Logique modale 32536 29561662 2008-05-14T13:29:34Z Vibraison 295924 orthographe La '''logique modale''' est une logique à laquelle on a ajouté des [[modificateur]]s, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des [[adverbe]]s. Par exemple, on peut modifier la proposition « Il pleut » comme ceci : * ''Il est possible qu’''il pleuve, * ''Il est démontré qu’il est faux qu’''il pleuve, * ''Il n’est pas permis qu’''il pleuve, * ''Alice sait qu’''il pleut''. Cette proposition peut donc être respectivement modifiée avec les modes '''possible''', '''démontré que ne pas''', '''n’est pas permis''', '''Alice sait'''. == Différentes logiques modales == [[Image:Carré aléthique.svg|thumb|Le carré modal : relations entre les modalités de la logique aristotélicienne]] Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont : * classiques (ou aristotéliciens, ou aléthiques) : **'''nécessaire''', noté <math>\Box</math> **'''contingent''', noté <math>\neg \Box</math> **'''possible''', noté <math>\Diamond</math> **'''impossible''', noté <math>\neg \Diamond</math> * [[logique épistémique|épistémiques]] (relatifs à la connaissance) : **'''connu''' par l'agent <math>i</math>, noté <math>K_i</math> **'''contestable''' **'''exclu''' **'''plausible''' ** '''connaissance commune du groupe''' <math>G</math> d'agents, notée <math>C_G</math> * [[Logique déontique|déontiques]] (moraux) : **'''obligatoire''', noté O **'''interdit''', noté I **'''permis''', noté P **'''facultatif''', noté F * [[logique temporelle|temporels]] : ** '''toujours''', noté <math>\Box</math> ** '''un jour''', noté <math>\Diamond</math> ** '''jamais''', noté <math>\neg \Diamond</math> ** '''demain''', noté X ** '''jusqu'à ce que''', opérateur binaire noté U ** '''désormais''', noté G ** '''un jour futur''', noté F ** '''toujours dans le passé''', noté H ** '''un jour passé''', noté P *doxastiques (sur les croyances) : ** '''cru''', noté B *contrefactuels : ** '''Si A était vrai''', où l'on sait que A n'est pas vrai. * dynamiques (effet d'actions, notées ''a'', sur des propositions) : **'''Il existe une exécution de''' ''a'' '''tel qu'après''' ''a'', ''p'' '''est vrai''', noté <math>\langle a\rangle p</math> **''p'' '''est vrai après toute exécution de''' ''a'', noté <math>[a] p</math>. == Logique modale aléthique == En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi: * impossible est <math>\square \neg</math> * possible est <math>\neg \square \neg</math> Une proposition nécessaire ne peut pas être [[Algèbre_de_Boole_(logique)|fausse]] sans impliquer de [[contradiction]], ''a contrario'' d’une proposition ''contingente'' qui peut impliquer une [[contradiction]]. La [[logique intuitionniste]] peut être construite sur la logique aléthique comme une logique modale. == Axiomes de logique modale == Chaque logique modale est munie d'une série d'axiomes qui définissent le fonctionnement des modalités. Une logique modale est dite ''normale'' ou ''de [[Saul Kripke|Kripke]]'' si et seulement si elle admet *('''N''') (ou ('''RN''') ou ('''NEC''')) la règle d'inférence de nécessitation: Si A est un théorème, alors <math>\Box A</math> aussi. *('''K''') l'axiome de distribution de Kripke: <math>\Box(A\rightarrow B) \rightarrow( (\Box A)\rightarrow(\Box B))</math> En ajoutant d'autres type d'axiomes on obtient d'autre types de logiques modales: *('''D''') : <math>\Box P \rightarrow \Diamond P</math> soit ''la nécessité [[implication|implique]] la possibilité'' (en logique aristotélicienne) *('''T''') (ou ('''M''')): <math>P \rightarrow \Diamond P</math> soit ''le fait implique la possibilité" *('''4''') : <math>\Box p\rightarrow\Box\Box p</math> *('''B''') : <math>p\rightarrow\Box\Diamond p</math> *('''5''') (ou ('''E''')) : <math>\Diamond p\rightarrow\Box\Diamond p</math> Ces axiomes permettent de définir les systèmes suivants : *K:='''K'''+'''N''' *T:=K+'''T''' *S4:=T+'''4''' *S5:=S4+'''B''' ou T+'''5''' *D:=K+'''D''' La suite de systèmes K à S5 forme une hiérarchie imbriquée qui