Hypernombre 1026916 30685403 2008-06-16T04:55:24Z Jerome66 35967 /* Nombres epsilon */ correction lien interne Les '''hypernombres''' sont des nombres associés à des dimensions, découverts par le Dr. [[Charles Musès|Charles A. Musès]] ([[1919]] – [[2000]]). Les hypernombres forment un système complet, cohérent, relié et naturel. Il existe dix niveaux d'hypernombres, chacun possède sa propre [[arithmétique]] et [[géométrie]]. == Sélection des types d'hypernombres == === Nombres réels et complexes === Les deux premiers niveaux de l'arithmétique des hypernombres correspondent à l'arithmétique des [[nombre réel|réels]] et [[nombres imaginaires]]. === Nombres epsilon === Avec les nombres <math>\varepsilon</math>, le programme des hypernombres est capable de définir un large intervalle d'opérations mathématiques sur les systèmes de nombres contenant des bases avec les [[racine carrée|racines carrées]] non-réelles de 1, i.e. <math>\varepsilon^2 = 1\,</math> mais <math>\varepsilon \ne \pm 1\,</math> (voir aussi [[nombre complexe fendu]]). Le concept d'orbite de puissance des hypernombres permet les puissances, les [[Racine d'un nombre|racines]] et les [[logarithme]]s sur les systèmes de [[nombre]]s qui contiennnent les bases de <math>\varepsilon</math>. Les nombres epsilon sont placés dans le troisième niveau du programme des hypernombres. ==== Exponentielle contre-orbite de puissance ==== Si l'on considére que pour les [[nombre complexe|nombres complexes]], l'orbite de puissance <math>i^\alpha</math> ainsi que l'orbite [[fonction exponentielle|exponentielle]] <math>\exp ~i\alpha</math> du nombre de base imaginaire n'est plus valable, ce n'est pas le cas pour les nombres <math>~\varepsilon</math>. A la place, nous avons pour l'orbite exponentielle : <math>e ^ { \varepsilon \alpha } = \cosh ~\alpha + \varepsilon ( \sinh ~\alpha )</math> L'orbite de puissance s'écrit : <math>\varepsilon ^ \alpha = \frac{1}{2} [ (1 - \varepsilon ) + (1 + \varepsilon ) e^{- \pi i \alpha } ]</math> '''Note''' : l'orbite de puissance contient un produit de <math>~\varepsilon</math> et <math>~i</math>, qui requiert l'arithmétique des quaternions coniques (ci-dessous). ====Exemples et isomorphismes==== =====Quaternions circulaires et octonions===== Les quaternions et les octonions circulaires du programme des hypernombres sont identiques aux [[quaternion|quaternions]] et aux [[octonion|octonions]] de la [[construction de Cayley-Dickson]]. =====Quaternions hyperboliques===== Les quaternions hyperboliques issus du programme des hypernombres sont isomorphes aux [[coquaternion]]s (quaternions fendus). Ils sont différents des [[quaternion hyperbolique|quaternions hyperboliques]] de [[Alexander MacFarlane|A. MacFarlane]] (première mention en [[1891]]), ils ne sont pas [[associativité|associatifs]] mais ils offrent comme eux un module multiplicatif. Dans les hypernombres, les quaternions hyperboliques sont constitués d'une base [[nombre réel|réelle]], une base [[nombre imaginaire|imaginaire]] et deux bases contre-imaginaires (e.g. {<math>1, \varepsilon{}_1 , \varepsilon{}_2 , i_3</math>}, ou {<math>1, i_1, \varepsilon{}_2 , \varepsilon{}_3</math>}; voir aussi [[nombre complexe fendu]]). Comme les [[quaternion]]s (circulaires), leur multiplication est [[associativité|associative]] mais non-[[commutativité|commutative]], les trois bases non-réelles sont mutuellement anti-commutatives. =====Quaternions coniques===== Les quaternions coniques sont construits sur la base {<math>1, i, \varepsilon, i_0</math>}, avec <math>i_0 = \varepsilon i</math> et forment une [[arithmétique]] close [[commutativité|commutative]], [[associativité|associative]], [[distributivité|distributive]] (contenant des [[Racine d'un nombre|racines]] et des [[logarithme|logarithmes]]), avec un [[valeur absolue|module]] multiplicatif. Ils contiennent des éléments [[idempotent]]s et des [[diviseur de zéro|diviseurs de zéro]], mais pas d'éléments [[nilpotent]]s. Les quaternions coniques sont isomorphes aux [[tessarine]]s et aussi aux [[nombre bicomplexe|nombres bicomplexes]] (issus