Loi de Hooke 131561 30914214 2008-06-23T12:23:08Z JAnDbot 127921 robot Ajoute: [[hi:हुक का नियम]] {{ébauche|mécanique}} La '''loi de Hooke''' est une loi de comportement des solides soumis à une [[déformation élastique]] de faible amplitude. Elle a été énoncée par [[Robert Hooke]], par la phrase en [[latin]] : : '''''ut tensio sic vis''''' (ou son [[anagramme]] ''ceiiinosssttuv'') (en [[1678]] ; experiences datant de [[1675]]) ce qui signifie « telle extension, telle force », ou bien en termes modernes « l'allongement est proportionnel à la force ». Hooke désirait obtenir une théorie des ressorts, en soumettant ces derniers à des forces croissantes successives. De sa loi deux aspects sont importants : # la linearité, # l'elasticité. Ces deux aspects ne sont pas identiques, la linéarité exprime « l'allongement est proportionnel à la force », l'élasticité exprime que cet effet est reversible et permet donc de revenir a l'état initial tel un ressort soumis à de faible forces. L'élasticité a une limite, qui est indépendante de la notion de linéarité, Hooke n'a considéré que la phase élastique et linéaire, donc proportionnelle et réversible. C'est en quelque sorte une analogie avec l'allongement ''l''-''l''<sub>0</sub> d'un ressort de constante de raideur ''k'' soumis à une force ''F'' : * ''l'' : longueur du ressort étiré ou comprimé ; * ''l''<sub>0</sub> : longueur du ressort à vide. Pour un ressort on a : ''F'' = ''k''·(''l''-''l''<sub>0</sub>). Afin de s'abstraire de la forme de la pièce, et notamment de ses dimensions, on divise la [[Force (physique)|force]] par l'[[Aire (géométrie)|aire]] de la section de la pièce, grandeur que l'on appelle ''contrainte'' σ (exprimée en [[pascal (unité)|Pa]]), et on divise l'allongement par la longueur initiale, grandeur que l'on appelle ''déformation'' ou ''allongement relatif'' ε (sans dimension). On note l'allongement relatif ε : <math>\varepsilon = \frac{l-l_0}{l_0}</math>. On note la contrainte σ (similaire à une pression) : <math>\sigma = \frac{F}{S}</math> L'analogue de la constante de raideur du ressort est donc le [[module de Young]] ''E''. La loi de Hooke s'exprime alors sous la forme : :<math>\sigma = E \cdot \varepsilon</math> où ''E'' est le [[module de Young]], une caractéristique du [[matériau]], loi valable pour l'étirement ou la compression d'une pièce, les autres dimensions étant libres de s'étendre. La linéarité provient du fait que l'on est en faible déformation, on peut donc faire une [[approximation linéaire]] de la loi réelle ([[développement limité]] au premier ordre). Il s'agit en fait d'approcher le potentiel interatomique par une [[parabole]], voir l'article ''[[Déformation élastique#Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?|Déformation élastique > Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?]]''. Dans le cas d'une pièce de forme complexe, la loi de déformation globale n'a aucune raison d'être linéaire, mais par contre, chaque élément infinitésimal de matière se déforme lui de manière linéaire. == Loi de Hooke généralisée == Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le [[coefficient de Poisson]] ν, la loi de Hooke devient : : <math>\sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu }\left( \varepsilon_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu } \varepsilon_{kk}\delta _{ij}\right)</math> avec δ<sub>''ij''</sub> le [[symbole de Kronecker]] et ε<sub>''kk''</sub> est une notation abrégé de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur). Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner :<math>\varepsilon _{ij}=\frac{1}{E}\left[ \left( 1+\nu \right) \sigma _{ij}-\nu \sigma _{kk}\delta _{ij}\right]</math> La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes) : <math>\scriptstyle\varepsilon _{11} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{11}-\nu \left( \sigma _{22}+\sigma _{33}\right) \right], ~~~ \varepsilon _{22} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{22}-\nu \left( \sigma _{11}+\sigma _{33}\right) \right], ~~~ \scriptstyle\varepsilon _{33} =\frac{1}{E}\left[ \sigma _{33}-\nu \left( \sigma _{11}+\sigma _{22}\right) \right]</math> : <math>\scriptstyle\varepsilon _{12} =\frac{1+\nu }{E}\sigma _{12},~~~\varepsilon _{13}=\frac{1+\nu }{E}\sigma _{13},~~~\varepsilon _{23}=\frac{1+\nu }{E}\sigma _{23}</math> montre bien la signification physique du module d'Young ''E'' et du coefficient de Poisson ν. Dans le cas d'un matériau [[anisotrope]], on définit la contrainte et la déformation localement par un [[tenseur]] 3×3, le [[tenseur des contraintes]] [σ<sub>''ij''</sub>] et le [[tenseur des déformations]] [ε<sub>''ij''</sub>]. Le comportement élastique du matériau est alors modélisé par un tenseur d'ordre 4 [''C<sub>ijkl</sub>''] contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. On a : :<math>\sigma_{ij} = C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}</math> en appliquant la sommation sur les indices ([[Convention de sommation d'Einstein]]). Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur <math>C_{ijkl}</math> peut être représenté sous la forme d'une matrice 6x6, où les directions représentent les directions de la déformation.<br/> <math> \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\ C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\ C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\ C_{1123} & C_{2223} & C_{3323} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\ C_{1113} & C_{2213} & C_{3313} & C_{2313} & C_{1313} & C_{1312} \\ C_{1112} & C_{2212} & C_{3312} & C_{2312} & C_{1312} & C_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \epsilon_{23} \\ \epsilon_{13} \\ \epsilon_{12} \\ \end{pmatrix} </math> Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée [[notation de Voigt]], avec les axes de compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6. == Anecdotes == ''Ut tensio sic vis'' est la [[devise (phrase)|devise]] de l'[[École polytechnique de Montréal]]. == Voir aussi == * [[Coefficients d'élasticité]] * [[Plasticité et endommagement des polymères]] {{portail physique}} [[Catégorie:Mécanique des milieux continus]] [[Catégorie:Loi en physique|Hooke]] [[bs:Hookeov zakon]] [[ca:Llei de Hooke]] [[cs:Hookeův zákon]] [[da:Hookes lov]] [[de:Hookesches Gesetz]] [[el:Νόμος του Χουκ]] [[en:Hooke's law]] [[es:Ley de elasticidad de Hooke]] [[et:Hooke'i seadus]] [[fa:قانون هوک]] [[fi:Hooken laki]] [[he:חוק הוק]] [[hi:हुक का नियम]] [[hr:Hookeov zakon]] [[hu:Hooke-törvény]] [[it:Legge di Hooke]] [[ja:振動運動#.E3.83.95.E3.83.83.E3.82.AF.E3.81.AE.E6.B3.95.E5.89.87]] [[ko:훅의 법칙]] [[lt:Huko dėsnis]] [[lv:Huka likums]] [[nl:Wet van Hooke]] [[no:Hookes lov]] [[pl:Prawo Hooke'a]] [[pt:Lei de Hooke]] [[ru:Закон Гука]] [[simple:Hooke's Law]] [[sk:Hookov zákon]] [[sl:Hookov zakon]] [[sv:Hookes lag]] [[uk:Закон Гука]] [[zh:胡克定律]]