math> décrivent l'intervalle <math>[0 ;2\pi[</math>, {{math|''Y<sub>l</sub><sup>m</sup>''(θ, φ)}} s'annule selon <math>l</math> cercles :
* <math>m</math> cercles suivant un [[méridien]], une iso-[[longitude]] (intersection entre un plan contenant <math>Oz</math> et la sphère) ;
* <math>l-m</math> cercles suivant un [[Parallèle (géographie)|parallèle]], une iso-[[latitude]] (intersection entre un plan parallèle à <math>Oxy</math> et la sphère).
Le paramètre <math>l</math> est appelé le « degré », <math>m</math> est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.
[[image:harmoniques_spheriques_positif_negatif.png|center|300px]]
Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique {{math|''Y''<sub>3</sub><sup>2</sup>}} :
[[Image :Traces harmonique spherique.png|center|300px]]
Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :
{| class="wikitable" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>Y_3^2</math>
|-
| [[Image :YL3M2sph.png|150px]] || [[Image :YL3M2.png|200px]]
|-
| <math>\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)</math><br /> <small>les parties en blanc sont positives, en bleu négatives</small>
| <math>\rho = |Y_3^2(\theta,\varphi)|^2</math>
|}
===Représentation en coupe===
Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les noeuds, comme le montre le tableau suivant<ref name="lire1">Bernard Schaeffer, ''Relativités et quanta clarifiés'', Publibook, 2007</ref>. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où <math>l = 3</math>. Les quatre valeurs de <math>m</math> y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour <math>m>0</math>.
Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.
[[Image:Harmoniques_sphériques.jpg|500px|]]
On reconnaît les nombres quantiques secondaire <math>l</math>, correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal <math>n</math> n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.
Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire <math>\exp(im\phi)</math>, de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de <math>l \ge 4</math> ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de <math>l</math> est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par par un anneau<ref>[http://www.cqed.org/spip.php?article162 Atomes circulaires : propriétés et préparation]</ref>.
=== Représentation cartésienne et polaire ===
On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :
* en [[coordonnées cartésiennes]] : <math>y = Y_l(\theta)</math> ;
* en [[coordonnées polaires]] : <math>r = r_0 + r_1.Y_l(\theta)</math><br /> avec <math>r_1<r_0</math>, utilisé par exemple pour un objet [[cercle|circulaire]] ; la courbe coupe le cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>r_0</math> lorsque la fonction s'annule ;
* en [[coordonnées polaires]] : <math>r = |Y_l(\theta)|^2</math><br />utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.
{| class="wikitable" style="background: white; text-align: center"
|+ Trois premières harmoniques circulaires
|-
!
! Représentation cartésienne
! Représentations polaires (tracé manuel)
! Représentations polaires (tracé exact)
|-
|<math>Y</math><sub>1</sub> || [[Image :Legendre Y1 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y1 polaire.png|250px]]
| rowspan="3"|[[Image :Legendre polaire y1 y2 y3.png|400px]]
|-
|<math>Y</math><sub>2</sub> || [[Image :Legendre Y2 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y2 polaire.png|250px]]
|-
|<math>Y</math><sub>3</sub> || [[Image :Legendre Y3 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y3 polaire.png|250px]]
|}
== Autres harmoniques ==
=== Harmoniques circulaires ===
Dans le plan, la décomposition s'écrit :
<center><math>f(\theta) = \sum_{l = 0}^{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)</math></center>
<math>Y_0</math> est une fonction constante, la courbe représentatrice en [[coordonnées polaires]] <math>r = Y_0(\theta)</math> est donc un [[cercle]] de rayon <math>r_0</math>.
<math>Y_{l}</math> est une fonction invariante par une rotation d'un angle de <math>1/(l+1)</math> tour, c'est-à-dire que
<center><math>Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)</math></center>
on dit que <math>Y_{l}</math> admet une symétrie d'ordre <math>l+1</math>.
=== Harmoniques sphériques généralisées ===
Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les [[angles d'Euler]] {{math|(ψ, θ, φ)}}.
Considérons une fonction continue de l'orientation {{math|ƒ(ψ, θ, φ)}} ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées
<center><math>f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)</math></center>
où {{math|''C<sub>l</sub><sup>mn</sup>''}} est une constante. La fonction {{math|''Y<sub>l</sub><sup>mn</sup>''}} s'écrit :
<center><math>Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = e^{i m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot e^{i n \psi}</math></center>
Le polynôme {{math|''P<sub>l</sub><sup>mn</sup>''}} est le polynôme de Legendre généralisé
<center><math>P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot i^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!}
\cdot
\left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2}
\cdot
(1-X)^{-\frac{n-m}{2}}</math><math>\cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}}
\cdot
\frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]</math></center>
Quand <math>X</math> décrit l'intervalle <math>[-1 ;1]</math>, cette fonction {{math|''P<sub>l</sub><sup>mn</sup>''}} est soit réelle, soit imaginaire pure. {{math|''Y''<sub>0</sub><sup>00</sup>(ψ, θ, φ)}} est la fonction isotrope (symétrie sphérique).