des [[nombre multicomplexe|nombres multicomplexes]]). Par contraste, les quaternions et les coquaternions (circulaires) (quaternions fendus) ne sont pas commutatifs (les coquaternions contiennent aussi des éléments [[nilpotent]]s). Les quaternions coniques sont nécessaires pour décrire l'orbite de puissance de <math>\varepsilon\,</math> (ci-dessus) et aussi le logarithme de <math>\varepsilon\,</math> : <math>\ln \varepsilon = \frac{\pi }{2} ( i_0 - i )</math> =====Octonions hyperboliques===== Les [[octonion|octonions]] hyperboliques sont isomorphes à l'algèbre des [[octonion fendu|octonions fendus]]. Ils sont constitués d'une base [[nombre réel|réelle]], trois bases [[nombre imaginaire|imaginaires]] (<math>\sqrt{-1}\,</math>) et quatre bases contre-imaginaire (<math>\varepsilon\,</math>, <math>\sqrt{1} \ne 1\,</math>). Cette algèbre a été utilisée en physique dans la [[théorie des cordes]]. Elle peut être aussi utilisée pour décrire l'[[équation de Dirac]] en physique sur un système de nombres naturel (à la place de l'algèbre des matrices sur les nombres complexes; voir les références ci-dessous). =====Octonions coniques===== Les octonions coniques de bases <math>\{1, i_1, i_2, i_3,~i_0, \varepsilon{}_1, \varepsilon{}_2, \varepsilon{}_3 \}</math> forment un système de nombre octononique associatif mais non-commutatif. La sous-algèbre <math>\{1,~i_0 \}</math> est isomorphe aux nombres complexes, avec <math>i_0 = i_n \varepsilon_n\,</math> (pour tout n = 1,2,3), est commutative et associative à toutes les bases de sous-algèbre de quaternion <math>\{1,~i_1, i_2, i_3 \} </math>. Les bases des octonions coniques peuvent par conséquent être écrites sous la forme <math>\{ 1, i_1, i_2, i_3,~i_0, -i_0 i_1, -i_0 i_2, -i_0 i_3 \} </math> montrant leur isomorphisme aux quaternions avec les coefficients en nombres complexes pour former les [[biquaternion]]s. =====Sédénions coniques===== Un cas particulier de l'arithmétique des hypernombres sont les [[sédénion]]s coniques, qui forment une algèbre modulaire (i.e. avec un [[valeur absolue|module]] multiplicatif), [[algèbre alternative|alternative]], flexible, non-[[commutativité|commutative]]; par la [[construction de Cayley-Dickson]], on obtient les octonions (circulaires) (construits sur un axe réel et 7 axes imaginaires), ceci forme une algèbre normée et modulaire la plus large. ===Nombres complexes elliptiques (arithmétique ''w'')=== Dans le plan (réel, ''w''), l'orbite de puissance <math>~w^\alpha\,</math> (avec <math>~\alpha\,</math> réel) est elliptique, et l'arithmétique est, par conséquent aussi appelée complexe elliptique ou nombres ''w''-complexes. Ils sont placés dans le 4{{e}} niveau du programme des hypernombres. Les puissances de ''w'' sont cycliques, avec <math>w^0 = w^6 = 1\,</math> et les puissances entières suivantes : <math>w^1 = ~w</math> <math>w^2 = ~-1 + w</math> <math>w^3 = ~-1</math> <math>w^4 = ~-w</math> <math>w^5 = ~1 - w</math> Ils offrent un module multiplicatif : <math>||a + bw|| = \sqrt{a^2 + ab + b^2}\,</math> Si ''a'' et ''b'' sont des coefficients [[nombre réel|réels]], l'arithmétique <math><(1,w), +, *>\,</math> est un [[corps (mathématiques)|corps]]. Néanmoins, la base de nombre duale de ''(w)'' est ''(-w)'', qui est différente du conjugué de ''(w)'', qui est ''1-(w)''. Ceci contraste par exemple avec la base imaginaire <math>i = \sqrt{-1}\,</math>, pour laquelle le dual et le conjugué sont les même (-''i''). L'arithmétique résultante (-''w'') est par conséquent distincte de l'arithmétique -(''w''), tandis qu'elles coexistent sur le même plan de nombres. Additivement, -(''w'') et (-''w'') sont identiques, mais multiplicativement, elles sont distinctes. ====Orbite de puissance==== L'orbite de puissance de ''w'' est : <math>w ^ \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} ( \cos ~( \frac{\alpha \pi}{3} + \frac{\pi}{6} ) + w ~\sin ~\frac{\alpha \pi}{3} ) </math> [[Image:HypernumbersPowerOrbitW.png|Orbites de puissance de w et de -w]] ====Orbite exponentielle==== L'orbite exponentielle de ''w'' est (''a'', ''b'' réel) : <math>e ^ {a + bw} = e ^ {a + \frac{b}{2}} w ^ {\frac{3 \sqrt{3} b}{2 \pi}}</math> Pour le '''cas particulier''' de <math>b = ~-2a\,</math>, l'orbite de puissance et l'orbite exponentielle échouent toutes les deux. Ceci donne : <math>e ^ {a (-1 + 2w)} = w ^ {\frac{3 \sqrt{3} a}{\pi}}</math> et <math>w ^ \alpha = e ^ {- \frac{\alpha \pi}{3 \sqrt{3}} (1 - 2w)}</math> ===Nombres de rose (nombres ''p'' et ''q'') === Les nombres de rose sont placés dans le 5{{e}} niveau dans le programme des hypernombres et forment un quasi système dual. Chacun étant [[nilpotent]], l'arithmétique offre encore un [[valeur absolue|module]] multiplicatif, un [[Plan complexe|argument]] et une [[Plan complexe|forme polaire]]. Géométriquement, les puissances <math>~p^\alpha\,</math> et <math>~q^\alpha\,</math> sont des roses à deux pétales. Les puissances entières sont : <math>p^0 = q^0 = p^2 = q^2 =~0</math> <math>p^1 =~p</math> <math>q^1 =~q</math> <math>p^3 =~q</math> <math>q^3 =~p</math> Ils offrent un [[valeur absolue|module]] multiplicatif : <math>||ap + bq|| = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(a + b)(a - b)^2}</math> ====Orbite de puissance==== Dans le plan {''p'', ''q''}, <math>~p^\alpha\,</math> et <math>~q^\alpha\,</math> (avec <math>~\alpha</math> réel) sont reliés sur une rose à deux pétales, décrite par <math>ap +~bq\,</math> avec <math>(a^2 + b^2)^2 =~(a + b)(a - b)^2</math>. [[Image:HypernumbersPowerOrbitPQ.png]] Tandis que le produit <math>( ap +~bq )( cp +~dq) = 0</math> pour tout réel {''a'', ''b'', ''c'', ''d''}, l'orbite de puissance et sa géomérie reliée permet d'effectuer une multiplication non-triviale. Les facteurs peuvent être représentée dans la même orbite de puissance, e.g. <math>p^\alpha :=~\frac{ap + bq}{||ap + bq||}</math> <math>p^\beta :=~\frac{cp + dq}{||cp + dq||}</math> et multiplié plus tard à <math>||n||~p^\alpha p^\beta =||n||~p^{(\alpha + \beta)}</math> (avec <math>||n|| :=~||ap + bq||*||cp + dq||</math> absolu; <math>~\alpha</math>, <math>~\beta</math> réel). Par conséquent, la multiplication est sensible à la représentation du point dans le plan {''p'', ''q''}. En général, il existe une quantité infinie de représentation possibles de <math>||m||~( p^\gamma + q^\delta )</math> (avec <math>~||m||</math> absolu; <math>~\gamma</math>, <math>~\delta</math> réel) pour tout <math>ap +~bq</math> donné. Mais seule la multiplication le long de soit de l'orbite de puissance de ''p'' ou de ''q'' permet un module multiplicatif. ====Orbite exponentielle==== Les orbites [[fonction exponentielle|exponentielle]] respectives sont : <math>e^{ \alpha p} = 1 + \frac{p}{2} ( \sinh \alpha - \sin \alpha ) + \frac{q}{2} ( \sinh \alpha + \sin \alpha)</math> <math>e^{ \alpha q} = 1 + \frac{p}{2} ( \sinh \alpha + \sin \alpha ) + \frac{q}{2} ( \sinh \alpha - \sin \alpha)</math> ====Note sur (-''p''), ''p''^(-1), 1/''p''==== A partir de C. Musès, ''Computing in the bio-sciences with hypernumbers: A survey'' (voir la référence complète ci-dessous) : "...Notez que ''-p'' est engendré via ''w'', ainsi : <math>(qw)^3 = (wq)^3 = (w^3)(q^3) = (-1)p =~-p</math>. Il doit être rappelé que parce que ''p'' est nilpotent (<math>p^2 = 0, p \ne 0</math>), sa puissance zéro-ième ne peut pas être 1; en fait <math>p^0 =~0</math>. Par conséquent <math>p^{-1} \ne 1/p</math>, et puisque <math>(1/p)(1/p) = 1/p^2 = \infty</math>, nous voyons que <math>~1/p</math> est panpotent, i.e. une racine de l'infini. A comparer <math>1/(1 \pm \varepsilon)</math>, qui sont une paire de diviseurs de l'infini." ===Nombres cassinioïdes (nombres ''m'')=== L'arithmétique des nombres cassinioïdes, le 6{{e}} niveau du programe des hypernombres, est gouvernée par les cassinoïdes ou les ovales de Cassini. Leur relation avec la géométrie illustre la multiplication et leur modules multiplicatifs. Les coefficients de la base de nombre ''m'' sont des nombres absolus, qui sont similaires aux nombres réels positifs ; néanmoins, l'arithmétique ''m'' est sensible à la grandeur de ses coefficients. Dans le plan {réel, ''m''}, ils offrent les relations