Intervalle d'espace-temps 2793562 31132555 2008-06-29T17:52:13Z LyricV 210569 /* Genre espace: correction erreur */ {{relativité}} Le ''carré'' de l&rsquo;'''intervalle d'espace-temps''' entre deux [[Événement (espace-temps)|événements]] dans l'[[espace-temps]] de la [[relativité restreinte]] ou [[relativité générale|générale]] est l'équivalent du carré de la distance géométrique entre deux points dans l'[[espace euclidien]]. Cette quantité est invariante par changement de [[Référentiel (physique)|référentiel]]. Elle permet de savoir si deux événements peuvent être connectés par un [[causalité (physique)|lien de cause à effet]] ou sont au contraire causalement indépendants l'un de l'autre. Quand le ''carré'' de l&rsquo;intervalle d'espace-temps entre deux [[Événement (espace-temps)|événements]] est positif ou nul (le terme ''carré'' n'est ici employé que de manière formelle), l'intervalle d'espace-temps est défini comme étant sa [[racine carrée]]. Sinon, l'intervalle d'espace temps n'est pas défini, ou au mieux considéré comme un [[nombre imaginaire]]. ==Expression en relativité resteinte == Dans l'espace euclidien en trois dimensions, le carré de la distance <math>\Delta l</math> entre deux points A et B de coordonnées (''x{{ind|A}},&nbsp;y{{ind|A}},&nbsp;z{{ind|A}}'') et (''x{{ind|B}},&nbsp;y{{ind|B}},&nbsp;z{{ind|B}}'') par rapport à un [[repère cartésien|repère cartésien orthonormé]] s'exprime sous la forme : :<math>\,(\Delta l)^2 = (x_\text{B} - x_\text{A})^2 + (y_\text{B}-y_\text{A})^2 + (z_\text{B}-z_\text{A})^2\,,</math> ce que l'on écrit couramment de façon plus condensée :<math>\Delta l^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \,.</math> Il est évident qu'en [[physique classique]], cette grandeur est invariante par changement de référentiel. Mais ce n'est plus le cas en physique relativiste. Dans la géométrie de l'espace-temps de la [[relativité restreinte]], on écrit le « carré de l'intervalle d'espace-temps », noté <math>\Delta s^2</math>, entre deux événements A et B de coordonnées (''t{{ind|A}},&nbsp;x{{ind|A}},&nbsp;y{{ind|A}},&nbsp;z{{ind|A}}'') et (''t{{ind|B}},&nbsp;x{{ind|B}},&nbsp;y{{ind|B}},&nbsp;z{{ind|B}}'') dans un espace-temps à quatre dimensions (une de temps, soit ''t'', et trois d'espace) sous la forme <!--<ref>En relativité générale, on peut toujours trouver un référentiel ayant une métrique ''localement'' de cette forme, et si on veut l'étendre à tout l'espace il faut utiliser une expressions plus générale. Voir [[principe d'équivalence]].</ref> --> :<math>(\Delta s)^2 = \, c^2(t_\text{B} - t_\text{A})^2 - (x_\text{B}-x_\text{A})^2 - (y_\text{B}-y_\text{A})^2 - (z_\text{B}-z_\text{A})^2</math> ou :<math>\Delta s^2\, =\, c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 \,</math> expression dans laquelle le facteur ''c''{{2}} s'impose par le biais des [[transformations de Lorentz]] ou des principes de la relativité restreinte, suivant la méthode utilisée pour justifier son invariance par changement de [[référentiel inertiel]]. <!-- En conservant la dimension temporelle ''t'' mais en généralisant à trois dimensions d'espace (''x,&nbsp;y,&nbsp;z'') et en introduisant la distance géométrique ordinaire :<math>\,\Delta s^2 = (x_\text{B} - x_\text{A})^2 + (y_\text{B} - y_\text{A})^2 + (z_\text{B} - z_\text{A})^2\equiv \Delta x^2 +\Delta y^2+\Delta z^2\,,</math> on écrit le carré de l'intervalle d'espace-temps entre les événements A et B comme : :<math>c^2\Delta \tau^2 \, = \, c^2\Delta t^2 - \Delta s^2\,.</math> --> Alors que le carré de la distance géométrique euclidienne ne contenait que des signes « + » et se révélait donc toujours positif, l'expression de l'intervalle spatio-temporel contient un signe « - » et peut de ce fait être un nombre positif, négatif ou nul, selon la taille respective de la séparation spatiale ''&Delta;l'' et du terme de séparation temporelle ''c&Delta;t'' des deux événements. Il ne faut pas s'étonner que le ''carré'' <math>\Delta s^2</math> puisse se révéler négatif car cette écriture n'est que formelle et est faite pour souligner que « le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps » a la [[analyse dimensionnelle|dimension]] du carré d'une distance. Par conséquent, la notion de « distance » (nous employons d'ailleurs ici le terme d'intervalle d'espace-temps) n'a plus la signification concrète qu'elle possédait en géométrie non relativiste. <!-- Bien entendu lorsque l'on revient aux grandeurs physiques telles que temps ou espace, et s'il s'agit de calculer la racine carrée du carré de l'intervalle ici défini, il faudra revenir à un carré positif. Ainsi selon le contexte il peut être commode d'introduire deux notations différentes, permettant selon les besoins de choisir l'expression convenable du carré de l'intervalle<ref>Lorsque par exemple on utilise le [[Temps propre#Principe de maximisation de l'intervalle de temps propre|principe de maximisation de l'intervalle de temps propre]], on est obligé de prendre la racine carrée de &Delta;''&tau;''{{2}} et par conséquent il faut s'assurer que cette quantité est positive.</ref>. Les deux expressions pouvant être utilisées sont les suivantes : :<math>c^2\Delta\tau^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta s^2\,</math> et :<math>\,\Delta\sigma^2 = -c^2\Delta t^2 + \Delta s^2\,.</math> On observe que <math>\Delta \tau</math> a la dimension d'un temps et <math>\Delta \sigma</math> la dimension d'une longueur, mais la remarque n'est pas forcément pertinente car en relativité restreinte la réunion du temps et de l'espace en une seule entité, l'espace-temps, inviterait plutôt le physicien à utiliser une même unité, la seconde ou le mètre, pour mesurer longueurs et temps<ref>On peut remarquer qu'il est tout à fait courant dans la vie quotidienne de mesurer une distance comme un temps. C'est exactement ce que l'on fait lorsque l'on dit que Montpellier est à un peu plus de ''3 heures de train'' de Paris. En relativité restreinte il s'agit de secondes non plus de train mais de lumière. En [[astronomie]] on compte les distances en années de lumière (officiellement [[années-lumière]]).