Impédance acoustique
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2007-10-03T21:12:06Z
Syntex
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L''''impédance acoustique''' caractérise la résistance qu'un milieu oppose à sa mise en mouvement lorsqu'il est traversé par une [[onde acoustique]]. Elle est définie comme le rapport de la [[pression acoustique]] sur la [[vitesse]] de déplacement locale dans un milieu, et est généralement notée ''Z''.
Il faut distinguer :
* l'impédance caractéristique d'un milieu, comme par exemple l'[[air]],
* l'impédance d'un composant acoustique comme par exemple un [[Résonateur de Helmoltz|résonateur]], un [[pot d'échappement|silencieux]] ou un tuyau d'[[orgue]].
== L'impédance caractéristique ==
L'impédance caractéristique d'un milieu (solide, liquide ou gazeux) est définie comme le rapport de la pression acoustique sur la vitesse de déplacement en milieu ouvert (c’est-à-dire en l'absence d'ondes réfléchies).
Elle est analogue à l'[[impédance caractéristique]] d'une [[câble coaxial|ligne coaxiale]].
L'impédance caractéristique est une propriété du matériau considéré et est égale, dans le cas d'un espace illimité, au produit de la [[masse volumique]] du matériau ''ρ'' par la [[vitesse du son]] ''c'' dans ce même matériau :
<center>''Z'' = ''ρ'' . ''c''</center>
Unités :
''ρ'' étant exprimé en kg/m<sup>3</sup>,
''c'' en m/s,
''Z'' est exprimé en [[Pascal (unité)|Pa]].s/m.
La masse volumique et la vitesse du son variant avec la [[température]], c'est aussi le cas pour l'impédance acoustique. A titre d'exemple, le tableau suivant donne la vitesse du son dans l'air ''c'', la masse volumique de l'air ''ρ'' et l'impédance acoustique de l'air ''Z'' en fonction de la température ''T''.
<center>
{| border="0" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF; text-align:center"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
!''T'' (°C) !! ''c'' (m/s) !! ''ρ'' (kg/m³) !! ''Z'' (Pa.s/m)
|-bgcolor="#efefef"
| -10 || 325.4 || 1.341 || 436.5
|-
| -5 || 328.5 || 1.316 || 432.4
|-bgcolor="#efefef"
| 0 || 331.5 || 1.293 || 428.3
|-
| +5 || 334.5 || 1.269 || 424.5
|-bgcolor="#efefef"
| +10 || 337.5 || 1.247 || 420.7
|-
| +15 || 340.5 || 1.225 || 417.0
|-bgcolor="#efefef"
| +20 || 343.4 || 1.204 || 413.5
|-
| +25 || 346.3 || 1.184 || 410.0
|-bgcolor="#efefef"
| +30 || 349.2 || 1.164 || 406.6
|}
</center>
== L'impédance d'un composant acoustique ==
Dans ce cas, c'est la définition générale de l'impédance acoustique qui est utilisée, la vitesse étant mesurée à l'entrée du composant considéré. On parle alors d''''impédance acoustique spécifique''', puisqu'elle ne fait intervenir que des [[grandeur intensive|grandeurs intensives]] (la pression acoustique et la vitesse de déplacement), par opposition à d'autres définitions qui introduisent la section d'entrée du composant acoustique, une [[grandeur extensive]] par nature.
Ainsi, connaissant la section ''S'', il est aussi possible de définir :
* une '''impédance [[mécanique]]''' <math>Z_m = \frac{S \, p}{v} = S \, Z</math>, ''S'' ''p'' étant la [[force (physique)|force]] exercée sur la colonne d'air ;
* une '''impédance [[hydraulique]]''' <math>Z_h = \frac{p}{S \, v} = \frac{Z}{S}</math>, ''S'' ''v'' étant le [[débit]] volumique acoustique à l'entrée du composant.
== Application à la propagation des ondes à l'interface entre deux milieux ==
Lorsqu'une onde acoustique rencontre l'interface séparant deux milieux d''''impédances acoustiques différents''', une partie de l'onde est transmise dans l'autre milieu tandis qu'une autre partie se réfléchit sur l'interface.
La notion d'impédance acoustique permet d'étudier complètement et quantitativement ce phénomène et d'estimer les quantités d'énergie acoustique transmises et réfléchies.
[[image:interface acoustique.png|left|frame|Ondes d'incidences normales, ondes réfléchies et ondes transmises à l'interface séparant deux milieux acoustiques M<sub>1</sub> et M<sub>2</sub>]]
{{clr}}
=== Lois et hypothèses constitutives de l'acoustique linéaire ===
L'étude de la propagation des ondes à l'interface de deux milieux acoustiques peut se faire en première approximation sous les hypothèses de l'acoustique linéaire non dispersive, et en se restreignant aux ondes d'incidence normale à l'interface. Dans ce cas, la [[thermodynamique]] fournit une relation constitutive linéaire entre les efforts et la déformation :
<math>p(x, t) = - \rho \, c^2 \, \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)</math>
dans laquelle
''x'' est la variable d'espace suivant la direction normale à l'interface,
''p(x, t)'' est la pression acoustique dans le milieu,
''u(x, t)'' est le champ des déplacements,
ρ est la masse volumique du milieu,
et ''c'' est la célérité du son dans le milieu.