compose le noyau de la logique modale normale. L'axiome D, quant à lui, est principalement utilisé dans les logiques déontique, doxastique et épistémique. == Modèles de la logique modale == {{Article détaillé|Sémantique de Kripke}} Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales. Notons <math>W</math> l'ensemble des monde possible et <math>R</math> une relation binaire entre les mondes possibles appelée relation d'accessibilité. Une valuation <math>v</math> affecte à chaque variable propositionelle une valeur de vérité et ce pour chaque monde possible. <math>v(A,w)</math> dénote le valeur de vérité de la proposition <math>A</math> dans le monde <math>w</math>. La sémantique d'un opérateur modal est définie à partir d'une relation d'accessibilité de la façon suivante : <math>v(\square A,w)\ \mathrm{ssi}\ v(A,w^') \mathrm{\ tel\ que\ } w^'Rw</math> == Classification des systèmes de logique modale == Les systèmes de logiques modales sont organisés en fonction des règles d'inférence et des axiomes qui les caractérisent. === Logiques modales classiques === Les systèmes de logique modale classiques sont ceux qui acceptent la règle d'inférence suivante : <math>(RE) \frac{A \leftrightarrow B}{\Box A \leftrightarrow \Box B}</math> L'usage veut que l'on donne à un tel système un nom canonique du type <math>E \xi_1 \xi_2 \cdots \xi_n</math>, où les <math>\xi_i</math> sont les noms des axiomes du systèmes. === Logiques modales monotones === Les systèmes de logique modale monotones sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RM : <math>(RM) \frac{A \to B}{\Box A \to \Box B}</math> L'ensemble des systèmes monotones est inclus dans l'ensemble des systèmes classiques. === Logiques modales régulières === Les systèmes de logique modale réguliers sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RR : <math>(RR) \frac{(A \wedge B) \to C}{(\Box A \wedge \Box B) \to \Box C}</math> L'ensemble des systèmes réguliers est inclus dans l'ensemble des systèmes monotones. === Logiques modales normales === Les systèmes de logique modale normaux sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RK : <math>(RK) \frac{(A_1 \wedge \cdots A_n) \to B}{(\Box A_1 \wedge \cdots \Box A_n) \to \Box B}</math> L'ensemble des systèmes normaux est inclus dans l'ensemble des systèmes réguliers. Une définition équivalente et plus courante des systèmes normaux est la suivante : un système de logique modal est dit normal s'il comporte l'axiome (K) et accepte la règle de nécessitation (RN) comme règle d'inférence : <math>(K) \Box (A \to B) \to (\Box A \to \Box B)</math> <math>(RN) \frac{A}{\Box A}</math> Les systèmes normaux sont les plus utilisés, car ce sont ceux qui correspondent aux [[Sémantique de Kripke|sémantiques de Kripke]]. Il est cependant possible de trouver des sémantiques pour des logiques classiques non normales, mais elles présentent en général de moins bonnes propriétés. == Voir aussi == === Articles connexes=== * [[Contingent]] * [[Théorie Dezert-Smarandache]] * [[Logiques multi-valuées]] * [[Formule de Sahlqvist]] === Liens externes === {{en}} James Garson, [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ Modal Logic], ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Edward N. Zalta (ed.), 2007. === Bibliographie === * {{Blackburn}} * {{en}} {{Ouvrage|titre=Modal logic, an introduction|ref=Référence:Modal logic, an introduction|auteur=Brian F. Chellas|éditeur=Cambridge University Press|année=1980}} [[Catégorie:Logique modale]] {{Portail|logique|philosophie|philosophie analytique}} {{Lien BA|de}} [[ar:منطق طوري]] [[da:Modallogik]] [[de:Modallogik]] [[en:Modal logic]] [[es:Lógica modal]] [[fa:منطق موجهات]] [[fi:Modaalilogiikka]] [[he:לוגיקה מודלית]] [[hu:Modális logika]] [[io:Modala logiko]] [[is:Háttarökfræði]] [[it:Logica modale]] [[ja:様相論理学]] [[nl:Modale logica]] [[nn:Modallogikk]] [[no:Modallogikk]] [[pl:Logika modalna]] [[pt:Lógica modal]] [[ru:Модальная логика]] [[sk:Modálna logika]] [[sv:Modallogik]] [[zh:模态逻辑]]