</ref>. Dans [[E=mc2#Unités|ce cas]] le facteur ''c'' disparaît des formules et on écrit par exemple, en exprimant temps et longueurs en secondes : :<math>\Delta\tau_{\rm (s)}^2\,=\,\Delta t_{\rm (s)}^2 - \Delta s_{\rm (s)}^2</math> :<math>\Delta\sigma_{\rm (s)}^2\,=\,- \Delta t_{\rm (s)}^2 + \Delta s_{\rm (s)}^2</math> Toutefois, pour éviter aux néophytes d'être rebutés par cette fusion entre unités de temps et d'espace nous nous conformerons ici à l'usage ancien d'exprimer les temps en secondes et les longueurs en mètres. Cet usage alourdit les formules mais a l'avantage en revanche de permettre de vérifier dans les calculs l'homogénéité des résultats, parfois [[Univers fini de Friedmann#Question d'unités|difficile à cerner]]. --> ==Invariance== L'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps est une propriété centrale de la [[relativité restreinte]]. Selon la présentation choisie, cette invariance peut être posée comme axiome fondateur de la théorie, ou déduite directement des axiomes originaux de la relativité<ref>Voir, par exemple, {{Landau}}, tome 2 "théorie des champs", chapitre 1, §2.</ref>, à savoir le [[principe de relativité]] et l'invariance de la [[vitesse de la lumière]] par changement de [[référentiel inertiel]], ou encore déduite des transformations de Lorentz qui transforment les coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel (ces transformations étant déduites des deux principes de la relativité restreinte). Depuis [[Hermann Minkowski]], certaines présentations de la théorie choisissent une des deux premières options, en adoptant un point de vue purement [[géométrie|géométrique]] en dimension quatre (trois d'espace et une de temps)<ref>voir par exemple {{en}}E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Spacetime physics, Introduction to special relativity, second edition, Freeman, 1992</ref>. La troisième option correspond mieux au développement historique de la théorie. {{Boîte déroulante|titre=Une démonstration<ref>Voir {{Landau}} Tome 2, §2</ref> de l'invariance à partir des deux axiomes de la relativité restreinte|contenu= Les deux axiomes sont : le [[principe de relativité]] et l'invariance de la [[vitesse de la lumière]] par changement de référentiel (inertiel, comme tous les référentiels considérés ici). *Si, dans un certain référentiel, deux événements sont séparés de la distance spatiale <math>\ \Delta l</math> et de la distance temporelle <math>\ \Delta t</math> de telle sorte que <math>| \Delta l / \Delta t |\, = c</math> la vitesse de la lumière, alors on a : <math>\ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 =0</math>. :Si les deux mêmes événements sont vus depuis un autre référentiel, alors les distances spatiale et temporelle y sont <math>\ \Delta l'</math> et <math>\ \Delta t'</math>, avec <math>| \Delta l' / \Delta t' |\, = c</math> la vitesse de la lumière, qui a la même valeur dans cet autre référentiel, d'après le deuxième axiome. On en déduit que dans ce référentiel aussi, on a <math>\ \Delta s'^2 = c^2\Delta t'^2 - \Delta l'^2 =0</math> :Ainsi, si <math>\ \Delta s^2 =0</math> dans un référentiel, il en est de même dans tout autre. *Dans chaque référentiel et pour tout couple d'événements suffisamment proches, <math>\ \Delta s^2 </math> et <math>\ \Delta s'^2 </math> sont des infiniments petits du même ordre de grandeur, s'annulant simultanément, donc il existe un nombre <math>a</math> tel que <math>\ \Delta s^2 = a.\Delta s'^2</math>. Ce nombre ne peut pas dépendre de la position relative des deux référentiels car l'espace-temps est supposé [[Homogénéité (cosmologie)|homogène]], donc il ne dépend que de la vitesse relative des deux référentiels. Mais il ne peut pas dépendre de la direction de cette vitesse car l'espace-temps est supposé [[isotrope]]. Ainsi il ne dépend que de la valeur absolue de la vitesse relative, ou encore de son carré : <math>\ a = a(v^2)</math>. *Considérant trois référentiels, le principe de relativité imposant que les lois y soient les mêmes, on a : <math>\ \Delta s^2 = a(v^2).\Delta s'^2 \, ,</math> <math>\ \Delta s'^2 = a(v'^2).\Delta s''^2</math> et <math>\ \Delta s^2 = a(v''^2).\Delta s''^2</math>. Ainsi <math>\ a(v''^2) = a(v^2).a(v'^2)</math>. Or <math>\ v''^2</math> dépend de l'angle entre <math>\ v</math> et <math>\ v'</math>, angle n'intervenant pas dans <math>a(v^2).a(v'^2)</math>. Donc, <math>\ a(v^2)= a</math> est un nombre constant, ne dépendant pas de la vitesse relative des référentiels. *Comme <math>\ \Delta s^2 = 1.\Delta s^2</math>, on a <math>\ a = 1</math>. Conclusion : <math>\ \Delta s^2 = \Delta s'^2</math>. Le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps est invariant par changement de référentiel. }} {{Boîte déroulante|titre=Une démonstration de l'invariance à partir des transformations de Lorentz écrites sous la forme classique|contenu= On ramene le problème à deux dimensions pour plus de lisibilité, donc on néglige les détails sur les rotations spatiales. En considérant deux référentiels <math>\mathbb R</math> et <math>\mathbb R'</math> en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse <math>\ v</math>, les [[transformations de Lorentz]] utilisées sont : :<math>\,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t' = \gamma \left( c \Delta t - \beta \Delta x \right)\\ \Delta x' = \gamma \left( \Delta x-c \Delta t \right) \\ \Delta y' = \Delta y \\ \Delta z' = \Delta z \end{matrix} \right. \,~</math> avec <math>\beta = \frac{v}{c}</math> et <math>\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}</math>, Par quelques calculs algébriques simples, on montre que l'on a bien <math>c^2\Delta t'^2 - \Delta x'^2 - \Delta y'^2 - \Delta z'^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\,,</math> }} {{Boîte déroulante|titre=Une démonstration de l'invariance par les transformations de Lorentz exprimées à l'aide des fonctions hyperboliques|contenu= Le calcul suivant illustre le rapport étroit entre les [[Relativité restreinte#Les transformations de Lorentz|formules de transformations de Lorentz]] et l'invariance du carré de l'intervalle spatio-temporel et la possibilité de passer d'un formalisme à l'autre. En géométrie euclidienne, une rotation d'angle ''&theta;'' du système de coordonnées autour de l'axe ''Oz'' laisse invariante la distance entre deux points. Les [[Rotation plane#Formules de changement d'axes de coordonnées|formules de changement d'axes de coordonnées]] correspondant à cette rotation et donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes s'écrivent : :<math>\begin{cases}x'=x\cos\,\theta+y\sin\,\theta\\ y'=-x\sin\,\theta + y\cos\,\theta \\z'=z \,. \end{cases}</math> Par conséquent les différences de coordonnées entre les deux points A et B deviennent :<math>\begin{cases}\Delta x'=\Delta x\cos\,\theta+\Delta y\sin\,\theta\\ \Delta y'=-\Delta x\sin\,\theta + \Delta y\cos\,\theta \\\Delta z'=\Delta z \,.