Informatique quantique
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2008-07-04T13:31:01Z
Antoinetav
19081
L''''informatique quantique''' est le sous-domaine de l'[[informatique]] qui traite des [[Calculateur quantique|ordinateurs quantiques]] utilisant des phénomènes de la [[mécanique quantique]], par opposition à ceux de l'[[électricité]] exclusivement, pour l'informatique dite « classique ». Les phénomènes quantiques utiles sont l'[[intrication quantique]] et la [[superposition]]. Les opérations ne sont plus basées sur la manipulation de [[Bit (informatique)|bits]], mais de [[qubit]]s.
==Histoire==
===Fondation===
Selon la [[loi de Moore]], la puissance des [[ordinateur]]s doit augmenter exponentiellement. Voyant cette « loi » possiblement devenir fausse à court terme, une solution est de changer de [[paradigme]] pour se tourner vers l'informatique quantique.
Par contre, selon la [[thèse de Church]], tout calcul devrait être faisable efficacement sur une [[machine de Turing]], alors qu'il ne semble pas possible de simuler un [[calculateur quantique]] avec une machine de Turing. Dans un premier temps, un autre type d'ordinateur semblait avoir contredit cette thèse, le [[calculateur analogique]]. Cette contradiction apparente a néanmoins été rapidement réfutée parce que la question du [[bruit]] n'avait pas été abordée, et la surpuissance supposée du calculateur analogique est maintenant nullifiée.
La prise en compte du bruit est donc un des premiers défis du [[calculateur quantique]]. En particulier, la théorie de l'[[information quantique]] traite des [[code quantique|codes correcteurs quantiques]] et du [[calcul quantique avec tolérance d'erreurs]].
===Résultats non négatifs===
Deux résultats des [[années 1990]] indiquent que les ordinateurs quantiques pourraient être plus puissants que les machines de Turing, et même des [[machine de Turing probabiliste|machines de Turing probabiliste]]. En [[1994]], [[Peter Shor]] découvre l'[[algorithme de Shor]] qui permet de calculer efficacement la [[décomposition en produit de facteurs premiers]] et le [[logarithme discret]]. En [[1995]], [[Lov Grover]] découvre l'[[algorithme de Grover]] qui permet de faire efficacement une [[algorithme de recherche|recherche]] dans un [[espace (notion)|espace]] non structuré.
Les problèmes résolus par l'algorithme de Shor n'ont pas de solution efficace connue sur un ordinateur classique, bref, sur une machine de Turing. L'amélioration en efficacité provenant de l'algorithme de Grover n'est pas aussi significative, mais la très grande applicabilité des [[algorithme de recherche|algorithmes de recherche]] implique l'importance du résultat.
==Les bases physiques==
L'informatique quantique est basée sur la [[mécanique quantique]]. Les phénomènes utiles sont l'[[intrication quantique]] et la [[superposition]]. Il est cependant nécessaire de prévoir les effets contre-productifs de la [[décohérence]].
;Fonction d'onde
La [[fonction d'onde]] en mécanique quantique est la représentation de l'état quantique dans la base de dimension infinie des positions. La probabilité de présence des particules représentées par cet état quantique est alors directement le carré de la norme de cette fonction d'onde.
;État quantique
En [[mécanique quantique]], on représente l'état d'un système par un point dans un [[espace vectoriel]] [[espace de Hilbert|hilbertien]] ; l'espace à considérer dépendant du système étudié. On utilise souvent la [[notation bra-ket]] pour représenter les [[état quantique|états quantiques]] de manière simple. Par exemple, l'espace des états d'une particule sans spin est l'espace des fonctions de <math>\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{C}</math> à carré sommable. Lorsque l'on associe deux systèmes pour en faire un plus gros, l'espace des états de ce gros système est le [[produit tensoriel]] des espaces des états associés aux deux sous-systèmes.
On retrouve également le [[déterminisme]] de la mécanique classique, c'est-à-dire que l'on peut calculer comment l'état d'un système va évoluer au cours du temps (grâce à l'[[équation de Schrödinger]]), <u>sauf lorsqu'il y a une mesure</u> de l'état de notre système, auquel cas l'évolution n'est plus déterministe, mais probabiliste.