suivantes : <math>m^2 =~m</math> <math>(\sqrt{2} m )^2 =~0</math> <math>(\sqrt{3} m )^2 =~-1</math> ====Caractéristique, module et poignée==== Pour un nombre <math>a +~bm</math>, la "caractéristique" ''s'' est définie comme suit : <math>s^4 =~(a^2 + b^2)^2 + 2(a^2 - b^2) + 1</math> Un module multiplicatif ''t'' et une poignée ''k'' sont alors défini à travers : <math>t = |a + bm| = \sqrt{ | s^2 - 1 | }</math> <math>k = \sqrt{ s^2 + 1 }</math> [[Image:HypernumbersPowerOrbitM.png]] ====Distinction entre coefficients et nombres réels==== En citant K. Carmody, "Cassinoid Numbers: The Musèan Hypernumber ''m''" (27 avril 2006, sur http://www.kevincarmody.com/math/hypernumbers.html ): « Les coefficients tels que <math>\sqrt{2}</math> dans l'expression <math>\sqrt{2} m\,</math> ne sont pas véritablement des nombres réels. Par exemple, si nous multiplions -1 comme un nombre réel par <math>+m</math>, nous pouvons obtenir <math>+m\,</math>, mais nous ne pouvons pas obtenir <math>-m\,</math>. [...] De manière correcte, +1, -1, +''m'' et -''m'' sont des unités, et les coefficients de leurs multiples le long de leurs axes respectifs sont des ''nombres absolus'', qui sont distincts des nombres réels et qui ne sont jamais négatifs. » ==Voir aussi== * [[Biquaternion]] * [[Quaternion hyperbolique]] (par A. MacFarlane) * [[Nombre hypercomplexe]] * Eléments [[nilpotent]]s * [[Octonion]] * [[Quaternion]] * [[Sédénion]] * [[Nombre complexe fendu]] * [[Octonion fendu]] * [[Coquaternion|Quaternion fendu]] / [[Coquaternion]] * [[Tessarine]]s * [[Diviseur de zéro]] ==Références sur les hypernombres et publications== ===Général=== Pour une bibliographie complète sur les hypernombres et des informations sur les '''hypernombres en général''', voir http://www.kevincarmody.com/math/hypernumbers.html . La plupart du contenu ci-dessus à été obtenu à partir de cette page (en anglais). Sélections d'articles : * C. Musès, « Applied hypernumbers: Computational concepts », dans ''Appl. Math. Comput.'', 3 (1977) 211–226 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(77)90002-9|langue=en}}. * C. Musès, « Hypernumbers II—Further concepts and computational applications », dans ''Appl. Math. Comput.'', 4 (1978) 45–66 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(78)90026-7|langue=en}}. * C. Musès, « Computing in the bio-sciences with hypernumbers: a survey », dans ''Intl. J. Bio-Med. Comput.'', 10 (1979) 519–525 {{lire en ligne|doi=10.1016/0020-7101(79)90032-1|langue=en}}. * K. Carmody, « Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions », dans ''Appl. Math. Comput.'' 28 (1988) 47–72 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(88)90133-6|langue=en}}. * C. Musès, « Hypernumbers applied, or how they interface with the physical world », dans ''Appl. Math. Comput.'' 60 (1994) 25–36 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(94)90203-8|langue=en}}. * K. Carmody, « Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions— further results », dans ''Appl. Math. Comput.'' 84 (1997) 27–48 {{lire en ligne|doi=10.1016/S0096-3003(96)00051-3|langue=en}}. ===Applications=== Pour un usage véritable des hypernombres et des systèmes isomorphes '''en physique''', voir par exemple. * C. Musès, « Hypernumbers and quantum field theory with a summary of physically applicable hypernumbers and their geometries », dans ''Appl. Math. Comput.'' 6 (1980) 63–94 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(80)90016-8|langue=en}}. * C. Musès, « Hypernumber Applied or How They Interface with the Physical World », dans ''Appl. Math. Computation'' 60 (1994) 25-36 {{lire en ligne|doi=10.1016/0096-3003(94)90203-8|langue=en}}. * M. Gogberashvili, « Octonionic Electrodynamics », dans ''J. Phys. A: Math. Gen.'' 39 (2006) 7099-7104 {{lire en ligne|doi=10.1088/0305-4470/39/22/020|langue=en}}. * J. Köplinger, « Dirac equation on hyperbolic octonions », dans ''Appl. Math. Computation'' (2006) {{lire en ligne|doi=10.1016/j.amc.2006.04.005|langue=en}}. {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Algèbre]] [[en:musean hypernumber]]