\end{cases}</math> On en déduit :<math>(\Delta x')^2+(\Delta y')^2+(\Delta z')^2 = (\Delta x\cos\,\theta+\Delta y\sin\,\theta)^2 + (-\Delta x\sin\,\theta + \Delta y\cos\,\theta)^2 + (\Delta z)^2 \equiv (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2\,,</math> formule montrant bien l'invariance de cette somme des carrés. En relativité restreinte les transformations de Lorentz permettent de passer du système « fixe » à un système animé d'une vitesse ''v'' le long de l'axe ''Ox''. En utilisant le [[Formulaire de relativité restreinte#Le paramètre angulaire|paramètre angulaire]] ''&theta;'' défini par :<math>\beta=v/c \,,\ \beta \,=\,\tanh\theta</math> &nbsp; soit &nbsp; <math>\theta \,=\, \mathrm{atanh}\beta</math> les formules de Lorentz s'écrivent comme des formules de rotation d'axes à ceci près que les fonctions trigonométriques sont remplacées par les fonctions hyperboliques. On a les [[Formulaire de relativité restreinte#Les transformations de Lorentz|expressions]] : :<math> \begin{cases} ct'= \ ct\cosh\,\theta - x\sinh\,\theta \\ x' = -ct \sinh\,\theta + x\cosh\,\theta \\ y'=y\\ z'=z \end{cases} </math> Par conséquent si on considère deux événements, les différences de coordonnées se transformeront comme :<math> \begin{cases} c\Delta t'= \ c\Delta t\cosh\,\theta - \Delta x\sinh\,\theta \\ \Delta x' = -c\Delta t \sinh\,\theta + \Delta x\cosh\,\theta \\ \Delta y'=\Delta y\\ \Delta z'=\Delta z \end{cases} </math> On en déduit : :<math>\,c^2(\Delta t')^2 -(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2 = (c\Delta t\cosh\,\theta - \Delta x\sinh\,\theta)^2 - ( -c\Delta t \sinh\,\theta + \Delta x\cosh\,\theta )^2 -(\Delta y)^2 - (\Delta z)^2 \,.</math> [[Fonctions hyperboliques#Propriétés|Comme]] :<math>\,(\cosh \theta)^2 - (\sinh \theta)^2 = 1</math> on aboutit bien à la formule d'invariance annoncée :<math>c^2\,(\Delta t')^2 - (\Delta s')^2 = c^2\,(\Delta t)^2 - (\Delta s)^2\,.</math> }} ==Relation entre événements== Le carré de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements peut être de trois types différents : *genre temps, *genre espace, *genre lumière. Le ''genre'' d'un carré d'intervalle d'espace-temps dépend de son signe, et comme il est invariant par changement de référentiel inertiel, le genre d'un intervalle d'espace-temps sera le même pour tout observateur. Ainsi, on pourra remarquer que si deux événements sont séparés par un carré d'intervalle d'espace-temps de genre temps ou lumière, ils peuvent être liés par un [[causalité (physique)|lien causal]] direct, par contre s'ils sont séparés par un de genre espace, ils ne le peuvent pas, et ceci quelque soit l'observateur et son référentiel inertiel. ===Genre temps=== Si l'intervalle temporel ''c&Delta;t'' l'emporte sur la distance spatiale ''&Delta;l'' l'intervalle est dit '''du genre temps''' et l'intervalle d'espace-temps est positif : :<math>\,\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 > 0</math><br /> Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| < c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, un mobile allant à la vitesse constante <math>|\Delta l / \Delta t| </math> dans la bonne direction peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement, à ceux du deuxième. Par conséquent dans le repère (inertiel) de ce mobile les deux événements se situent au même endroit, mais pas au même moment. Dans ce référentiel particulier, et d'après l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps, l'écart de temps <math>\Delta \tau</math> séparant les deux événements est appelé le ''[[temps propre]]'' les séparant, et est donné par la formule : :<math>\Delta s^2 \,=\, c^2 \Delta t^2 - \Delta l^2 ~=~ c^2\Delta \tau^2 - \,0\,, </math> laquelle montre que le [[temps propre]] <math>\Delta \tau</math> est donné par <math>\Delta \tau = \sqrt{\Delta s^2}/c</math>. Dans ce cas d'un intervalle de ''genre temps'', les deux événements peuvent être liés par un lien causal : par le biais d'une particule allant assez vite d'un ''événement'' vers l'autre, ou d'une influence véhiculée par de la lumière allant de l'un vers l'autre et dont l'effet déclancherait par la suite le deuxième événement,... <!-- Plus directement considérons une particule dont on suit le déplacement le long d'une trajectoire quelconque depuis un repère extérieur que nous pouvons qualifier de ''fixe''. Alors la séquence des événement successifs marquant le cheminement de la particule (à chaque point de la trajectoire on associe le temps correspondant) correspondra à une série d'intervalles de type temps. En effet, aucune particule ne pouvant se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière, la quantité ''&Delta;s'', mesurée dans le repère fixe extérieur, sera toujours plus petite que le ''c&Delta;t'' correspondant, mesuré également dans le repère extérieur, puisque cette dernière quantité représente la distance parcourue par la lumière pendant le temps &Delta;''t''. Tous les événements de la trajectoire, qui constituent ce que l'on appelle la ligne d'univers de la particule considérée, sont donc liés causalement. Comme il vient d'être dit le temps mesuré dans le repère de la particule s'appelle le [[temps propre]] de la particule. --> ===Genre espace=== Si l'intervalle spatial ''&Delta;l'' l'emporte sur l'intervalle temporel ''c&Delta;t'', l'intervalle est dit '''du genre espace''' et le carré de l'intervalle d'espace-temps est négatif : <!--Il peut être commode dans ce cas, pour manipuler des carrés positifs, de considérer le carré de l'intervalle d'espace propre ''&Delta;&sigma;'' défini ci-dessus comme :--> :<math>\,\Delta s^2 ~=~ c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 < 0\,.</math><br /> Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| > c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, aucun mobile allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière ni aucun signal lumineux ne peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement ou sa propagation, à ceux du deuxième. Il ne peut donc pas y avoir de lien [[causalité (physique)|causal]] entre les deux évènements. On peut montrer qu'alors il existe un référentiel inertiel dans lequel les événements sont simultanés : dans ce référentiel, l'écart de temps entre les deux événements est nul, d'où :<math>\Delta s^2 \,=\, c^2 \Delta t^2 - \Delta l^2 ~=~ \,0 - \Delta l^2 \, </math> Ainsi, dans ce référentiel inertiel particulier, l'écart de temps est nul entre les évènements et leur distance spatiale, appelée [[distance propre]], est <math>\Delta l = \sqrt{-\Delta s^2}.