Cette équation est valable aussi bien pour :
* un [[liquide]], auquel cas ρ ''c''<sup>2</sup> = ''B'' est son module de [[compressibilité]] ;
* un [[gaz]], auquel cas ρ ''c''<sup>2</sup> = γ ''p''<sub>0</sub>, γ étant le rapport des [[chaleur spécifique|chaleurs spécifiques]] et ''p''<sub>0</sub> la pression moyenne. En acoustique linéaire, la pression acoustique ''p'' est une perturbation de cette pression moyenne ;
* un [[solide]] dont on ne considère qu'une direction privilégiée pour la propagation des ondes, par exemple une barre en traction-compression, ρ ''c''<sup>2</sup> = ''E'' étant le [[module de Young|module d'Young]], une [[onde sur une corde vibrante|corde vibrante]], ρ ''c''<sup>2</sup> = <math>\frac{T}{S}</math> étant le rapport de la tension ''T'' de la corde sur sa section ''S'', ou une barre en [[torsion]], ρ ''c''<sup>2</sup> = ''G'' étant le module de [[Charles de Coulomb|Coulomb]] ou module de cisaillement de la barre. De plus, la pression acoustique ''p'' doit être remplacée par la [[tenseur des contraintes|contrainte]] σ suivant la direction de propagation de l'onde.
Pour plus de précisions, voir la définition de la [[vitesse du son]] dans les différents milieux pré-cités.
=== Ecriture de l'équation unidimensionnelle des ondes ===
Le [[Lois du mouvement de Newton#Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique de translation|principe fondamental de la dynamique]] appliqué localement au milieu et dans la direction normale à l'interface s'écrit :
<math>\rho \, \frac{\partial v}{\partial t}(x, t) = - \frac{\partial p}{\partial x}(x, t)</math>
En remarquant que <math>v = \frac{\partial u}{\partial t}</math>, on peut combiner cette équation avec la loi constitutive de l'acoustique linéaire pour obtenir l'[[équation d'onde|équation des ondes]], aussi appelée équation de [[Jean le Rond d'Alembert|D'Alembert]], qui est vérifiée simultanément par la vitesse et la pression acoustique :
<math>\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}(x, t) = c^2 \, \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x, t)</math>
<math>\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}(x, t) = c^2 \, \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(x, t)</math>
La vitesse <big>'''''v'''''</big> étant solution de l'équation des ondes, on peut rechercher une solution de propagation sous la forme de la somme d'une onde directe <big>'''''f'''''</big> et d'une onde rétrograde <big>'''''g'''''</big> :
<center><big>'''''v(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct)'''''</big></center>
En dérivant cette dernière équation, il vient :
<math>\frac{\partial v}{\partial x}(x, t) = f^\prime(x - c \, t) + g^\prime(x + c \, t)</math>
De même, en dérivant la loi constitutive :
<math>\frac{\partial p}{\partial t}(x, t) = - \rho \, c^2 \, \frac{\partial v}{\partial x}(x, t) = - \rho \, c^2 \, (f^\prime(x - c \, t) + g^\prime(x + c \, t))</math>
Sachant que la pression acoustique s'écrit elle aussi sous la forme d'une solution de propagation, il est possible de l'identifier à l'expression ci-dessus, en introduisant l'impédance acoustique <big>'''''Z = ρ c'''''</big> :
<center><big>'''''p(x, t) = Z(f(x - ct) - g(x + ct))'''''</big></center>
=== Relation entre amplitude des ondes à l'interface de deux milieux ===
==== Cas général ====
Si l'on choisit l'origine ''x'' = 0 à l'interface entre les deux milieux ''M''<sub>1</sub> = { ''x'' < 0 }, d'impédance acoustique ''Z''<sub>1</sub>, et ''M''<sub>2</sub> = { ''x'' > 0 }, d'impédance acoustique ''Z''<sub>2</sub>, on peut définir les restrictions suivantes :
* ''f''<sub>1</sub> la restriction de la fonction d'onde directe sur ''M''<sub>1</sub> ;
* ''g''<sub>1</sub> la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur ''M''<sub>1</sub> ;
* ''f''<sub>2</sub> la restriction de la fonction d'onde directe sur ''M''<sub>2</sub> ;
* ''g''<sub>2</sub> la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur ''M''<sub>2</sub>.