Il s'agit là d'une <u>différence majeure</u> avec la mécanique classique, qui découle du [[Postulats de la mécanique quantique|postulat]] de réduction du paquet d'onde et qui permet de donner une interprétation probabiliste aux états quantiques.
Supposons qu'un [[système quantique]] se trouve dans un état <math>|\psi \rangle</math> et que l'on veuille mesurer une [[observable]] <math>\hat{A}</math> du système ([[énergie]], [[position]], [[spin]], ...). Les [[vecteur propre|vecteurs propres]] de <math>\hat{A}</math> sont notés <math>|a_i \rangle</math> et les [[valeur propre|valeurs propres]] correspondantes <math>\alpha_i</math>, que l'on supposera non [[dégénéré]]es pour simplifier. Comme le postule le principe de réduction du paquet d'onde, la [[Mesure_(mathématiques)|mesure]] de A ne peut donner comme résultat que l'un des <math>\alpha_i</math>, et la probabilité d'obtenir le résultat <math>\alpha_i</math> est <math>{|\langle a_i|\psi \rangle|}^2</math>. Supposons que la mesure donne pour résultat <math>\alpha_p</math>, le système est passé lors de la mesure et de façon instantanée de l'état <math>|\psi \rangle</math> à l'état <math>|a_p \rangle</math>.
On voit dès lors l'interprétation que l'on peut faire des [[produit scalaire|produits scalaires]] <math>\langle a|\psi \rangle</math>, où <math>|a \rangle</math> est un état quelconque : en effet, en supposant l'existence d'une observable dont <math>|a \rangle</math> serait un des états propres, on peut dire que <u>la [[probabilité]] de trouver le système dans l'état <math>|a \rangle</math></u> (sous-entendu : si on faisait la mesure) est <math>{|\langle a|\psi \rangle|}^2</math>. Pour cette raison, le produit scalaire est appelé ''amplitude de probabilité''.
Il existe d'autres représentations mathématiques de l'état d'un système, la [[matrice densité]] étant une généralisation de la représentation exposée ici.
===Intrication quantique===
{{Article détaillé|Intrication quantique}}
En [[mécanique quantique]], on appelle [[intricat]] un état physique où est intriqué un système S1 & un système S2 sans que l'[[espace de Hilbert]] soit la somme tensorielle de l'espace de S1 et de l'espace S2. Il y a même au contraire corrélation complète de S1 et de S2 de sorte que l'entropie de (S1 union S2) dans un intricat est simplement celle de S2 ou de S1. Il y a sous-additivité complète.
L'intrication quantique est la ressource naturelle principale, utilisée en informatique quantique : actuellement, on la compare même au [[fer]], tel que considéré à l'[[Âge du bronze]]. De fait, la théorie de l'informatique quantique a beaucoup progressé depuis que l'on sait réaliser des intricats de faible [[décohérence]] : alors il est devenu pensable de prévoir un futur [[ordinateur quantique]]. Les mathématiciens (Shor, Kitaev, ...) ont fondé le tout nouveau [[calcul quantique]], qui est en train de révolutionner le calcul de la [[complexité algorithmique]].
===Bits vs qubits===
Les operations ne sont plus appliquées à des [[Bit (informatique)|bits]], mais à des [[qubit]]s. L'espace des états possibles n'est pas le même que dans le monde classique. Les deux qubits possibles sont <math>|0 \rangle</math> et <math>|1 \rangle</math>. Une différence majeure d'avec les bits, c'est qu'un qubit peut être dans les deux états en même temps : c'est le phénomène de [[superposition]]. En général, un qubit est
:<math>\alpha |0\rangle + \beta |1 \rangle</math>
où <math>|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>. Donc, à la mesure, on trouve <math>|0 \rangle</math> avec probabilité de <math>\alpha^2</math> et <math>|1 \rangle</math>, avec une probabilité de <math>\beta^2</math>. Surviennent ainsi les questions de [[mesure quantique]], de [[distinction des états quantiques]] et de [[mesure projective]].