</math> <!-- Exemple<ref>Que les justes défenseurs de l'[[abolition de la peine de mort]] veuillent bien pardonner cet exemple malheureux !</ref>&nbsp;: une personne est condamnée à mort et doit être exécutée sur la planète Pluton. Elle peut éventuellement bénéficier de la grâce du président, qui lui est situé sur Terre, à 4 heures de lumière de la planète lointaine. L'heure de l'exécution est fixée à midi. L'événement « grâce présidentielle » A peut-il agir sur l'événement « exécution » B ? La réponse est facile : si le président envoie sa grâce après 8 heures du matin, l'avis de grâce n'aura pas le temps de parvenir jusqu'à Pluton et le condamné sera exécuté. Dans ce cas la distance spatiale entre les événements A et B, grâce et exécution, est trop grande devant l'intervalle de temps les séparant. Le terme ''&Delta;s'' est plus grand que le terme ''c&Delta;t'' et le carré de la distance propre entre A et B est positif. Quand l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements est du type espace, ces événements sont causalement indépendants. Aucun ne peut agir sur l'autre. --> ===Genre lumière=== Si le carré de l'intervalle spatio-temporel est nul, cela veut dire que la lumière parcourt exactement la distance géométrique entre les deux événements pendant le laps de temps séparant ces deux événements. :<math>\,\Delta s^2 ~=~ c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 = 0\,.</math><br /> Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| = c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, seuls les [[particule]]s de [[masse]] nulle, donc allant à la [[vitesse de la lumière]], peuvent joindre les deux évènements. La vitesse de la lumière étant la même dans tous les référentiels inertiels, il en est de même quand ces événements sont vus depuis tout autre référentiel inertiel. Cela laisse encore la possibilité d'un lien causal entre les deux événements, un lien se faisant à la vitesse de la lumière. Exemple : si l'événement A consiste en l'envoi d'un signal laser depuis la Terre vers la Lune et l'événement B consiste en la réception de ce signal sur la Lune, l'intervalle spatio-temporel entre A et B sera nul puisque la distance ''&Delta;l'' entre Terre et Lune sera justement égale à la distance ''c&Delta;t'' parcourue par la lumière pendant le temps ''&Delta;t''. Dans ce dernier cas on peut dire que l'intervalle est du '''genre lumière'''. == Ordre temporel et genre == [[Image:InversionEvt.svg|thumb|[[Diagramme de Minkowski]] représentant l'inversion temporelle apparente des évènements A et B pour l'observateur O et O'. Pour O, B a lieu avant A, tandis que pour O', en mouvement rapide par rapport à O, c'est A qui se produit avant B.]] Par principe, les changements de référentiels physiquement réalistes respectent l'orientation de l'axe du temps : on suppose donc que vues d'un référentiel ou d'un autre les aiguilles d'une montre ne changent pas leur sens de rotation, que si une pomme chute de sa branche vu de l'un, alors elle n'y remonte pas vu depuis un autre. Par contre, dans certains cas l'ordre temporel ''observé'' entre deux évènements peut changer d'un référentiel à l'autre : si les deux évènements sont séparés par un intervalle de genre espace, leur ordre temporel observé peut changer d'un référentiel à l'autre, et il y a aussi des référentiels pour lesquels les deux évènements sont simultanés. S'ils sont séparés par un intervalle de genre temps, tous les observateurs constatent le même ordre (mais avec des écarts temporels différents). {{Boîte déroulante|titre=Une démonstration{{référence nécessaire}} de l'invariance de l'ordre temporel observé pour le genre temps|contenu= {{référence nécessaire|Bien que [[tautologie|tautologique]] avec le principe de non invertion de l'axe du temps par changement de référentiel<ref>Le sens et l'unité du temps étant définisable à partir de deux événements de ''genre temps'' et ''successifs'' quelconques (les positions successives des aiguilles d'une horloge, le début et la fin de la chute d'une pomme, ou ...) et toute durée de temps étant par hypothèse mesurable par cette unité, le non retournement de l'axe du temps est équivalent au non retournement de cette unité orientée, et cela impose le non retournement de toute durée utilisable comme unité orientée du temps (du fait que le temps est un espace mathématique d'une seule dimension), donc du non retournement du temps entre deux événements ''de genre temps'' quelconques.</ref> }}, on peut vouloir se convaincre, par quelques considérations mathématiques, que « l'invariance par changement de référentiel de l'ordre temporel entre deux événements séparés par un intervalle de genre temps » en est bien une conséquence. Les seuls changements de référentiel que la physique permette respectent l'orientation de l'axe du temps et l'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la [[Règle de la main droite#Trois translations|main droite]]), ce sont aussi les changements ''continus'' à partir du référentiel initial, et sont appelés ''transformations propres et orthochrones''. Considérons un couple d'événements du genre temps tel que l'intervalle &Delta;''t'' de A vers F soit positif (''t''(F) est plus grand que ''t''(A), ou F est postérieur à A). Pour que cet intervalle change de signe (F devenant antérieur à A) il faudrait qu'il traverse la valeur nulle, ce qui est impossible. En effet le carré &Delta;''t''{{2}}de l'intervalle temporel est égal à la somme de deux carrés selon la formule :<math>c^2\, \Delta t^2\,=\,\Delta s^2 + \Delta l^2</math> où le premier terme du second membre est strictement positif (et invariant par changement de référentiel) et le second terme, carré d'une distance euclidienne, est positif ou nul. Par conséquent ce carré &Delta;''t''{{2}} ne peut pas s'annuler. Il en est de même de l'intervalle temporel &Delta;''t'' lui-même, lequel, ne pouvant pas s'annuler, ne peut pas changer continûment de signe. Ainsi, si A précède F pour un certain observateur, il en sera toujours de même pour tout observateur physiquement admissible. Si A était antérieur à F, F ne peut pas ''agir'' sur A en devenant lui-même antérieur à A. }} {{Boîte déroulante|titre=Une démonstration{{référence nécessaire}} que l'ordre temporel observé peut être inversé pour le genre espace|contenu= Étant donné deux événements A et B tels que dans le référentiel <math>(R)</math> de l'observateur <math>\Delta t = t_B-t_A >0 </math>, et en supposant <math>\Delta x = x_B-x_A >0 </math> avec un bon choix de l'axe x. Considérons un référentiel <math>(R')</math> en translation par rapport au repère (R), à la vitesse <math>\vec{v}=u\,\vec{e}_x</math> le long de l'axe des x, avec <math>0<u<c</math>. D'après les [[transformations de Lorentz]], la durée entre les deux événements, vue du référentiel <math>(R')</math> vaut :<br /> <math>\Delta t'=\gamma(\Delta t-\frac{u.