Hexagone
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30570402
2008-06-12T11:30:55Z
132.166.149.196
/* Calcul de la surface */
{{ébauche|géométrie}}
{{voir homonymes|Hexagone (homonymie)}}
[[Image:Sechseck-Zeichnung.svg|200px|right]]
Un '''hexagone''' est un [[polygone]] à six sommets et six côtés.
Les [[angle]]s internes d'un hexagone régulier sont tous de 120[[Degré (angle)|°]].
Les hexagones réguliers peuvent se juxtaposer les uns les autres sans laisser aucune lacune, comme les [[carré (géométrie)|carré]]s et les [[Triangle#Typologie des triangles|triangles équilatéraux]], et sont ainsi utiles pour construire des [[pavage]]s.
Les cellules des rayons dans une [[ruche]] d'[[abeille]]s à [[miel]] sont hexagonales pour cette raison et parce que cette forme permet une utilisation efficace de l'espace et des matériaux de construction.
== Calcul de la surface ==
La surface d'un hexagone régulier de côté <math>a\,\!</math> est
:<math>A = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2.</math>
La surface d'un hexagone régulier dont le rayon du cercle inscrit est <math>r_i\,\!</math> , alors l'aire <math>A\,\!</math> est
:<math>A =6*r_i^2*tan\frac{\pi}{6}.</math>
== Propriétés générales ==
{|width="30%" align="center" style="text-align:center"
|colspan="3"|
[[Image:Hexagons.gif|center]]
|-
|width="33%"|Hexagone croisé
|width="33%"|Hexagone convexe
|width="33%"|Hexagone concave
|}
{|width="10 %" align="center" style="border:1px solid black"
|bgcolor="#aaaaaa"|'''Sommets'''
|bgcolor="#aaaaaa"|'''Côtés'''
|bgcolor="#aaaaaa"|'''Diagonales'''
|-
|6
|6
|9
|}
== Hexagone régulier ==
Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un [[cercle]] et dont tous les côtés ont la même longueur (et les [[angle]]s la même mesure).
=== Symétrie ===
=== Hexagone et triangle équilatéral ===
=== Construction d'un hexagone régulier===
Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le [[théorème de Gauss-Wantzel]] <ref>Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents. </ref>: 6 est le produit de 2 ([[Puissance (mathématiques élémentaires)|puissance]] de 2) et de 3 ([[nombre de Fermat]]).
Il est possible de construire un hexagone régulier avec un [[Compas (géométrie)|compas]] et une [[Règle (instrument de géométrie)|règle]], en suivant la méthode des [[éléments d'Euclide]], qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux:
{|width="60%" align="center" style="border:1px solid black"
|width="50 %"|[[Image:HexagonConstructionAni.gif|center]]
|width="50 %"|[[Image:Hexaconstruction.gif|center]]
|-
|
<small>On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD] (1 - 2) . Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l'arc de cercle coupe le cercle C en B et en F (3). Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E (4 - 5). En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F (6 - 11), on obtient un hexagone régulier.</small>
|
<small>...</small>
|}
=== Pavages ===
[[Image:pavage_hexagonal.png|left|pavage hexagonal]]
[[Image:Honey comb.jpg|300px|right]]
[[Image:Honeycomb 3d rot.png|300 px|right]]
L'hexagone permet de créer un [[pavage]] périodique.
Les [[alvéole d'abeille|alvéoles d'abeille]], construits afin de stocker le [[miel]] et le pollen ou les œufs et les larves, sont des [[prisme (solide)|prisme]]s juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base.
=== Dans la nature ===
=== Usages ===
<gallery>
Image:Brasil ball 2006.JPG|[[Ballon de football]] aux couleurs du [[Brésil]]. Normalisée, la forme d'un ballon est composée de 20 faces hexagonales et 12 [[Pentagone (figure)|pentagonales]].
Image:Goe Platz der Synagoge Detail 2 noCA.jpg|Vue intérieure verticale de la structure hexagonale, laissant transparaître l’[[étoile de David]], du Mémorial de la [[synagogue]], brûlée en [[1938]] durant la [[Nuit de cristal]], sur la ''Platz der Synagoge'' (place de la Synagogue) à [[Göttingen]] ([[Allemagne]]).
</gallery>
=== Hexagramme ===
{{Article détaillé|hexagramme}}
=== L’hexagramme de Pascal ===
[[Image:Hexagr.PNG|thumb|Hexagramme de Pascal]]
Un [[hexagramme de Pascal]] est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par [[Blaise Pascal]], est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.
== Liens externes ==
== Notes et références ==
<references />
{{Polygones}}
[[Catégorie:Polygone]]
[[af:Seshoek]]
[[ar:سداسي الأضلاع]]
[[ast:Hexágonu]]
[[az:Düzgün altıbucaqlı]]
[[bg:Шестоъгълник]]
[[ca:Hexàgon]]
[[cs:Šestiúhelník]]
[[da:Sekskant]]
[[de:Sechseck]]
[[en:Hexagon]]
[[eo:Seslatero]]
[[es:Hexágono]]
[[fi:Kuusikulmio]]
[[gl:Hexágono]]
[[he:משושה]]
[[ht:Egzagòn]]
[[hu:Hatszög]]
[[it:Esagono]]
[[ja:六角形]]
[[ko:육각형]]
[[lt:Šešiakampis]]
[[mn:Зургаан өнцөгт]]
[[ms:Heksagon]]
[[nl:Zeshoek]]
[[nn:Heksagon]]
[[no:Heksagon]]
[[nrm:Siêx-carres]]
[[pl:Sześciokąt]]
[[pt:Hexágono]]
[[ro:Hexagon]]
[[ru:Правильный шестиугольник]]
[[simple:Hexagon]]
[[sk:Šesťuholník]]
[[sl:Šestkotnik]]
[[sr:Шестоугао]]
[[sv:Hexagon]]
[[ta:அறுகோணம்]]
[[te:షడ్భుజి]]
[[th:รูปหกเหลี่ยม]]
[[tr:Altıgen]]
[[zh:六边形]]