Loi binomiale
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2008-06-29T16:02:47Z
Badmood
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En [[mathématiques]], une '''loi binomiale''' de paramètres ''n'' et ''p'' est une [[loi de probabilité]] qui correspond à l'expérience suivante :
On renouvelle ''n'' fois de manière indépendante une [[épreuve de Bernoulli]] de paramètre ''p'' (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant ''p'', celle d'un échec étant <math>q = (1 - p)</math>. On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des ''n'' épreuves et on appelle X la [[variable aléatoire]] correspondant à ce nombre de succès.
L'[[univers (mathématiques)|univers]] <math>X(\Omega )~</math> désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à ''n''.
La variable aléatoire suit une [[loi de probabilité]] définie par :
:<math>p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}</math>
En France, le premier terme du membre de droite est noté <math>\mathrm{C}_{n}^{k}</math>.
Cette notation n'est pas reconnue internationalement.
Les symboles <math>{n\choose k}</math> et <math>\mathrm{C}_{n}^{k}</math> correspondent à un nombre de [[Combinaison (mathématiques)|combinaison]]s et se calculent à partir de la fonction [[factorielle]] :
<math>{n\choose k}=\mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>
Cette loi de probabilité s'appelle la ''loi binomiale de paramètre (n ; p)'' et se note ''B(n ; p)''.
== Calcul de p(k) ==
Une épreuve de Bernoulli conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).
''n'' épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ω<sup>n</sup> constitué de ''n''-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec ''k'' succès et ''n'' - ''k'' échecs a donc pour valeur p<sup>k</sup>q<sup>n-k</sup>.
Plus généralement, tout ''n''-uplet formé de ''k'' succès et de ''n-k'' échecs aura pour probabilité p<sup>k</sup>q<sup>n-k</sup> quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.
L'évènement « X = k » est formé de tous les ''n''-uplets comportant ''k'' succès et ''n - k'' échecs. La [[combinatoire]] permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à ''k'' éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les ''n'' places du n-uplet. Il y a donc <math>{n \choose k}</math> n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à p<sup>k</sup>q<sup>n-k</sup>.
Donc <math>P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}</math>.
==Espérance, variance, écart type==
X est la somme de ''n'' variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre ''p'', prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité ''p'') et 0 en cas d'échec (probabilité ''(1-p)'') ; ces variables aléatoires ont pour espérance ''p'' et pour variance ''p(1-p)''.
*E(X) est donc la somme des espérances, soit '''np'''
*V(X) est la somme des variances, soit '''np(1-p)'''
*<math>\sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}</math>
==Convergence==
Pour de grandes valeurs de n, le calcul de <math>{n \choose k} \, p^k q^{n-k}</math> devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la [[formule de Stirling]]). On distingue deux cas :
* Lorsque n tend vers l'infini et que p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une [[loi de Poisson]] de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5.
* Lorsque n tend vers l'infini et que p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une [[loi normale]] d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration de la convergence vers la loi normale|contenu=
Supposons que <math>p(k)</math> admette un extremum pour <math> k = \tilde{k} </math>. Alors, <math>\ln p(k)</math> admet un extremum <math>\ln p(\tilde{k})</math>, car la fonction logarithme est monotone croisante. On calcule <math>\ln p(k)</math> à l'aide de la formule de Stirling :
<center>
<math>\ln (k !) \ \sim \ k \ \ln k \ - \ k \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi k) </math>
</center>
Il vient :
<center>
<math>\ln p(k) \ \sim \ n \ \ln n \ - \ n \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi n) \ - \ \left[ \ k \ \ln k \ - \ k \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi k) \ \right]
</math>
</center>
<center>
<math>\ - \ \left[ \ (n-k) \ \ln (n-k) \ - \ (n-k) \ + \ \frac{1}{2} \ \ln ( 2 \pi (n-k) \, ) \, \right] \ + \ k \ln p \ - \ (n-k) \ln (1-p)
</math>
</center>
La dérivée par rapport à ''k'' donne :
<center>
<math>\frac{d~}{dk} \ln p(k) \ \sim \ \ln \left[ \, \frac{(n-k) \ p}{k \ (1 - p)} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k} \right)
</math>
</center>
Pour annuler cette dérivée, il faut que l'argument du logarithme soit égale à un. On obtient alors la valeur de ''k'' qui rend le logarithme extremum :
<center>
<math>\tilde{k} \ = \ n \, p \ = \ \langle \ k \ \rangle
</math>
</center>
La valeur la plus probable est donc la valeur moyenne. La dérivée seconde vaut par ailleurs :
<center>
<math>\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(k) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{n-k} \ + \ \frac{1}{k} \, \right] \ + \ O \left( \frac{1}{k^2} \right)
</math>
</center>
Calculée en <math> k = \tilde{k} </math>, elle vaut :
<center>
<math>\frac{d^2~}{dk^2} \ln p(\tilde{k}) \ \sim \ - \ \left[ \, \frac{1}{np(1-p)} \, \right] \ = \ - \ \frac{1}{\sigma^2}
</math>
</center>
On peut donc écrire le développement limité au second ordre suivant :
<center>
<math>\ln p(k) \ \sim \ \ln p(\tilde{k}) \ + \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2} \ \frac{d^2~}{dk^2} \ln p(\tilde{k}) \ + \ o \left( \ \left( k - \tilde{k} \right)^2 \ \right) </math>
</center>
qui s'écrit compte-tenu de ce qui précède :
<center>
<math>\ln p(k) \ \sim \ \ln p(\tilde{k}) \ - \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2 \, \sigma^2}
</math>
</center>
soit en prenant l'exponentielle :
<center>
<math>p(k) \ \sim \ p(\tilde{k}) \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \tilde{k} \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]
</math>
</center>
On détermine la constante <math>p(\tilde{k})</math> avec la condition de normalisation des probabilités totales :
<center>
<math>\int_{- \infty}^{+ \infty} p(k) \ dk \ = \ 1 \quad \Longrightarrow \quad p(\tilde{k}) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \ }}
</math>
</center>
d'où la distribution gaussienne :
<center>
<math>p(k) \ = \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \ }} \ \exp \ \left[ - \ \frac{\left( k - \langle \ k \ \rangle \, \right)^2}{2 \, \sigma^2} \ \right]
</math>
</center>
}}
== Loi des grands nombres ==
La loi binomiale, son espérance et sa variance, ainsi que l'[[Inégalité de Bienaymé-Tchebychev|inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] permettent de démontrer une version simple de la [[loi des grands nombres]].
== Voir aussi ==
* [[Loi multinomiale]]
* [[Loi de probabilité]]
* [[Probabilité]]
* [[Probabilité (mathématiques élémentaires)]]
* [[Variables aléatoires élémentaires]]
* [[Marche au hasard]]
== Lien externe ==
* [[s:Table de la loi binomiale|Table de la loi binomiale]]
* [http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Binomialverteilung Table interactive de la loi binomiale et graphique interactif] {{de}}
{{Probabilités et Statistiques}}
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[[Catégorie:Loi de probabilité|Binomiale, Loi]]
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