\Delta x}{c^2})\, ,</math> avec : <math>\, \gamma= \left( 1 - u^2/c^2 \right)^{-1/2} > 0</math>.<br /> <math>\Delta t</math> étant positif, que dire du cas <math>\Delta t'</math> négatif ?<br /> <math>\Delta t'<0 \Longleftrightarrow \Delta t\,<\,\frac{u}{c^2}\Delta x \Longleftrightarrow \frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t}\;. </math><br /> Or <math>0<u<c \Longleftrightarrow c< \frac{c^2}{u}</math><br /> D'où : <math>\Delta t'<0 \Longleftrightarrow \Delta t\,<\,\frac{u}{c^2}\Delta x \Longleftrightarrow \frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow c<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Longleftrightarrow c^2.\Delta t^2-\Delta x^2<0</math>, d'où les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace.<br /> Une flèche à sens unique <math>\Rightarrow </math> bloque la réciproque, mais on a : <math>c<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow </math> il existe un nombre positif <math>\epsilon<1</math> tel que <math>c<\epsilon . \frac{\Delta x}{\Delta t}<\frac{\Delta x}{\Delta t} </math>. En posant <math>\ u=c.\epsilon < c</math>, on obtient <math>\frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> et on peut toujours construire un référentiel <math>(R')</math> en translation à la vitesse <math>\vec{v}=u\,\vec{e}_x</math> pour lequel <math>\ \Delta t'<0</math>. On remarque que de cette manière on peut aussi déterminer un référentiel pour lequel les deux événements sont simultanés. }} ==Le cône de lumière== {{loupe|cône de lumière}} [[Image:Conelumiere.png|thumb|Le cône de lumière de l'événement A définit une partition de l'espace-temps permettant en particulier de distinguer le passé du futur de façon absolue]] Si on se fixe un événement O particulier comme objet d'étude, on peut partager l'espace-temps en régions regroupant les événements qui sont séparés de O par un intervalle d'espace-temps de genre temps, ceux qui sont séparés de O par un genre lumière et ceux qui sont séparés de O par un genre espace. Cette partition de l'espace-temps à quatre dimensions se fait sous la forme d'un cône à trois dimensions : l'intérieur correspond au premier cas, le bord au deuxième et l'extérieur au troisième. Ces régions correspondent aux différentes possibilités de lien causal avec l'événement O. Bien entendu, chaque événement possède son propre cône de lumière. <!-- Le fait que l'intervalle spatio-temporel entre deux événements A et B ne dépende pas du système de coordonnées choisi pour le calculer confère à cette notion un caractère ''absolu''. Cette propriété d'[[invariance]], concernant avant tout l'invariance de signe, autorise le physicien à effectuer un classement des événements dans l'espace-temps, indépendant de tout repère, permettant de distinguer parmi eux ceux qui sont connectés par un lien de cause à effet et ceux qui au contraire sont causalement indépendants. En [[relativité restreinte]] il est commode d'utiliser un [[Relativité restreinte#Diagramme d'espace-temps|diagramme d'espace-temps]] pour donner une description des événements.--> La difficulté de représentation tient en ce que quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace, sont nécessaires pour caractériser un événement et qu'il est impossible de figurer un point à quatre coordonnées dans notre espace à trois dimensions. Pour le graphique, on reduit donc le nombre de dimensions spatiales à 2. <!-- Pour remédier à cette difficulté il est d'usage de simplifier la partie spatiale en y supprimant une ou deux dimensions, ce qui revient à considérer des événements se produisant dans un plan ou le long d'une droite. Dans le diagramme ci-contre on a supprimé une dimension d'espace (disons le « haut ») pour représenter des événements se produisant dans un plan, dont les axes sont par exemple le nord et l'est. L'axe vertical, dirigé vers le haut, représente l'axe du temps. Attention : un déplacement dans cette direction ne représente pas un déplacement spatial, comme si les points avançaient vers le haut. Un point fixe dans le plan considéré (nord, est) est représenté dans ce diagramme d'espace-temps par une droite parallèle à l'axe temporel traduisant le fait que le temps ''t'' avance, mais sans que changent les coordonnées (nord, est). La classification des paires d'événements à l'aide de l'intervalle d'espace-temps indiquée ci-dessus montre que l'intervalle de genre lumière joue un rôle frontière entre le genre temps et le genre espace. En effet le carré de temps propre ''c{{exp|2}}&Delta;t''{{exp|2}} passe d'une valeur positive à une valeur négative en traversant la valeur nulle pour un ligne d'univers d'une particule lumineuse. Dans le diagramme d'espace-temps ci-contre est représenté l'ensemble des événements correspondant à l'émission d'un signal lumineux depuis l'événement A, c'est-à-dire à un instant donné (pris ici pour origine) et en un lieu donné (également pris pour origine), dans une certaine direction. Ainsi sont indiqués les points tels que G{{ind|1}}, G{{ind|2}}, G{{ind|3}}… qui se situent tous sur un cône de sommet A puisque la ligne d'univers décrite par chaque signal lumineux correspond à une droite d'inclinaison donnée, fixée par le rapport entre la distance parcourue et le temps mis à la parcourir, rapport égal à la vitesse de la lumière. Attention à nouveau : le photon ne se dirige pas vers le haut. Il reste contenu, spatialement parlant, dans le plan d'origine (nord, sud, est, ouest). Il avance horizontalement. Le cône correspondant aux photons issus de A est le cône de lumière du futur. De façon symétrique sont également indiqués sur le diagramme les événements tels que H{{ind|1}}, H{{ind|2}}, H{{ind|3}}… correspondant cette fois à l'émission de signaux lumineux depuis un point du plan origine et capables d'atteindre l'événement A, c'est-à-dire capable d'arriver au temps ''t''&nbsp;=&nbsp;0 au point origine A. Ces signaux viennent du passé et constituent sur le schéma le cône de lumière du passé de l'événement A. Le cône de lumière de A trace la frontière entre les événements séparés de A par un intervalle de genre temps, ceux dont les points représentatifs tels que F et P sont situés à l'intérieur du cône de lumière, et les événements séparés de A par un intervalle de genre espace, dont les points représentatifs tels que E sont situés à l'extérieur du cône de lumière. --> <!