Icosaèdre
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2008-06-30T10:35:36Z
195.115.153.247
/* Fascination de l'icosaèdre */
{{Polyèdre
| nom=Icosaèdre
| image=[[image:icosahedron.gif|Video|180px|Icosaèdre]]
| type=[[Polyèdre régulier]]
| faces=[[Triangle]]
| nb_faces=20
| nb_arêtes=30
| nb_sommets=12
| caractéristique=2
| faces_par_sommet=5
| sommets_par_face=3
| isométries=[[Symétrie icosaédrale|I<sub>h</sub>]]
| dual=[[Dodécaèdre]]
| propriétés=[[Deltaèdre]] [[Polyèdre régulier|régulier]] et [[polyèdre convexe|convexe]]
}}
Un '''icosaèdre''' est un [[polyèdre]] à 20 faces. Le préfixe ''icosa-'', d'origine [[grec ancien|grec]]que, fait référence au nombre de faces.
=== Icosaèdre régulier ===
L'icosaèdre régulier est le cinquième [[Polyèdre régulier|solide de Platon]], polyèdre composé de 12 sommets et de 20 faces, chacun étant un [[triangle|triangle équilatéral]], et dont 5 se rejoignent à chaque sommet. C'est le polyèdre régulier convexe ayant le plus grand nombre de faces.
* L'angle dièdre vaut : <math>\textstyle\theta=\pi-\arcsin\frac{2}{3}</math>, soit environ 138° 11' 23''.
Si a est la longueur d'une arête :
* La surface vaut : <math>A=5\sqrt{3}a^2</math>
* La hauteur vaut : <math>a\varphi^2/\sqrt{3}</math>
* Le rayon de la sphère inscrite est : <math>a\varphi^2/2\sqrt{3}</math>
* Le rayon de la sphère circonscrite est : <math>{a\sqrt{1+\varphi^2}\over 2}</math>
où <math> \varphi = {(1+ \sqrt5) \over 2}</math> est le [[nombre d'or]].
* Le volume vaut : <math>V=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3=\frac{5}{6}\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^2a^3=\frac{5}{6}\varphi ^2a^3</math>
===Patrons de l'icosaèdre régulier===
[[Image:Icosahedron flat.svg|180px]][[Patron (géométrie)|Patron]] de l'icosaèdre régulier
===Groupe d'isométries de l'icosaèdre régulier===
=== Fascination de l'icosaèdre ===
* Dans certains [[Jeu de rôle|jeux de rôle]], le [[dé]] à 20 faces (abrégé [[Dé à vingt faces|d20]]) est utilisé pour déterminer le succès ou l'échec d'une action. Ce dé est un icosaèdre.
* En [[biologie moléculaire]], beaucoup de [[virus]], comme le virus de l'[[Herpès]], ont la forme d'un icosaèdre. Les structures virales sont formées de sous-unités [[Protéine|protéiques]] identiques répétées, et la forme d'un icosaèdre est la forme la plus adaptée pour assembler ces sous-unités, car elle permet un espace maximal pour le [[génome]] viral. En effet, parmi les solides de Platon, l'icosaèdre optimise la place occupée dans la sphère circonscrite.{{Référence nécessaire}}
* En remplaçant chaque face de l'icosaèdre par une [[résistance électrique|résistance]] de 1 [[Ohm (unité)|ohm]], la mesure de la résistance entre deux coins opposés donne 0.5 ohms, et entre deux coins adjacents 11/30 ohms.
* La [[projection de Fuller]] (ou carte Dymaxion, crée par [[Richard Buckminster Fuller]]) est une projection gnomonique sur un icosaèdre.
===Icosaèdre et dodécaèdre===
En dépit des apparences, un icosaèdre inscrit dans une sphère occupe moins d'espace (60,54%) qu'un [[dodécaèdre]] inscrit dans la même sphère (66,49%).
=== Voir aussi ===
{{Wiktionnaire}}
* [http://www.recreomath.qc.ca/dict_icosaedre.htm L'Icosaèdre sur récréomath]
* [http://semsci.u-strasbg.fr/icosaedr.htm L'Icosaèdre sur le site de l'Université Louis Pasteur de Strasbourg]
* [[Hexaki icosaèdre]]
{{Solides}}
{{Portail|géométrie|mathématiques}}
[[Catégorie:Polyèdre|Icosaèdre]]
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[[ca:Icosàedre]]
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