Indices de Miller 521350 30105688 2008-05-29T09:17:33Z DumZiBoT 280295 robot Ajoute: [[sk:Millerov symbol]] Les '''indices de [[William_Hallowes_Miller|Miller]]''' sont une manière de désigner les plans dans un [[cristal]]. Un cristal est un empilement ordonné d'[[atome]]s, d'[[ion]]s ou de [[molécule]]s, appelés ci-après « motifs ». Du fait de cet ordre, on peut définir des directions et plans particuliers, par exemple des directions ou des plans ayant une grande densité de motifs. Les motifs étant situés sur des nœuds du réseau, les plans et directions sont qualifiés de « nodaux » (plan nodal, direction nodale). En [[métallurgie]], on travaille fréquemment avec des cristaux monoatomiques ; on parle donc de « plan atomique », de « direction atomique » ou de « rangée d'atomes », mais ce ne sont que des cas particuliers. On peut définir une [[maille élémentaire]], et à partir de cette maille trois axes. Les indices de Miller sont des coordonnées de vecteurs dans cette [[base (algèbre linéaire)|base]]. == Importance des plans et directions denses == [[Image:Cristal densite surface.png|thumb|Plan cristallographique et densité atomique<br />bas : cristal de profil<br />haut : vues selon un axe perpendiculaire à chaque surface]] Le cristal n'est pas [[isotropie|isotrope]], il n'y a pas de raison que ses propriétés le soient. Les lignes et plans de grande [[densité]] vont présenter des propriétés particulières : * [[optique]]s : la propagation d'une onde lumineuse dans le cristal ([[réfraction]]) se fait par [[diffusion Rayleigh]] de proche en proche, entre les atomes ; la vitesse de propagation peut donc différer selon la densité de la direction, provoquant le phénomène de [[biréfringence]] ; * liées à la [[tension superficielle]] : si le matériau se condense sous la forme d'un cristal, c'est qu'un motif est plus stable lorsqu'il est entouré d'autres motifs ; ** propagation d'une [[fissure]] et plan de [[clivage]] : les motifs d'une surface libre sont exposés à l'air ; la surface libre est plus stable si elle correspond à un plan de grande densité, car alors chaque motif est entouré d'un maximum de motifs ; ** forme d'un [[porosité|pore]], pour la même raison que ci-dessus ; * [[adsorption]] et réactivité : le nombre de sites d'adsorption, et donc la réactivité chimique, dépend de la densité d'atomes ; * [[dislocation]]s ** le cœur d'une [[dislocation]] va plus s'étendre dans un plan dense, cela réduit le [[frottement]] lors du déplacement de la dislocation ([[force de Peierls-Nabarro]] au cours de la [[déformation plastique]]) ; les glissements se font donc préférentielement selon des plans denses ; ** la perturbation que représente une dislocation ([[vecteur de Burgers]]) est une direction dense : en effet, un décalage d'un motif dans une direction dense représente une ditorsion faible (les motifs étant rapprochés) ; ** la ligne d'une dislocation va également tendre à être une direction dense, afin de diminuer la [[tension de ligne]] (une boucle de dislocation aura donc tendance à être un [[polygone]]). == Repérage d'une direction == [[Image:Indices miller direction exemples.png|thumb|400px|Exemples de directions]] Une direction peut se représenter par un [[vecteur]]. On choisit pour cela un vecteur ayant des coordonnées entières : une direction contient au moins deux motifs pour que l'on puisse définir sa densité, et les motifs sont décalés d'une combinaison linéaire entière des vecteurs de la base. Cette direction est notée {{formule|[''uvw'']}} où {{formule|''u''}}, {{formule|''v''}} et {{formule|''w''}} sont les coordonnées entières. Les nombres négatifs sont notés avec un trait au-dessus (<span class="texhtml">{{surligner|''u''}}</span> se lit « moins {{formule|''u''}} ») : * [111] (ou le vecteur opposé [{{surligner|111}}]) désigne la grande diagonale de la maille ; * [1{{surligner|1}}1] (ou l'opposé [{{surligner|1}}1{{surligner|1}}]) et [11{{surligner|1}}] (ou l'opposé [{{surligner|11}}1]) désignent les deux autres diagonales ; * [100], [010] et [001] désignent les vecteurs de la base. Si l'on note <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math> et <math>\vec{c}</math> les vecteurs de la base, alors les indices de direction [''uvw''] correspondent au vecteur : <math>u\vec{a} + v\vec{b} + w\vec{c}</math> {{formule|''u''}}, {{formule|''v''}} et {{formule|''w''}} sont des coordonnées de type [[tenseur|contravariantes]]. ; Note : Dans le cas général, la base <math>(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})</math> est quelconque. C'est une base [[orthogonal]]e dans le cas d'un réseau à symétrie orthorhombique ou tétragonale, et [[Base orthonormale|orthonormale]] dans le cas d'un réseau à symétrie cubique (voir l'article ''[[Réseau de Bravais]]''). == Repérage d'un plan == [[Image:Indices miller plan definition.png|thumb|Définition des indices de Miller d'un plan]] Considérons le plan le plus proche de l'origine mais qui ne passe pas par l'origine. Si l'on prend l'intersection de ce plan avec les trois axes, on obtient les trois coordonnées de trois points : * {{formule|(''P'',0,0)}} l'intersection du plan avec l'axe des ''x'' ; * {{formule|(0,''Q'',0)}} l'intersection du plan avec l'axe des ''y'' ; * {{formule|(0,0,''R'')}} l'intersection du plan avec l'axe des ''z'' ; alors l'inverse des coordonnées des intersections donne les '''indices de Miller''', avec la convention 1/∞ = 0 (l'indice est 0 si l'axe est [[parallélisme|parallèle]] au plan). Ces indices sont notés entre parenthèse {{formule|(''hkl''&thinsp;)}} : * {{formule|''h'' {{=}} 1/''P''}} ; * {{formule|''k'' {{=}} 1/''Q''}} ; * {{formule|''l'' {{=}} 1/''R''}}. [[Image:Indices miller plan exemple cube.png|thumb|Exemples de plans pour une structure cubique]] Si ni {{formule|''h''}}, ni {{formule|''k''}}, ni {{formule|''l''}} ne sont nuls, alors le plan passe donc par les points {{formule|''A''<sub>1</sub>&thinsp;(1/''h'',0,0)}}, {{formule|''A''<sub>2</sub>&thinsp;(0,1/''k'',0)}}, {{formule|''A''<sub>3</sub>&thinsp;(0,0,1/''l''&thinsp;)}}, donc les vecteurs suivants sont dans le plan : * <math>\overrightarrow{A_1 A_2} \left ( -\frac{1}{h}, \frac{1}{k}, 0 \right )</math> ; * <math>\overrightarrow{A_1 A_3} \left ( -\frac{1}{h}, 0, \frac{1}{l} \right )</math> ; * <math>\overrightarrow{A_2 A_3} \left ( 0, -\frac{1}{k}, \frac{1}{l} \right )</math>. Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, deux de ces vecteurs forment une base du plan. Si un des indices est nul, alors un des vecteurs de la base de la maille est aussi un vecteur du plan, celui dont la composante non nulle est l'indice nul du plan : * si {{formule|''h'' {{=}} 0}}, le vecteur [1 0 0] (vecteur de coordonnées (1,0,0)) est dans le plan ; * si {{formule|''k'' {{=}} 0}}, le vecteur [0 1 0] est dans le plan ; * si {{formule|''l'' {{=}} 0}}, le vecteur [0 0 1] est dans le plan. '''Si la base est orthonormale''', le [[produit scalaire]] du vecteur {{formule|[''hkl''&thinsp;]}} avec ces vecteurs est nul : : <math>\left ( -\frac{1}{h}, \frac{1}{k}, 0 \right ) \cdot (h,k,l) = -1 + 1 + 0 = 0</math> : <math>\left ( -\frac{1}{h}, 0, \frac{1}{l} \right ) \cdot (h,k,l) = -1 + 0 + 1 = 0</math> : <math>\left ( 0, -\frac{1}{k}, \frac{1}{l} \right ) \cdot (h,k,l) = 0 -1 + 1 = 0</math> Donc dans le cas d'un réseau cubique, le vecteur {{formule|[''hkl''&thinsp;]}} est [[perpendiculaire]] à la surface, c'en est un vecteur normal. Dans le cas général, il faut changer de base pour que le vecteur de coordonnées {{formule|(''h'', ''k'', ''l''&thinsp;)}} soit perpendiculaire au plan (cf. ''[[#Espace réciproque et diffraction|infra]]''). == Symétries cristallines et permutation des indices == Certaines [[Structure cristalline|structures cristallines]] possèdent des symétrie particulières permettant la permutation des indices. === Cristal à symétrie cubique === Pour un cristal suivant un [[réseau de Bravais]] cubique, les trois diagonales sont équivalentes, les trois faces du cube sont équivalentes, … ; on peut donc permuter à volonté les indices et prendre les opposés d'un ou de plusiers indices, cela représentra immuablement une direction ayant les mêmes propriétés. L'ensemble des directions obtenues par permutation est appelées « famille de direction », et est notée entre crochet : : {{formule|<''uvw''>}} désigne à la fois {{formule|[''uvw'']}}, {{formule|[''uwv'']}}, {{formule|[''vuw'']}}, {{formule|[''vwu'']}}, {{formule|[''wuv'']}}, {{formule|[''wvu'']}} ainsi que les combinaisons obtenues en changeant un ou deux signes. Par exemple * <100> désigne les directions [100], [{{surligner|1}}00], [010], [0{{surligner|1}}0], [001] et [00{{surligner|1}}] ; * <110> désigne les directions [110], [{{surligner|1}}10], [1{{surligner|1}}0], [101], [{{surligner|1}}01], [10{{surligner|1}}], [011], [0{{surligner|1}}1] et [01{{surligner|1}}] (ainsi que leurs opposé). Comme pour les directions, dans le cas des cristaux de symétrie cubique, on peut permuter les indices. Une famille de plans est alors notée entre accolades : : {{formule|{''hkl''} }} désigne les plans {{formule|(''hkl'')}}, {{formule|(''hlk'')}}, {{formule|(''khl'')}}, {{formule|(''klh'')}}, {{formule|(''lhk'')}}, {{formule|(''lkh'')}} ainsi que les combinaisons obtenues en changeant un ou deux signes. === Cristal à symétrie hexagonale === [[Image:Indices miller bravais.png|thumb|Indices de Miller-Bravais]] Dans le cas des structures à symétrie hexagonale, ou trigonale, on définit parfois un quatrième indice pour désigner les plans, {{formule|(''hkil''&thinsp;)}} ; c'est la notation de Bravais-Miller. L'indice {{formule|''i''}}, placé en troisième position, est redondant (les trois indices {{formule|''h''}}, {{formule|''k''}} et {{formule|''l''}} suffisent à eux seuls à définir un plan) ; il est défini par : {{formule|''i'' {{=}} -''h'' - ''k''}} Cette notation permet d'appliquer des permutations circulaires d'indice pour définir des familles de plans. En fait, si l'on considère le plan de base (001), ce plan a une symétrie d'ordre 3, c'est-à-dire qu'il est invariant par une rotation d'1/3 de tour (2π/3 rad, 120 °). Il contient donc trois directions identiques [100], [010] et [{{surligner|11}}0]. Si l'on prend l'intersection du plan avec ces trois axes, l'inverse des abscisses des intersections donnent les indices {{formule|''h''}}, {{formule|''k''}} et {{formule|''i''}}. == Indexation des pics de diffraction == ---- ; Note : Par « pic », nous désignons non seulement les pics des diffractogrammes dans le cas des enregistrements numériques, mais aussi les tâches de diffraction dans le cas de la diffraction sur un monocristal ([[cliché de Laue]], [[microscopie électronique en transmission]]), ainsi que les anneaux de diffraction dans le cas de la diffraction sur une poudre ([[chambre de Debye-Scherrer]]). : ''Voir l'article [[Théorie de la diffraction sur un cristal]].'' ---- Dans les expériences de diffraction avec une [[longueur d'onde]] de l'ordre des paramètres de maille ([[diffraction de rayons X]], [[diffraction de neutrons]], [[diffraction d'électrons]] en [[microscopie électronique en transmission]]), la position des pics de diffraction peut se calculer en fonction des [[distance interréticulaire|distances interréticulaires]], par la [[loi de Bragg]]. On peut ainsi relier chaque pic à un plan {{formule|(''hkl''&thinsp;)}} ; les indices de miller du plan sont les indices du pic. == Espace réciproque et diffraction == Considérons l'[[espace réciproque]], c'est-à-dire l'espace vectoriel formé par les [[vecteur d'onde|vecteurs d'onde]] ; l'utilisation de cet espace permet de déterminer facilement les conditions de diffraction (voir aussi l'article ''[[Théorie de la diffraction sur un cristal]]''). On y définit la base réciproque <math>(\vec{e}^*_1, \vec{e}^*_2, \vec{e}^*_3)</math> par<ref>il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors <math>\vec{e^*_i} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_j} \wedge \vec{e_k}</math> (''i'', ''j'', ''k'') étant une [[permutation circulaire]] de (1, 2, 3) ; ce facteur 2π produit juste une [[homothétie]] (dilatation) de l'espace réciproque, mais ne change rien aux résultats</ref> : :<math>\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3</math> :<math>\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1</math> :<math>\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2</math> où ''V'' est le volume de la maille <math>(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})</math> qui peut s'écrire : : <math>V = \vec{e_1} \cdot (\vec{e_2} \wedge \vec{e_3}) = \vec{e_3} \cdot (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) = \vec{e_2} \cdot (\vec{e_3} \wedge \vec{e_1})</math> D'après les propriétés du [[produit vectoriel]], on a : : <math>\vec{e_1^*} \cdot \vec{e_2} = \vec{e_1^*} \cdot \vec{e_3} = 0</math>, soit <math>\vec{e_1^*} \bot \vec{e_2}</math> et <math>\vec{e_1^*} \bot \vec{e_3}</math> : <math>\vec{e_2^*} \cdot \vec{e_3} = \vec{e_2^*} \cdot \vec{e_1} = 0</math>, soit <math>\vec{e_2^*} \bot \vec{e_3}</math> et <math>\vec{e_2^*} \bot \vec{e_1}</math> : <math>\vec{e_3^*} \cdot \vec{e_1} = \vec{e_3^*} \cdot \vec{e_2} = 0</math>, soit <math>\vec{e_3^*} \bot \vec{e_1}</math> et <math>\vec{e_3^*} \bot \vec{e_2}</math> Par ailleurs, si (''m'', ''n'', ''p'') est une permutation circulaire de (1, 2, 3), on a : : <math>\vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{1}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 1</math><ref>si l'on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors <math>\vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 2 \pi</math></ref> Notons <math>\vec{K}</math> le vecteur ayant les coordonnées (''h'', ''k'', ''l'') dans cette base réciproque : :<math>\vec{K} = h \cdot \vec{e^*_1} + k \cdot \vec{e^*_2} + l \cdot \vec{e^*_3}</math> alors ce vecteur est normal au plan (''hkl'') : si ni ''h'', ni ''k'', ni ''l'' ne sont nuls, alors : <math>\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = (h \cdot \vec{e^*_1} + k \cdot \vec{e^*_2} + l \cdot \vec{e^*_3}) \cdot \left ( -\frac{1}{h} \cdot \vec{e_1} + \frac{1}{k} \cdot \vec{e_2} \right )</math> soit : <math>\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -\vec{e^*_1} \cdot \vec{e_1} + \frac{h}{k} \cdot \vec{e^*_1} \cdot \vec{e_2} -\frac{k}{h} \cdot \vec{e^*_2} \cdot \vec{e_1} + \vec{e^*_2} \cdot \vec{e_2} - \frac{l}{h} \cdot \vec{e^*_3} \cdot \vec{e_1} + \frac{l}{k} \cdot \vec{e^*_3} \cdot \vec{e_2}</math> donc :<math>\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -1 + 0 - 0 + 1 - 0 + 0 = 0</math><ref>si l'on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors <math>\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -2 \pi +0 -0 + 2 \pi -0 + 0 = 0</math></ref> donc <math>\vec{K} \bot \overrightarrow{A_1 A_2}</math>. On peut démontrer de même que <math>\vec{K} \bot \overrightarrow{A_2 A_3}</math> et que <math>\vec{K} \bot \overrightarrow{A_3 A_1}</math>. Le <math>\vec{K}</math> est perpendiculaire à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan. Si ''h'', ''k'' ou ''l'' est nul, on montre l'orthogonalité en se basant sur le fait qu'un ou deux des axes est parallèle au plan. Or, les vecteurs ayant des coordonnées entières dans la base réciproque correspondent aux [[condition de diffraction pour un cristal|conditions de diffraction]]. Ainsi : * dans le cas de la diffraction sur un monocristal ([[cliché de Laue]], [[microscopie électronique en transmission]]), on peut associer une tâche de diffraction à un plan cristallographique ; * dans le cas d'une poudre ([[chambre de Debye-Scherrer]], [[diffractomètre]] Bragg-Brentano), on peut associer un anneau de Debye ou un pic de diffraction à un plan cristallographique. On parle ainsi de tâche, d'anneau ou de pic (''hkl''). Cette association s'appelle « l'indexation ». == Notes == <references/> == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Réseau de Bravais]] === Liens externes === * Éléments de cristallographie (pages personnelles chez.com/deuns) ** [http://www.chez.com/deuns/sciences/cristallo/cristallo23.html Plans nodaux et indices de Miller] ** [http://www.chez.com/deuns/sciences/cristallo/cristallo34.html Indices de Miller] {{portail physique}} [[catégorie:cristallographie]] [[de:Millersche Indizes]] [[en:Miller index]] [[es:Índice de Miller]] [[fi:Millerin indeksit]] [[he:אינדקס מילר]] [[ja:ミラー指数]] [[pl:Wskaźniki Millera]] [[pt:Índice de Miller]] [[sk:Millerov symbol]] [[sv:Millerindex]] [[uk:Індекси Міллера]]