-- ===Les différents couples d'événements=== [[Image:Conelumxt.png|thumb|left|Le cône de lumière de l'événement A définit une partition de l'espace-temps]] Précisons les liens de causalité pouvant exister ou non entre A et un événement de l'espace-temps selon la position de ce dernier par rapport au cône de lumière. Pour faciliter la présentation nous supprimons encore une dimension spatiale pour n'en garder qu'une, le long d'un axe, ce qui signifie que nous considérons des événements se produisant sur une même droite de l'espace, chaque lieu de cet axe étant repéré par sa position ''x''. Dans un diagramme d'espace-temps à deux dimensions, selon le schéma ci-contre, le cône de lumière de l'événement A (choisi pour origine des coordonnées spatiale et temporelle) est représenté par la région du plan comprise entre les deux droites de 45° d'inclinaison, d'équation ''ct''&nbsp;=&nbsp;&plusmn;&nbsp;''x'' constituant les lignes d'univers des photons issus de A et se dirigeant dans les deux directions opposées ''x''&nbsp;>&nbsp;0 et ''x''&nbsp;<&nbsp;0. Le fait que l'intervalle d'espace-temps soit indépendant du repère choisi pour le calculer nous certifie que l'on peut répartir les couples d'événements de façon absolue, en cinq catégories, selon la liste suivante : # Une particule matérielle issue de A peut agir sur l'événement futur F : dans ce cas F est situé dans le cône du futur de A et forme avec lui un couple d'événements du genre temps. Il existe un repère dans lequel ces événements A et F sont coponctuels : celui de la particule capable d'aller de l'événement A à l'événement B. Sur le diagramme ci-contre la droite AF représente l'axe temporel de ce repère particulier (axe correspondant à un point immobile ''x{{ind|1}}''=constante du repère). # Une particule matérielle issue d'un événement antérieur P est capable d'exercer une action sur l'événement postérieur A : dans ce cas P est situé à l'intérieur du cône du passé de A et forme avec lui un couple d'événements du genre temps. Il existe un repère dans lequel A et P sont coponctuels : celui de la particule capable de joindre P à A. L'axe temporel de ce repère est la droite PA d'équation ''x''{{ind|2}}&nbsp;=&nbsp;constante du diagramme ci-contre. # Un éclair lumineux émis de A peut atteindre l'événement G : dans ce cas G est situé sur la partie future du cône de lumière de A et forme avec lui un couple du genre lumière. Il en est de même dans tout repère, la vitesse de la lumière ne dépendant pas du système de coordonnées choisi. # Un éclair lumineux émis de H peut atteindre l'événement A : dans ce cas H est situé sur la partie passée du cône de lumière de A et forme avec lui un couple du genre lumière. Il en est de même dans tout repère. # Aucun événement coïncidant avec A ne peut agir sur l'événement E : dans ce cas E est extérieur au cône de lumière de A et constitue avec lui un couple du genre espace. Aucun lien de cause à effet ne peut exister entre A et E. L'événement E est situé dans l'« ailleurs » de A, cela étant vrai de tout repère. Il existe un système de coordonnées particulier dans lequel les deux événements sont simultanés : celui dont l'axe spatial est représenté par la droite AE d'équation ''t''{{ind|5}}&nbsp;=&nbsp;cste. En relativité restreinte, il n'est pas possible de remonter dans le passé. On peut le montrer en considérant Bien que l'espace et le temps soient deux grandeurs physiques pouvant être mesurées par une même unité, elles ne sont pas de même nature. Tandis qu'on peut naviguer dans l'espace en allant dans toute direction et en pouvant notamment faire demi-tour, on ne peut pas naviguer dans le temps, lequel s'écoule inexorablement dans le même sens. La relativité restreinte n'est pas compatible avec une machine à remonter le temps. Elle préserve le [[Causalité (physique)#Relativité restreinte|principe de causalité]]. --> ==Métrique== L'espace-temps de la relativité restreinte est doté par le carré de l'intervalle d'espace-temps d'une sorte de distance qui est invariante par changement de référentiel. Vu de cet manière, l'intervalle d'espace-temps peut être considéré comme une ''[[tenseur métrique|métrique]]'' de l'espace, à partir de la quelle se démontrent nombres de propriétés mathématiques de l'espace et de la théorie relativiste. Lorsque les deux événements A et B entre lesquels on calcule le carré de l'intervalle d'espace-temps sont très voisins, leurs coordonnées ne différent donc que par les quantités infinitésimales <math>\scriptstyle (dx^\mu)\,=\, (c\, dt, dx, dy, dz)</math>. Cette considération est superflue en relativité restreinte dont l'espace est [[espace affine|affine]], mais est indispensable en relativité générale dont l'espace est une [[Variété différentielle|variété]] ''[[courbure|courbe]]''<ref>Dans cette théorie, la [[courbure]] est l'expression géométrique de la [[gravitation]].</ref> où les <math>\scriptstyle (\Delta x^\mu)\,</math> ne peuvent être définis avec rigueur, mais où les éléments infinitésimaux <math>(dx^\mu)</math> sont définissables et appartiennent à l'[[espace tangent]]. En relativité restreinte, le carré de l'intervalle ''infinitésimal'' d'espace-temps s'écrit alors : <math>\,ds^2 = c^2dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2</math>. La métrique de la relativité générale est définissable à partir de celle de la relativité restreinte, en tenant compte du [[principe d'équivalence]] et du [[principe de relativité]] généralisé à tous les référentiels, et c'est un élément de base (d'un point de vue mathématique) pour la construction de cette théorie. Elle permet la définition de l'élément infinitésimal du le carré de l'intervalle d'espace-temps dans cette théorie. En relativité générale, la formule du le carré de l'intervalle ''infinitésimal'' d'espace-temps est <math>ds^2 = \sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^3 g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math>, où les coefficients de la métrique, <math>g_{\mu\nu}</math>, varient d'un point à l'autre de l'espace-temps, en fonction de la [[courbure]] de l'espace. On écrit aussi, avec la [[convention d'Einstein]] pour les sommation : <math>ds^2 = g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math>. Mais cette définition à partir d'éléments infinitésimaux et la courbure de l'espace-temps rendent délicats la justification de propriétés similaires à celles exposées dans les paragraphes ci-dessus, mis à part localement<ref>L'[[univers de Gödel]] est un exemple de théorie compatible avec la relativité générale et où des propriétés de la relativité restreinte ne sont valables que localement : par exemple la distinction entre le passé et le futur.