Hypothèse ergodique
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2008-07-03T09:22:21Z
Mathieu Perrin
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{{Palette Physique statistique}}
L''''hypothèse ergodique''' fut formulée initialement par [[Boltzmann]] en [[1871]]<ref>Ludwig Boltzmann ; K. Akademie der Wissenschaften (Wien) '''63''' (1871) 679.</ref> pour les besoins de sa [[théorie cinétique des gaz]], puis reprise par [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]<ref>James Clerk Maxwell ; Transaction of the Cambridge Philosophical Society '''12''' (1879) 547.</ref> et, à sa suite, d'autres physiciens entre [[1890]] et [[1910]] pour tenter de justifier les fondements de la [[mécanique statistique]] alors naissante.
Le nom « hypothèse ergodique » ne fut introduit qu'en [[1911]] par les époux [[Paul Ehrenfest|Ehrenfest]] dans leur célèbre article de revue sur les fondements de la [[physique statistique]] (cf. bibliographie). Il est construit à partir des termes grecs εργος, qui signifie « énergie », et οδος, pour « chemin ». Boltzmann utilisait pour sa part dès 1884 un mot voisin, « ''ergoden'' », mais il donnait à ce mot un sens assez différent<ref>Ludwig Boltzmann ; K. Akademie der Wissenschaften (Wien) '''90''' (1884) 231. Pour plus de précisions sur ce point, on consultera le chapitre 10.10 du livre de Stephen G. Brush cité dans la bibliographie.</ref>.
En [[traitement du signal]], l<nowiki>'</nowiki>'''hypothèse d'ergodicité''' consiste à admettre que l'évolution d'un signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisation. Elle est importante dans l'étude des [[chaînes de Markov]], les [[processus stationnaire|processus stationnaires]] et pour l'[[apprentissage numérique]].
== Rappels de mécanique hamiltonienne ==
Soit un système à <math>N</math> degrés de liberté décrits à l'instant <math>t</math> par :
* les <math>N</math> coordonnées généralisées <math>q^i(t)</math>, <math>(i = 1, \dots, N)</math>
* les <math>N</math> moments conjugués <math>p_j(t)</math>, <math>(j = 1, \dots, N)</math>.
À chaque instant, les <math>2N</math> coordonnées <math>(q^i(t),p_j(t))</math> définissent un point <math>x(t)</math> dans l'[[espace des phases]] <math>\Gamma = \mathbb{R}^{2N}</math>.
=== Flot hamiltonien ===
L'évolution dynamique du système selon les [[Mécanique hamiltonienne|équations canoniques]] de Hamilton à partir d'une condition initiale <math> x_0 \ = \ (q^i_0,p_{j0})</math> engendre le flot hamiltonien <math>\phi_t : \Gamma \to \Gamma </math>, c'est-à-dire le [[groupe continu à un paramètre]] tel que :
{| align="center" border="0"
|<math> x(t) \ = \ \phi_t(x_0)</math>
|}
La succession des positions <math>x(t)</math> dans l'espace des phases se traduit par une courbe ''continue'', appelée ''orbite''.
=== Hypersurface d'énergie constante ===
Un système hamiltonien ''invariant par translation dans le temps'' satisfait toujours à la conservation de l'énergie :
{| align="center" border="0"
|<math> \forall \ t, \quad H(q^i(t),p_j(t)) \ = \ E</math>
|}
de telle sorte que sa dynamique est en fait toujours restreinte à une hypersurface <math>S_E \subset \Gamma</math> à <math>2N-1</math> dimensions. On supposera dans la suite que le système hamiltonien considéré est invariant par translation dans le temps et qu'''il ne possède pas d'autre constante du mouvement que l'énergie''. <ref>Cette dernière hypothèse implique qu'il ne peut pas s'agir d'un système isolé. En effet, tout système isolé possède :
* une quantité de mouvement totale constante
* un moment cinétique total constant
Ces deux constantes du mouvement ''vectorielles'' sont équivalentes à six constantes du mouvement ''scalaires''. Un système isolé possède donc a priori ''sept'' constantes du mouvement.</ref>
== Les deux hypothèses ergodiques ==
On distingue aujourd'hui ''deux'' hypothèses ergodiques distinctes :
=== Hypothèse ergodique (ergodicité forte) ===
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |'''Le point représentatif d'un système hamiltonien invariant par translation dans le temps passe au cours du temps ''par chaque point'' de l'hypersurface d'énergie constante.'''
|}</center>
=== Hypothèse quasi-ergodique (ergodicité faible) ===
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |'''Le point représentatif d'un système hamiltonien invariant par translation dans le temps passe au cours du temps ''aussi près que l'on veut de chaque point'' de l'hypersurface d'énergie constante.'''
|}</center>
=== Non-équivalence des deux hypothèses ===
Boltzmann et Maxwell utilisèrent dans leurs travaux les deux énoncés de façon indifférenciée<ref>Pour plus de précisions, on consultera le chapitre 10.10 du livre de Stephen G. Brush cité dans la bibliographie. </ref>. La non-équivalence mathématique des deux hypothèses ergodiques précédentes n'a été reconnue explicitement qu'en 1910 par Paul Hertz<ref>Paul Hertz ; Annalen der Physik '''33''' (1910), 225 et 537.</ref>.
