Injection (mathématiques)
16800
30675935
2008-06-15T19:03:53Z
AlleborgoBot
225632
robot Ajoute: [[la:Functio iniectiva]]
{{Voir homonymes|Injection}}
Une [[fonction et application|application]] <math>f : X\rightarrow Y</math> est dite '''injective''' ou est une '''injection''' si pour tout <var>y</var> dans l'[[ensemble d'arrivée]] <var>Y</var>, il existe au plus un élément <var>x</var> dans l'[[ensemble de définition]] <var>X</var> tel que <var>f</var>(<var>x</var>) = <var>y</var>. On dit encore dans ce cas que tout élément <var>y</var> de <var>Y</var> admet au plus un [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] <var>x</var> (par <var>f</var>).
De manière équivalente, <var>f</var> est dite injective si pour tous <var>x</var> et <var>x</var>' dans <var>X</var>, <var>f</var>(<var>x</var>) = <var>f</var>(<var>x</var>') implique <var>x</var> = <var>x</var>'.
Lorsque <var>X</var> et <var>Y</var> sont tous les deux égaux à la [[droite réelle]] <math>\mathbb R</math>, alors une fonction injective <math>f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en au plus un point.
=== Définition formelle ===
Soit <math>f</math> une application de <math>E</math> dans <math>F</math>. <math>f</math> est dite injective si
<math>\forall (x,y) \in E^2,\, \left(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \right)</math>
===Exemple concret ===
Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
* Les touristes souhaitent que l'application soit '''injective''', c'est-à-dire que ''chacun d'entre eux ait une chambre individuelle''. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
* L'hôtelier souhaite que l'application soit '''surjective''', c'est-à-dire que ''chaque chambre soit occupée''. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
* Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est '''bijective'''.
[[Image:Surjection Injection Bijection-fr.svg]]
=== Exemples et contre-exemples ===
Considérons la fonction <math>f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> définie par <var>f</var>(<var>x</var>) = 2<var>x</var> + 1.
Cette fonction est injective, puisque pour tous [[nombre réel|nombres réels]] arbitraires <var>x</var> et <var>x</var>', si 2<var>x</var> + 1 = 2<var>x</var>' + 1, alors 2<var>x</var> = 2<var>x</var>', soit <var>x</var> = <var>x</var>'.
D'un autre côté, la fonction <math>g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> définie par <var>g</var>(<var>x</var>) = <var>x</var><sup>2</sup> n'est ''pas'' injective, parce que (par exemple) <var>g</var>(1) = 1 = <var>g</var>(−1).
D'autre part, si nous définissons la fonction <math>h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R</math> par la même relation que <var>g</var>, mais avec l'ensemble de définition restreint à l'ensemble des ''[[réel positif|réels positifs]]'', alors la fonction <var>h</var> ''est'' injective.
Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés <var>x</var> et <var>x</var>', si <var>x</var><sup>2</sup> = <var>x</var>'<sup>2</sup>, alors |<var>x</var>| = |<var>x</var>'|, ainsi <var>x</var> = <var>x</var>'.
=== Propriétés ===
* Une fonction <var>f</var>: <var>X</var> → <var>Y</var> est injective [[Équivalence logique|si et seulement si]] <var>X</var> est l'[[ensemble vide]] [[ou logique|ou]] il existe une fonction <var>g</var>: <var>Y</var> → <var>X</var> telle que <var>g</var> <sup><small>o</small></sup> <var>f</var> soit égale à l'[[application identité]] sur <var>X</var>.
* Une fonction est [[bijection|bijective]] si et seulement si elle est à la fois injective et [[surjection|surjective]].
* Si <var>g</var> <sup><small>o</small></sup> <var>f</var> est injective, alors <var>f</var> est injective.
* Si <var>f</var> et <var>g</var> sont toutes les deux injectives, alors <var>g</var> <sup><small>o</small></sup> <var>f</var> est injective.
* <var>f</var>: <var>X</var> → <var>Y</var> est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données <var>g</var>,<var>h</var>: <var>W</var> → <var>X</var>, lorsque <var>f</var> <sup><small>o</small></sup> <var>g</var> = <var>f</var> <sup><small>o</small></sup> <var>h</var>, alors <var>g</var> = <var>h</var>. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les [[monomorphisme]]s de la [[théorie des catégories|catégorie]] des ensembles.
* Si <var>f</var>: <var>X</var> → <var>Y</var> est injective et <var>A</var> est un [[sous-ensemble]] de <var>X</var>, alors <var>f</var><sup> −1</sup>(<var>f</var>(<var>A</var>)) = <var>A</var>. Ainsi, <var>A</var> peut être retrouvé à partir de l'[[image réciproque]] de <var>f</var>(<var>A</var>).
* Si <var>f</var>: <var>X</var> → <var>Y</var> est injective et <var>A</var> et <var>B</var> sont des sous-ensembles de <var>X</var>, alors <var>f</var>(<var>A</var> ∩ <var>B</var>) = <var>f</var>(<var>A</var>) ∩ <var>f</var>(<var>B</var>).
* Toute fonction <var>h</var>: <var>W</var> → <var>Y</var> peut être décomposée comme <var>h</var> = <var>f</var> <sup><small>o</small></sup> <var>g</var> pour une injection <var>f</var> et une surjection <var>g</var> convenables. Cette décomposition est unique [[à un isomorphisme près]], et <var>f</var> peut être considérée comme la [[fonction inclusion]] de l'image de <var>h</var>, <var>h</var>(<var>W</var>) dans un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée <var>Y</var> de <var>h</var>.
* Si <var>f</var> : <var>X</var> → <var>Y</var> est une fonction injective, alors <var>Y</var> a au moins autant d'éléments que <var>X</var>, au sens des [[Nombre cardinal|cardinaux]].
* Si on note <math>E \leq F</math> la propriété « il existe une injection de l'ensemble <math>E</math> dans l'ensemble <math>F</math>», alors <math>\leq</math> vérifie les propriétés d'une [[relation d'ordre]] sur les [[Nombre cardinal|cardinaux]] (on ne peut pas dire néanmoins que <math>\leq</math> est une relation, car elle est définie sur une [[classe_(mathématiques)|classe]] et non sur un ensemble, en vertu du [[Paradoxe de Russell]]). La [[réflexivité]] et la [[transitivité (mathématiques)|transitivité]] ont été traitées au cours des exemples précédents, et l'antisymétrie est l'objet du [[Théorème de Cantor-Bernstein]].
==Voir aussi==
* [[Surjection]]
* [[Bijection]]
* [[Identification (injectivité)]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[bg:Инекция]]
[[ca:Funció injectiva]]
[[cs:Prosté zobrazení]]
[[da:Injektiv]]
[[de:Injektivität]]
[[en:Injective function]]
[[eo:Enĵeto]]
[[es:Función inyectiva]]
[[fi:Injektio]]
[[he:פונקציה חד-חד-ערכית]]
[[hr:Injektivna funkcija]]
[[hu:Injektív leképezés]]
[[io:Injektio]]
[[it:Funzione iniettiva]]
[[ja:単射]]
[[ko:단사 함수]]
[[la:Functio iniectiva]]
[[lt:Injekcija (matematika)]]
[[nl:Injectie (wiskunde)]]
[[oc:Injeccion (matematicas)]]
[[pl:Funkcja różnowartościowa]]
[[pt:Função injectiva]]
[[ro:Funcţie injectivă]]
[[ru:Инъекция (математика)]]
[[sk:Prosté zobrazenie]]
[[sl:Injektivna preslikava]]
[[sr:Инјективно пресликавање]]
[[sv:Injektiv]]
[[zh:单射]]