</ref>. {{référence nécessaire|Toutefois, à partir d'un événement O, on peut toujours faire la partition de l'espace-temps dans son ensemble en événements liés à O par une [[géodésique]] de genre temps, lumière ou espace (le genre correspondant au signe constant de <math>ds^2</math> le long de la géodésique).}} <!-- Ainsi, si la métrique en relativité restreinte s'écrit <math>\,ds^2 = c^2dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2</math>, en relativité générale, elle s'écrit <math> ds^2=g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math> et permet d'y déterminer des propriétés similaires à celles vues ci-dessus, mais de manière plus délicate, entre autres du fait que les coefficients de la métrique varient d'un point à l'autre de l'espace-temps, que la notion de ligne droite est remplacée par celle de [[géodésique]] et que les référentiels inertiels ne sont pas les seuls étudiés. ===En relativité restreinte=== [[Image:CoordonneesSpheriques.png|thumb|Repérage d'un point en coordonnées sphériques]] D'une écriture proche de l'intervalle d'espace-temps, la métrique de l'espace-temps de la [[relativité restreinte]], ou [[métrique de Minkowski]] s'écrit donc : :<math>\,ds^2 = c^2dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2</math> comme un pseudo-carré de temps et :<math>\,d\sigma^2 = -c^2dt^2 +dx^2 +dy^2+dz^2</math> comme un pseudo-carré d'espace, lorsqu'on a choisi de repérer la position d'un point dans un système de [[coordonnées cartésiennes]]. Il est aussi possible de l'exprimer en [[coordonnées sphériques]] pour l'espace à trois dimensions : :<math>\,c^2d\tau^2 = c^2dt^2 -dr^2 -r^2d\theta^2 - r^2\sin^2\theta d\phi^2</math> où ''r'' est la distance spaciale à l'origine, ''&theta;'' la colatitude et ''&phi;'' l'azimut. ===En relativité générale=== En [[relativité générale]] la géométrie de l'espace-temps est localement (localement dans l'espace et localement dans le temps) celle de [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]]-[[Hermann Minkowski|Minkowski]] de sorte que, toujours localement, l'expression de l'intervalle d'espace-temps pour deux événements voisins est celle de la relativité restreinte<ref>Dans la présentation géométrique de la relativité générale de [[MTW]], le fait que la physique soit ''localement'' celle de la relativité restreinte est l'une des hypothèses permettant de fonder la relativité générale.</ref>. Un bon exemple d'un repère local est celui constitué par un satellite en orbite autour de la Terre, comme la [[station spatiale internationale]]. Dans ce satellite les astronautes ne ressentent pas le champ de gravitation terrestre : ils sont en état de « non-pesanteur ». Ils peuvent conduire des expériences de physique et constater que tout se passe comme s'ils étaient dans un repère galiléen : les particules se déplacent en ligne droite et un objet au repos reste au repos. La métrique locale est celle de Minkowski. La détection de la gravitation (c'est-à-dire de la courbure de l'espace-temps dans le cadre de la théorie d'[[Einstein]]) est une question de précision des mesures et de taille de la région d'espace-temps explorée. Si on conduit les expériences suffisamment longtemps (selon le degré de précision) deux objets au repos se déplaceront l'un par rapport à l'autre et mettront de ce fait en évidence un écart à la géométrie lorentzienne, écart qui traduira la présence d'un champ de gravitation. La relativité générale indique que si l'on veut étendre l'expression locale de l'intervalle spatio-temporel à une région plus vaste de l'espace-temps, il faut utiliser une formule plus « générale » que celle d'un espace plat. La présence d'une [[courbure]] de l'espace-temps se traduit précisément par le fait que dans l'écriture de la métrique s'introduisent des coefficients dépendant du point considéré. Par exemple au voisinage d'un corps sphérique statique de masse ''M'' (comme une [[étoile]]) la métrique est la fameuse [[métrique de Schwarzschild]] : :<math>\, d\sigma^2 = -c^2 (1 - 2GMc^{-2}/r) dt^2 + (1 - 2GMc^{-2}/r)^{-1} dr^2 +r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)</math> où l'on a utilisé des coordonnées sphériques. En introduisant le tenseur de métrique <math>\mathbf{g}</math> on écrit l'intervalle d'espace-temps élémentaire entre deux événements voisins A et B sous la forme :<math> ds^2=g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math> où les quantités ''g{{ind|&mu;&nu;}}'' dépendent des événements considérés. On a adopté dans cette écriture la convention d'[[Einstein]] stipulant que lorsqu'un indice se répète dans le produit il faut effectuer une sommation sur cet indice. Autrement dit :<math>g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu \equiv \sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^3 g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math> Ainsi les composantes du [[tenseur métrique|tenseur de métrique]] en géométrie de Schwarzschild sont :<math>\,g_{tt} = -(1 - 2GMc^{-2}/r)\,,\qquad g_{rr}=(1 - 2GMc^{-2}/r)^{-1}\,,\qquad g_{\theta\theta}=r^2\,,\qquad g_{\phi\phi}=r^2\sin^2\theta\,</math> toutes les autres composantes étant nulles. --> ==Cas de l'invariance comme hypothèse== Si l'invariance du le carré del'intervalle d'espace-temps, par changement de référentiel, est posée comme hypothèse initiale dans la théorie de la relativité, les déductions qui en sont faites sont alors mathématiquement cohérentes avec la théorie, mais certaines doivent être écartées pour des raisons physiques. ===En relativité restreinte=== Identifier l'espace physique à un espace mathématique à quatre dimensions doté d'une semblable distance (on dit aussi [[Tenseur métrique#Pseudo-métrique|pseudo-norme]]) amène à identifier les [[repère]]s de l'[[espace affine]] à quatre dimensions et les [[référentiel inertiel|référentiels inertiels]] de la physique, et en cherchant tous les changements de repère ayant la propriété de laisser invariant l'intervalle d'espace-temps, on en trouve qui, tout en étant cohérents avec les mathématiques de la théorie relativiste, ne peuvent être retenus comme des changements de référentiel physiquement réalistes car ils ne respectent pas la convention d'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la [[Règle de la main droite#Trois translations|main droite]]) ou celle de l'orientation de l'axe du temps (vers ''le futur'')<ref>La conservation de ces orientations comme raison de cette sélection est présentée au chapitre 1, §1.3 de {{en}}''The geometry of Minkowski Spacetime'' par Gregory L. Naber, Springer-Verlag ISBN 3540978488, 1992.