D'après la loi de composition des rotations, on a :
<center><math>Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2)
= \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)</math></center>
et en particulier
<center><math>P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2))
= \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)</math></center>
On a de manière générale :
<center><math>P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n} </math></center>
Par exemple pour <math>l = 1</math> :
{| class="wikitable" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>P_1^{mn}(\cos \theta)</math>
|----
! rowspan="2" | <math>m</math>
! colspan="3" align="center" | <math>n</math>
|----
| align="center" | -1
| align="center" | 0
| align="center" | +1
|----
| -1
| <math>\frac{1}{2} (1+\cos \theta)</math>
| <math>-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math>\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)</math>
|-
| 0
| <math>-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math>\cos \theta</math>
| <math>-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
|-
| 1
| <math> \frac{1}{2} (\cos \theta - 1)</math>
| <math>-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math> \frac{1}{2} (1+\cos \theta)</math>
|}
Pour <math>l = 2</math> :
{| class="wikitable" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>P_2^{mn}(\cos \theta)</math>
|----
! rowspan="2" | <math>m</math>
! colspan="5" align="center" | <math>n</math>
|----
| align="center" | -2
| align="center" | -1
| align="center" | 0
| align="center" | +1
| align="center" | +2
|----
| -2
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
|----
| -1
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
|----
| 0
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
|----
| 1
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
|----
| 2
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
|}
== Voir aussi ==
=== Liens internes ===
* [[Atome]]
* [[Mécanique quantique]]
* [[Atome d'hydrogène]]
* [[Orbitale atomique]], [[orbitale moléculaire]]
* [[Opérateur laplacien]]
* [[Polynôme de Legendre]]
* [[Géoïde]]
* [[Ambisonie]]
=== Liens externes ===
* [http://www.geologie.ens.fr/~vigny/cours/champs-geophy.html Champs géophysiques], <math>C</math>. Vigny, cours de l'[[École normale supérieure]]
* [http://www.meteofrance.com/FR/pedagogie/dossiers_thematiques/prevision_numerique2.jsp La prévision numérique avec le modèle ARPEGE] sur le site de [[Météo France]] [http://www.meteofrance.com rubrique Comprendre la météo > Dossiers thématiques > La prévision numérique]
* [http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/ylm.html Simulateur d'harmoniques sphériques] (programme [[JavaScript]]), site de l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] (X), [[Palaiseau]], [[France]]
*[http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html Spherical Harmonic], du site [http ://mathworld.wolfram.com/ Eric Weisstein's World of Mathematics]
* [http://earth.leeds.ac.uk/~greg/Sphar/ Oscillations propres de la Terre] lors d'un [[séisme]], une des applications des harmoniques sphériques (images [[Graphics Interchange Format|gif]] animées) ;
* [http://www.lifesmith.com/spharmin.html Représentations 3D] de fonctions d'orientation
=== Bibliographie ===
* I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; ''Table of Integrals, Series, and Products'', Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6{{e}} édition — 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : [http ://www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com]
* John D. Jackson ; ''Électrodynamique classique — Cours et exercices d'électromagnétisme'', Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3{{e}} édition du grand classique américain.
* {{Basdevant}}
* {{Cohen}}
* {{Messiah}}
* H.-J. Bunge, ''Texture analysis in materials science — Mathematical methods'', éd. Butterworths, [[1969]] ([[1982]] pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées.
* Yvette Kosmann-Schwarzbach, ''Groupes et symétries''
* Éditions de l'École Polytechnique — Juillet 2006 ; chap7 ''Les harmoniques sphériques'' ;ISBN 273021257-4.
=== Notes et références ===
<references/>
{{Portail|mathématiques|physique}}
[[Catégorie :Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie :Physique quantique]]
[[Catégorie :Analyse harmonique]]
[[Catégorie :Fonction hypergéométrique]]
[[catégorie :Physique atomique]]
[[cs:Sférické harmonické funkce]]
[[de:Kugelflächenfunktionen]]
[[en:Spherical harmonics]]
[[es:Armónicos esféricos]]
[[he:הרמוניות ספריות]]
[[it:Armoniche sferiche]]
[[ja:球面調和関数]]
[[ko:구면조화함수]]
[[pl:Harmoniki sferyczne]]
[[ru:Сферические функции]]
[[uk:Сферичні гармоніки]]
[[zh:球谐函数]]