Il y a plusieurs façons [[physique]]s de représenter un qubit. Parmi celles-ci :
* spin d'électron
* niveaux d'énergie dans un atome
* polarisation d'un photon
==Les bases mathématiques==
===Algèbre linéaire===
Selon le principe de physique quantique, on conçoit le système physique comme un [[espace de Hilbert]] à <math>d</math> dimensions. Pour traiter ceci, les outils mathématiques principaux se trouvent en [[algèbre linéaire]]. La notation habituelle pour les [[vecteur]]s est remplacée par la [[notation bra-ket]] telle qu'expliquée ci-haut pour les états quantiques <math>\psi</math>, puisque ce sont ces états qui sont représentés par des vecteurs.
Le vecteur aussi appelé ''ket'' :
:<math>|\psi \rangle</math>
Le vecteur dual (autrement dit, [[transposition (algèbre)|transposé]] et [[conjugaison (algèbre)|conjugé]]) du ket, aussi appelé ''bra'' :
:<math>\langle \psi |</math>
Les matrices typiquement utilisées sont : [[hermitien|matrice hermitienne]], [[matrice normale]], [[matrice unitaire]], [[matrice définie positive|matrice positive]], [[matrice densité|matrice de densité]], [[matrices de Pauli]], [[matrice de Hadamard]].
;Matrices de densité
Les [[matrice densité|matrices de densité]] sont des objets mathématiques qui peuvent traiter tous les types d'[[état quantique|états quantiques]] utiles à l'informatique quantique : l'[[état pur]] tout comme l'[[état mélangé]], qui est un mélange d'états purs.
;Opérations ou théorèmes utiles
Les matrices ont généralement la fonction d'[[Opérateur (mathématiques)|opérateur]]s linéaires. De plus, certaines opérations sur ces opérateurs sont également définies.
* Opérations sur les vecteurs <math>|\phi \rangle</math> et <math>|\psi \rangle</math> : [[produit scalaire]] <math>\langle \phi |\psi \rangle</math>, [[produit tensoriel]] <math>|\phi \rangle \otimes |\psi \rangle</math> ou <math>|\phi \rangle |\psi \rangle</math>
* Opérations sur les matrices ''A'' : [[conjugaison (algèbre)|conjugaison]] complexe ''A<sup>*</sup>'' ou hermitienne ''A<sup>t</sup>'', [[transposition (algèbre)|transposition]] ''A<sup>T</sup>'', [[trace (algèbre)|trace]] ''tr(A)'', [[diagonalisation]]
* Mesures : [[mesure quantique]], [[distinction des états quantiques]] et [[mesure projective]]. Les mesures projectives sont des [[Opérateur (mathématiques)|opérateur]]s qui sont des [[projecteur]]s ([[Observable|Observables]]).
* Théorème de [[décomposition spectrale]], [[inégalité de Cauchy-Schwarz]]
===Algèbre abstraite===
Du domaine de l'[[algèbre abstraite]], les [[groupe (mathématiques)|Groupe]]s de [[Groupe de Lie| Lie]] suivants sont utiles: [[Groupe spécial unitaire|SU(2)]] et [[Groupe orthogonal|SO(3)]].
'''<math>SU(2)</math>, le groupe spécial unitaire de degré 2
Le groupe [[Groupe spécial unitaire|SU(2)]] est isomorphe au groupe des [[quaternion]]s de valeur absolue 1 et est donc identique à la sphère de dimension 3 S<sup>3</sup>. Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3,R) de noyau {+I,–I}.
Les matrices dites [[matrices de Pauli]] forment une base de su(2). Ces matrices sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le [[spin]] des particules.
'''<math>SO(3)</math>, le groupe orthogonal de degré 3 du corps <math>\mathbb R</math>
Le groupe [[Groupe orthogonal|SO(3)]], compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des [[rotation]]s.
