Logique modale
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2008-05-14T13:29:34Z
Vibraison
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orthographe
La '''logique modale''' est une logique à laquelle on a ajouté des [[modificateur]]s, qu’on pourrait comprendre en grammaire comme des [[adverbe]]s.
Par exemple, on peut modifier la proposition « Il pleut » comme ceci :
* ''Il est possible qu’''il pleuve,
* ''Il est démontré qu’il est faux qu’''il pleuve,
* ''Il n’est pas permis qu’''il pleuve,
* ''Alice sait qu’''il pleut''.
Cette proposition peut donc être respectivement modifiée avec les modes '''possible''', '''démontré que ne pas''', '''n’est pas permis''', '''Alice sait'''.
== Différentes logiques modales ==
[[Image:Carré aléthique.svg|thumb|Le carré modal : relations entre les modalités de la logique aristotélicienne]]
Il existe plusieurs types de logiques modales, dont les modes sont :
* classiques (ou aristotéliciens, ou aléthiques) :
**'''nécessaire''', noté <math>\Box</math>
**'''contingent''', noté <math>\neg \Box</math>
**'''possible''', noté <math>\Diamond</math>
**'''impossible''', noté <math>\neg \Diamond</math>
* [[logique épistémique|épistémiques]] (relatifs à la connaissance) :
**'''connu''' par l'agent <math>i</math>, noté <math>K_i</math>
**'''contestable'''
**'''exclu'''
**'''plausible'''
** '''connaissance commune du groupe''' <math>G</math> d'agents, notée <math>C_G</math>
* [[Logique déontique|déontiques]] (moraux) :
**'''obligatoire''', noté O
**'''interdit''', noté I
**'''permis''', noté P
**'''facultatif''', noté F
* [[logique temporelle|temporels]] :
** '''toujours''', noté <math>\Box</math>
** '''un jour''', noté <math>\Diamond</math>
** '''jamais''', noté <math>\neg \Diamond</math>
** '''demain''', noté X
** '''jusqu'à ce que''', opérateur binaire noté U
** '''désormais''', noté G
** '''un jour futur''', noté F
** '''toujours dans le passé''', noté H
** '''un jour passé''', noté P
*doxastiques (sur les croyances) :
** '''cru''', noté B
*contrefactuels :
** '''Si A était vrai''', où l'on sait que A n'est pas vrai.
* dynamiques (effet d'actions, notées ''a'', sur des propositions) :
**'''Il existe une exécution de''' ''a'' '''tel qu'après''' ''a'', ''p'' '''est vrai''', noté <math>\langle a\rangle p</math>
**''p'' '''est vrai après toute exécution de''' ''a'', noté <math>[a] p</math>.
== Logique modale aléthique ==
En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi:
* impossible est <math>\square \neg</math>
* possible est <math>\neg \square \neg</math>
Une proposition nécessaire ne peut pas être [[Algèbre_de_Boole_(logique)|fausse]] sans impliquer de
[[contradiction]], ''a contrario'' d’une proposition ''contingente'' qui peut impliquer une [[contradiction]].
La [[logique intuitionniste]] peut être construite sur la logique aléthique comme une logique modale.
== Axiomes de logique modale ==
Chaque logique modale est munie d'une série d'axiomes qui définissent le fonctionnement des modalités.
Une logique modale est dite ''normale'' ou ''de [[Saul Kripke|Kripke]]'' si et seulement si elle admet
*('''N''') (ou ('''RN''') ou ('''NEC''')) la règle d'inférence de nécessitation:
Si A est un théorème, alors <math>\Box A</math> aussi.
*('''K''') l'axiome de distribution de Kripke:
<math>\Box(A\rightarrow B) \rightarrow( (\Box A)\rightarrow(\Box B))</math>
En ajoutant d'autres type d'axiomes on obtient d'autre types de logiques modales:
*('''D''') : <math>\Box P \rightarrow \Diamond P</math> soit ''la nécessité [[implication|implique]] la possibilité'' (en logique aristotélicienne)
*('''T''') (ou ('''M''')): <math>P \rightarrow \Diamond P</math> soit ''le fait implique la possibilité"
*('''4''') : <math>\Box p\rightarrow\Box\Box p</math>
*('''B''') : <math>p\rightarrow\Box\Diamond p</math>
*('''5''') (ou ('''E''')) : <math>\Diamond p\rightarrow\Box\Diamond p</math>
Ces axiomes permettent de définir les systèmes suivants :
*K:='''K'''+'''N'''
*T:=K+'''T'''
*S4:=T+'''4'''
*S5:=S4+'''B''' ou T+'''5'''
*D:=K+'''D'''
La suite de systèmes K à S5 forme une hiérarchie imbriquée qui compose le noyau de la logique modale normale. L'axiome D, quant à lui, est principalement utilisé dans les logiques déontique, doxastique et épistémique.