En ''x'' = 0, la condition de continuité des vitesses et des pressions s'écrit
<center>''f''<sub>1</sub>(-''ct'') + ''g''<sub>1</sub>(''ct'') = ''f''<sub>2</sub>(-''ct'') + ''g''<sub>2</sub>(''ct'')</center>
et
<center>''Z''<sub>1</sub> (''f''<sub>1</sub>(-''ct'') - ''g''<sub>1</sub>(''ct'')) = ''Z''<sub>2</sub> (''f''<sub>2</sub>(-''ct'') - ''g''<sub>2</sub>(''ct''))</center>
Si l'on se donne l'onde directe venant de la gauche ''f''<sub>1</sub> et l'onde rétrograde
venant de la droite ''g''<sub>2</sub>, on peut en déduire les ondes transmises ''f''<sub>2</sub> et réfléchies ''g''<sub>1</sub> :
<math>\begin{pmatrix}f_2\\g_1\end{pmatrix} = \frac{1}{Z_1 + Z_2} \, \begin{pmatrix}Z_2 - Z_1&2 \, Z_1 \\2 \, Z_2&Z_1 - Z_2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}g_2\\f_1\end{pmatrix}</math>
Dans cette [[matrice (mathématiques)|matrice]], les éléments ont la signification physique suivante :
* <math>t_{12} = \frac{2 \, Z_1}{Z_1 + Z_2}</math> est le coefficient de transmission en amplitude des ondes depuis ''M''<sub>1</sub> vers ''M''<sub>2</sub> ;
* <math>r = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}</math> est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de ''M''<sub>1</sub> sur l'interface ;
* <math>- r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_1 + Z_2}</math> est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de ''M''<sub>2</sub> sur l'interface ;
* <math>t_{21} = \frac{2 \, Z_2}{Z_1 + Z_2}</math> est le coefficient de transmission en amplitude depuis ''M''<sub>2</sub> vers ''M''<sub>1</sub>.
Ces coefficients sont analogues à ceux donnés par les [[coefficients de Fresnel|formules de Fresnel]] en [[électromagnétisme]].
==== Etude de quelques cas limites ====
Trois cas particuliers peuvent être etudiés avec intérêt :
* Le cas ''Z''<sub>2</sub> / ''Z''<sub>1</sub> = 0, alors ''r'' = 1, l'onde incidente se réfléchit à l'identique sur l'interface ;
* Le cas ''Z''<sub>2</sub> / ''Z''<sub>1</sub> = 1, alors ''r'' = 0 et ''t''<sub>12</sub> = 1, l'onde incidente se transmet complètement, l'impédance des deux milieux est dite '''adaptée''' ;
* Le cas ''Z''<sub>2</sub> / ''Z''<sub>1</sub> = <math>\infty</math>, alors ''r'' = -1, l'onde incidente se réfléchit en changeant de signe.
=== Relation entre puissance des ondes à l'interface ===
La densité de [[puissance (physique)|puissance]] d'une onde acoustique suivant une direction est donnée
dans le cas général par
<math>\Pi(x, t) = p(x, t) \, v(x, t) = Z \, (f^2(x - c\, t) - g^2(x + c\, t))</math>
C'est une quantité homogène à une puissance par unité de surface (exprimée en [[Watt|W]].m<sup>-2</sup>), qui est souvent assimilée à l''''intensité acoustique'''.
On peut calculer les coefficients de transmission et de réflexion énergétiques,
par exemple en se plaçant dans le cas d'une unique onde directe incidente (''f''<sub>1</sub> <math>\neq</math> 0 et ''g''<sub>2</sub> = 0).
Le coefficient de réflexion énergétique exprime la quantité d'énergie
contenue dans l'onde réfléchie ''g''<sub>1</sub>, étant donné une onde incidente directe ''f''<sub>1</sub> :
<math>R = \frac{\Pi(x < 0, t > 0)}{\Pi(x < 0, t < 0)} = \frac{Z_1 \, g^2_1}{Z_1 \, f^2_1} = r^2 = \left(\frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}\right)^2</math>
Le coefficient de transmission énergétique exprime la quantité d'énergie
contenue dans l'onde transmise ''f''<sub>2</sub>, étant donnée une onde incidente directe ''f''<sub>1</sub> :
<math>T = \frac{\Pi(x > 0, t > 0)}{\Pi(x < 0, t < 0)} = \frac{Z_2 \, f^2_2}{Z_1 \, f^2_1} = \frac{Z_2 \, t^2_{12}}{Z_1} = \frac{4 \, Z_1 \, Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2}</math>
Étant données les deux définitions ci-dessus,
on peut aisément vérifier la conservation de l'énergie :
<center>''R'' + ''T'' = 1</center>
Les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques sont souvent exprimés [[décibel]], en écrivant
<center>''R''<sub>dB</sub> = 10 log<sub>10</sub> ''R''</center>
et
<center>''T''<sub>dB</sub> = 10 log<sub>10</sub> ''T''</center>
=== Application numérique ===
Si l'on considère l'interface entre l'eau, d'impédance acoustique ''Z''<sub>1</sub> = 1.5 · 10<sup>6</sup> Pa.s/m, et l'air, d'impédance acoustique ''Z''<sub>2</sub> = 430 Pa.s/m, on trouve des coefficients de réflexion et transmission :
<center>''R'' = -0.005 dB</center>
et
<center>''T'' = -30 dB</center>
Les sons ne se transmettent quasiment pas d'un milieu à l'autre, comme cela peut être constaté en plongée sous-marine.
== Références ==
* C. Lesueur, ''Rayonnement acoustique des structures'', Eyrolles, Paris, 1988.
[[Catégorie:acoustique]]
[[de:Akustische Impedanz]]
[[en:Acoustic impedance]]