Loi d'Ohm
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2008-07-15T11:33:02Z
Daniel*D
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{{Voir homonymes|Ohm}}
La '''loi d'Ohm''' est une [[loi physique]] permettant de relier l'[[Courant électrique|intensité du courant électrique]] traversant un dipôle à la [[Tension électrique|tension]] à ses bornes.
==Point de vue macroscopique==
===En [[courant continu]]===
La [[Potentiel électrique|différence de potentiel]] ou [[Tension électrique|tension]] '''''U''''' (en [[volt]]s) aux bornes d'une [[Résistance (électricité)|résistance]] '''''R''''' (en [[Ohm (unité)|ohm]]s) est proportionnelle à l'[[Courant électrique|intensité du courant électrique]] '''''I''''' (en [[ampère (unité)|ampère]]s) qui la traverse.
[[image:UIR.png|thumb|right|Représentation schématique d'une [[Résistance_(composant)|résistance]] parcourue par un courant. La loi d'Ohm relie l'intensité <math>i</math> du courant à la valeur <math>R</math> de la résistance et à la tension <math>U</math> entre ses bornes par la relation <math>U = R.I</math>]]
:<math>U = R.I \,</math>
On peut en déduire :
* <math>I = \frac U R </math> si ''R'' est non nul
* <math>R = \frac U I </math> si ''I'' est non nul
La résistance s'exprime en [[ohm (unité)|ohm]]s ([[symbole]] : Ω).
Cette loi porte le nom de [[Georg Ohm]] qui a travaillé sur le comportement des [[conducteur (physique)|conducteur]]s métalliques. Elle s'applique de manière satisfaisante aux conducteurs métalliques '''thermostatés''', c'est-à-dire maintenus à une [[température]] constante. Lorsque la température change, la valeur de la résistance change également de manière plus ou moins simple, ce qui impose d'introduire des termes correctifs. Par convention, on conserve la loi et on introduit les termes correctifs dans la valeur de la résistance du conducteur.
===En [[courant alternatif]]===
La loi précédente se généralise au cas des courants [[fonction trigonométrique|sinusoïdaux]] en utilisant les [[transformation complexe|notations complexes]]. On note <math>\underline{U}, \underline{I}</math> la tension et le courant complexes. La loi d'Ohm s'écrit alors :
:<math>\underline{U}=\underline{Z}.\underline{I}</math>
Avec <math>\underline{Z}\,</math> : [[impédance (électricité)|impédance]] complexe du [[dipôle électrique|dipôle]] considéré, qui peut être constitué de dipôles linéaires ([[Résistance (électricité)|résistances]], [[condensateur (électricité)|condensateur]]s et [[inductance]]s).
==Point de vue local (mésoscopique)==
===Énoncé de la loi d'Ohm locale===
D'un point de vue local, c'est-à-dire mésoscopique, la loi (locale) d'Ohm s'énonce en disant que la [[mobilité des porteurs de charge]] est indépendante de <math>||\vec{E}||</math> .
Si on note ''<math>\mu\,</math>'' la mobilité des porteurs de charge, leur vitesse s'écrit alors <math>\vec{v}=\pm \mu\vec{E}</math> (la direction du mouvement dépend du signe des porteurs) ; la [[densité de courant]] <math>\vec{j}</math> associée à une densité de porteurs <math>n\,</math> vaut quant à elle :
:<math>\vec{j}=qn\vec{v}=qn\mu\vec{E}</math> , où <math>q\,</math> est la charge électrique du porteur (en valeur absolue).
On note <math>\sigma = qn\mu\,</math> la [[conductivité électrique]] du matériau
(pour un seul type de porteur).
On a alors la loi locale d'Ohm pour un seul type de porteur :
:<math>\vec{j}=\sigma \vec{E}</math> .
Si on a plusieurs types de porteurs, comme par exemple les [[électron]]s et les [[Trou d'électron|trous]] dans un semi-conducteur ou des ions différents dans un [[électrolyte]],
la densité de courant devient :
:<math>\vec{j}= \sum_k n_k q_k \vec{v}_k</math> ,
avec <math>\vec{v}_k=\mu_k \vec{E}</math> ,
donc <math>\vec{j}= \left [\sum_k n_k q_k \mu_k \right ] \vec{E}</math> .
On a alors la conductivité totale :
:<math>\sigma= \sum_k n_k q_k \mu_k \,</math>
''Voir aussi [[Loi de Nernst-Einstein]].''
===Rapport avec la loi d'Ohm macroscopique : définition de la résistance===
Considérons une portion de conducteur d'un point '''A''' à un point '''B''' et de section droite ''S'', on a alors la différence de potentiel qui vaut :
:<math>V_A-V_B = \int_{A}^{B} \vec{E}.d\vec{l}</math>
et l'intensité :
:<math>i=\int \int_S \vec{j}.d\vec{S} = \int \int_S \sigma \vec{E}.d\vec{S} = \sigma \int \int_S \vec{E}.d\vec{S}</math>
Multiplions par une constante la différence de potentiel <math>V_A-V_B\,</math> , alors les conditions aux limites sont inchangées ainsi que les lignes de champ de <math>\vec{E}</math> , et l'expression <math>\int \int_S \vec{E}.d\vec{S}</math> est multipliée par la même constante, par conséquent le rapport :
:<math>\frac{V_A-V_B}{i}</math> est indépendant de cette constante, c'est une "constante" (il dépend quand même de divers paramètres telle la température) appelée '''[[Résistance (électricité)|résistance électrique]]''' et notée <math>R\,</math>.
:<math>R=\frac{V_A-V_B}{i}=\frac{\int_{A}^{B} \vec{E}.d\vec{l}}{\sigma \int \int_S \vec{E}.d\vec{S}}</math>
Cette formule permet de calculer la résistance de diverses géométries de matériaux (filiforme, cylindrique, sphérique, ...).
== Voir aussi ==
* [[Résistivité]]
* [[Électricité]]
* [[Lois de Kirchhoff]] (loi des mailles et loi des nœuds)
* [[Principe de superposition]]
* [[Théorème de réciprocité]]
* [[Théorème de Thévenin]]
* [[Théorème de Norton]]
* [[Théorème de Millman]]
===Liens externes===
*[http://www.elektrotechnik-fachwissen.de/php/fr-aufgabenaufruf.php Exercices loi d'Ohm]
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