== Modèles de la logique modale ==
{{Article détaillé|Sémantique de Kripke}}
Les modèles de Kripke, ou modèles de mondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales.
Notons <math>W</math> l'ensemble des monde possible et <math>R</math> une relation binaire entre les mondes possibles appelée relation d'accessibilité. Une valuation <math>v</math> affecte à chaque variable propositionelle une valeur de vérité et ce pour chaque monde possible. <math>v(A,w)</math> dénote le valeur de vérité de la proposition <math>A</math> dans le monde <math>w</math>.
La sémantique d'un opérateur modal est définie à partir d'une relation d'accessibilité de la façon suivante :
<math>v(\square A,w)\ \mathrm{ssi}\ v(A,w^') \mathrm{\ tel\ que\ } w^'Rw</math>
== Classification des systèmes de logique modale ==
Les systèmes de logiques modales sont organisés en fonction des règles d'inférence et des axiomes qui les caractérisent.
=== Logiques modales classiques ===
Les systèmes de logique modale classiques sont ceux qui acceptent la règle d'inférence suivante :
<math>(RE) \frac{A \leftrightarrow B}{\Box A \leftrightarrow \Box B}</math>
L'usage veut que l'on donne à un tel système un nom canonique du type <math>E \xi_1 \xi_2 \cdots \xi_n</math>, où les <math>\xi_i</math> sont les noms des axiomes du systèmes.
=== Logiques modales monotones ===
Les systèmes de logique modale monotones sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RM :
<math>(RM) \frac{A \to B}{\Box A \to \Box B}</math>
L'ensemble des systèmes monotones est inclus dans l'ensemble des systèmes classiques.
=== Logiques modales régulières ===
Les systèmes de logique modale réguliers sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RR :
<math>(RR) \frac{(A \wedge B) \to C}{(\Box A \wedge \Box B) \to \Box C}</math>
L'ensemble des systèmes réguliers est inclus dans l'ensemble des systèmes monotones.
=== Logiques modales normales ===
Les systèmes de logique modale normaux sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RK :
<math>(RK) \frac{(A_1 \wedge \cdots A_n) \to B}{(\Box A_1 \wedge \cdots \Box A_n) \to \Box B}</math>
L'ensemble des systèmes normaux est inclus dans l'ensemble des systèmes réguliers.
Une définition équivalente et plus courante des systèmes normaux est la suivante : un système de logique modal est dit normal s'il comporte l'axiome (K) et accepte la règle de nécessitation (RN) comme règle d'inférence :
<math>(K) \Box (A \to B) \to (\Box A \to \Box B)</math>
<math>(RN) \frac{A}{\Box A}</math>
Les systèmes normaux sont les plus utilisés, car ce sont ceux qui correspondent aux [[Sémantique de Kripke|sémantiques de Kripke]]. Il est cependant possible de trouver des sémantiques pour des logiques classiques non normales, mais elles présentent en général de moins bonnes propriétés.
== Voir aussi ==
=== Articles connexes===
* [[Contingent]]
* [[Théorie Dezert-Smarandache]]
* [[Logiques multi-valuées]]
* [[Formule de Sahlqvist]]
=== Liens externes ===
{{en}} James Garson, [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ Modal Logic], ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Edward N. Zalta (ed.), 2007.
=== Bibliographie ===
* {{Blackburn}}
* {{en}} {{Ouvrage|titre=Modal logic, an introduction|ref=Référence:Modal logic, an introduction|auteur=Brian F. Chellas|éditeur=Cambridge University Press|année=1980}}
[[Catégorie:Logique modale]]
{{Portail|logique|philosophie|philosophie analytique}}
{{Lien BA|de}}
[[ar:منطق طوري]]
[[da:Modallogik]]
[[de:Modallogik]]
[[en:Modal logic]]
[[es:Lógica modal]]
[[fa:منطق موجهات]]
[[fi:Modaalilogiikka]]
[[he:לוגיקה מודלית]]
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[[ja:様相論理学]]
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