</ref>. <!-- L'ensemble des changements de repère, cherchés à partir de l'hypothèse de ''l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps par changement de répère'', forme un [[groupe]], le [[Groupe de Poincaré (transformations)|groupe de Poincaré]]. Les seuls éléments de ce groupe pouvant prétendre à être des changements de référentiel concrets sont ceux que l'on peut continûment obtenir à partir de l'identité<ref>Ainsi qu'il est précisé au §1.6.4 de {{en}} ''Geometrical physics in Minkowski spacetime'' écrit par E.G. Peter Rowe, Springer-Verlag éditeur ISBN 1852333669, 2001.</ref>. Concrètement cela signifie qu'à l'approximation des petites vitesses on retrouve les [[transformations de Galilée]]<ref>C'est ainsi que Phillipe Tourrenc, pages 23 à 25 dans ''Relativité et gravitation'' (Armand Colin éditeur, ISBN 2-200-21209-7), justifie le choix des transformations de Lorentz pour la relativité restreinte parmi toutes les transformations déduites de l'hypothèse de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps. Ce n'est rien d'autre que l'application du [[principe de correspondance]]</ref>, qui préservent les orientations de l'espace et du temps en physique non relativiste. Ces éléments sont les [[transformations de Lorentz]] établies dès l'origine par Lorentz, et eux aussi préservent les orientations de l'espace et du temps. Ils appartiennent au groupe des ''Transformations Spéciales de Lorentz''<ref>Le groupe des ''Transformations Spéciales de Lorentz'' contient aussi la transformation <math>\scriptstyle(t,x,y,z)\longmapsto (-t,-x,-y,-z)</math> , de déterminant 1, qui est un changement de référentiel ne pouvant être accepté en relativité restreinte comme il est expliqué dans « {{Landau}} », Tome 4, §11.</ref> qui sont de [[déterminant]] égal à 1. Les ''transformations de Lorentz'' forment aussi un groupe à condition d'être associées aux [[Rotation dans l'espace|rotations]] spatiales. --> Les transformations qui préservent les orientations de l'espace et du temps sont les [[transformations de Lorentz]] établies dès l'origine par Lorentz, et sont appelées, dans le cadre de cette problématique, ''transformations de Lorentz propres et orthochrones''. Les autres transformations ne sont pas utilisées en physique relativiste mais le sont en physique quantique relativiste pour exploiter les symétries mathématiques des équations. Par exemples, la [[symétrie T]] et la [[symétrie P|parité]] sont interprétées comme de simples changements de convention des orientations des axes de coordonnées spatiales et temporelle. Ainsi, la symétrie P change-t'elle la convention du choix des référentiels par la [[Règle de la main droite#Trois translations|main droite]] en convention du choix par la main gauche. ===En relativité générale=== En [[relativité générale]], l'espace-temps étant essentiellement structuré par l'algèbre, il faut prendre garde à écarter les hypothèses ou résultats mathématiquement corrects mais physiquement irréalistes. Cela est vrai en particulier pour le carré de l'intervalle d'espace-temps <math>\textstyle ds^2 = g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math> qui est un élément fondateur de la théorie (du point de vue mathématique) du fait de son invariance par changement de référentiel et de son lien avec la gravitation (qui est une manifestation de la courbure). Déjà, les <math> g_{\mu\nu} </math> forment une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] qui doit avoir un [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] négatif pour avoir un sens physique<ref>Ce qui est dû au fait que cette matrice est diagonalisable et que sa forme diagonale doit correspondre à la matrice d'une [[tenseur métrique|métrique]] équivalente à [[Métrique de Minkowski|celle de Minkowski]].</ref>. Ainsi, dans un référentiel ''réaliste''<ref>Le réalisme d'un référentiel pouvant être compris comme : il existe un observateur pour lequel une coordonnée donne le temps mesuré et trois donnent l'espace, avec les orientations valables déjà en relativité resteinte.</ref>pour un observateur, si la coordonnée <math>x_0</math> correspond à la mesure du temps et les coordonnées <math>x_1 ;x_2 ;x_3</math> correspondent à un référentiel spatial quelconque, les termes <math> g_{\mu\nu}</math> <ref>qui forment ce que l'on appelle le ''[[tenseur métrique]]'' et qui reflétent la courbure de l'espace-temps</ref> doivent vérifier <math> g_{00} > 0</math>, ainsi que <math> g_{kk} < 0</math> pour k=1, 2, 3 (bref : la signature doit rester inchangée par rapport à celle de la métrique de Minkowski). <ref>{{Landau}}, Tome 2 "Théorie des champs", §82 à §84</ref>. <!--Ces exigences viennent essentiellement du [[principe d'équivalence]] et du [[principe de correspondance]] liant la relativité restreinte et la relativité générale.--> Mais la relativité générale autorise l'utilisation de n'importe quel système de référence dans cet espace à quatre dimensions, sans l'obligation de ce préoccuper de ''réalisme''<ref>Un exemple de référentiel non ''réaliste'' s'obtient en remplaçant la coordonnée temporelle par une coordonnée suivant une géodésique de genre lumière.</ref>, comme méthode mathématique pour déterminer des propriétés de l'espace-temps, et dans ce cas les coefficients <math> g_{\mu\nu} </math> ne sont pas soumis à ces contraintes. == Notes et références == {{références}} ==Voir aussi== * [[Tenseur métrique]] * [[Temps propre]] * [[Paradoxe du train]] * [[Paradoxe des jumeaux]] {{portail physique}} [[Catégorie:Physique théorique]] [[Catégorie:Relativité|*]]