== Le théorème « no-go » de Plancherel & Rosenthal (1912-1913) ==
Utilisant les progrès récents réalisés en mathématiques dans le cadre de la [[théorie des ensembles]] de [[Georg Cantor|Cantor]] d'une part, et de la [[mesure (mathématiques)|théorie de la mesure]] de [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] d'autre part, les deux mathématiciens [[Plancherel]] et [[Rosenthal]] ont démontré ''indépendamment'' le théorème suivant<ref>Michel Plancherel ; Archives des Sciences Physiques & Naturelles (Genève) '''33''' (1912) 254. Michel Plancherel ; Annalen der Physik ''' 42''' (1913) 1061. A. Rosenthal ; Annalen der Physik ''' 42''' (1913) 796. Une traduction anglaise de ces articles se trouve dans : Stephen G. Brush ; ''Milestones in mathematical physics - Proof of the impossibility of ergodic systems: the 1913 papers of Rosenthal and Plancherel.'', Transport Theory & Statistical Physics '''1''' (1973) 287-298.</ref> :
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |'''Un flot hamiltonien ne peut pas être ergodique (au sens fort).'''
|}</center>
En revanche, il a été démontré depuis que certains systèmes pouvaient être ergodiques au sens faible ; cf. l'article [[théorie ergodique]].
== Au fondement de la mécanique statistique ? ==
En dépit des importants progrès réalisés en [[théorie ergodique]] et en [[théorie du chaos]], l'utilisation de l'hypothèse ergodique pour justifier l'utilisation de l'ensemble microcanonique en [[mécanique statistique]] reste à ce jour controversée <ref>Lire par exemple :
* George W. Mackey ; ''Ergodic Theory and its Significance for Statistical Mechanics and Probability Theory'', Advances in Mathematics '''12(2)''' (1974), 178-268.
* Oliver Penrose ; ''Foundations of Statistical Mechanics'', Report on Progress in Physics '''42''' (1979), 1937.
* Domokos Szasz ; ''Botzmann's ergodic hypothesis, a conjecture for centuries ?'', Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapest) '''31''' (1996) 299-322. Texte au format [http://www.renyi.hu/~szasz/preprints/boltz.ps Postscript].</ref>.
== Articles liés ==
* [[Mécanique hamiltonienne]]
* [[Physique statistique]]
* [[Théorie cinétique des gaz]]
* [[Théorie ergodique]]
* [[Expérience de Fermi-Pasta-Ulam]]
* [[Théorème KAM]]
== Bilbiographie ==
* Anouk Barberousse, ''La Mécanique Statistique - De Clausius à Gibbs'', Collection Histoire des Sciences, Belin (2002), ISBN 2-7011-3073-5. On consultera le chapitre 4, § 3 : ''L'hypothèse ergodique : une histoire souterraine'' pp. 144-149.
* Paul et Tatiana Ehrenfest, ''The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics'', Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Réédition d'un article classique paru initialement en allemand en 1912. Niveau second cycle universitaire. Il en a existé une traduction française, réalisée par le mathématicien [[Émile Borel]] : ''Encyclopédie des Sciences Mathématiques'' '''4'''(1.1) (1915) 188.
* Stephen G. Brush, ''The Kind of Motion we call Heat - A History of the Kinetic Theories of Gases in the 19th Century'' (2 vols.), North-Holland (1976). Tome 2 : ''Statistical Physics and Irreversible Processes'', ISBN 0-444-87009-1. Histoire érudite du développement de la théorie cinétique des gaz, par un professeur de Mécanique des Fluides de l'Université du Maryland (États-Unis). Niveau second cycle universitaire.
* Gérard Emch et Chuang Liu, ''The logic of thermo-statistical physics'', Springer-Verlag (2002), ISBN 3-540-41379-0
* A.I. Khinchin, ''Mathematical Foundations of Statistical Mechanics'', Dover (1949), ISBN 0-486-60147-1. Ouvrage classique sur les fondements de la physique statistique, notamment l'hypothèse ergodique. Niveau second cycle universitaire.
* Carlo Cercignani, ''Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms'', Oxford University Press (1998), ISBN 0-19-850154-4. Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'"équation de Boltzmann". Niveau plutôt second cycle universitaire.
* Giovannni Gallavotti, ''Ergodicity, ensembles, irreversibility in Boltzmann and beyond'', (1994). Texte complet disponible sur l'ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/chao-dyn/9403004 chao-dyn/9403004].
== Notes ==
{{References|colonnes=2}}
{{portail physique}}
[[Catégorie:Physique statistique]]
[[Catégorie:Théorie du signal]]
[[de:Ergodenhypothese]]
[[en:Ergodic hypothesis]]
[[fi:Ergodinen hypoteesi]]
[[nl:Ergodiciteit]]
[[ru:Эргодичность]]
[[fi:Ergodinen hypoteesi]]