En termes de [[topologie algébrique]], pour ''n'' > 2, le [[groupe fondamental]] de SO(n) est le [[groupe cyclique]] d’ordre 2 et le [[groupe Spin]] Spin(''n'') est son [[recouvrement universel]]. Pour ''n''=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini et son recouvrement universel correspond à la droite des réels.
==Sous-domaines==
===Complexité algorithmique===
:''Pour l'article détaillé, voir [[complexité algorithmique quantique]].''
Une sous-branche de la [[complexité algorithmique]] pour traiter de l'[[algorithmique]] de l'informatique quantique.
===Ordinateurs quantiques===
:''Pour l'article détaillé, voir [[calculateur quantique]].''
Un calculateur quantique opère ses calculs grâce, entre autre, à la superposition d'états quantiques. De petits calculateurs quantiques ont déjà été construits dans les années 1990 et des progrès sont en cours. C'est un domaine en plein essor soutenu financièrement par de nombreuses organisations, entreprises ou gouvernements, du fait de l'importance de l'enjeu : révolutionner l'informatique avec une puissance et des opérations inimaginables à l'aide d'un ordinateur classique.
La fabrication d'un '''ordinateur quantique''' nécessiterait l'utilisation de techniques que l'on commence à peine à maîtriser pour certaines.
===Théorie de l'information quantique===
:''Pour l'article détaillé, voir [[théorie de l'information quantique]].''
Une sous-branche de la [[théorie de l'information]] pour traiter de l'[[information]] de l'informatique quantique.
Les principaux sujets traités sont les [[code quantique|codes correcteurs quantiques]] et le [[calcul quantique avec tolérance d'erreurs]]. La [[téléportation quantique]] joue aussi un rôle central.
===Cryptographie quantique===
[[Image:Laser optique.jpeg|thumb|right|Exemple de disposition d'un cryptosystème quantique]]
:''Pour l'article détaillé, voir [[cryptographie quantique]].''
La cryptographie quantique est une tentative de mise en œuvre des prédicats de la [[mécanique quantique]] afin d'assurer la [[confidentialité]], l'[[intégrité (cryptographie)|intégrité]] ou la non-interception de transmissions de données.
La cryptographie quantique permet à deux interlocuteurs de s’échanger une clé en toute sécurité ; en effet, cette méthode permet non seulement de démasquer toute tentative d’espionnage grâce aux propriétés de la mécanique quantique, mais également de réduire la quantité d’information détenue par un éventuel espion à un niveau arbitrairement bas et ce grâce à des algorithmes classiques. On le voit donc, la cryptographie quantique constitue un outil très précieux pour des systèmes de cryptographie symétrique où les deux interlocuteurs doivent impérativement posséder la même clé et ce en toute confidentialité.
==Voir aussi==
* [[Algorithme de Shor]]
* [[Algorithme de Grover]]
* [[Algorithme de Deutsch]]
* [[Algorithme de Deutsch-Jozsa]]
* [[Information quantique]]
* [[Ordinateur quantique]]
==Bibliographie==
* {{en}} M.A. Nielsen et Isaac Chuang, ''Quantum Computation and Quantum Information'', Cambridge University Press, 2000.
==Liens externes==
* {{fr}} [http://www.physique.usherbrooke.ca/~ablais/intro_info_quantique.htm Introduction à l'informatique quantique sans équations], Alexandre Blais (Yale)
* {{en}} [http://arxiv.org/abs/quant-ph/9809016 Introduction à l'informatique quantique],pour les '''non'''-physiciens, Michel Le Bellac (CNRS)
* {{en}} [http://www.quantiki.org Wiki d'informatique quantique]
* {{en}} [http://arxiv.org/archive/quant-ph Quant-ph] : articles de physique et d'informatique quantique
* {{en}} [http://equipes-lig.imag.fr/capp/qcg/ Quantum computation in Grenoble] : Groupe de recherche en informatique quantique à Grenoble.
* [https://gna.org/projects/quantumlibrary Quantum Library] : Bibliothèque C++ simulant le comportement de qubits permettant le développement d'algorithme quantique
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