Loi de Student
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2008-04-01T15:57:11Z
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{{Wikiversité|Probabilités et analyse combinatoire/Loi de Student|Loi de Student}}
{{Clr}}
{{Distribution_Statistiques|
name = Loi de Student|
type = densité|
pdf_image = [[Image:Student_densite_best.JPG|325px]]|
cdf_image = [[Image:T_distributionCDF.png|325px]]|
parameters = ''k'' ≥ 1 degrés de liberté,|
support = <math>x \in ]-\infty; +\infty[\,</math>|
pdf =<math>f_T(t)= \frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}</math>|
cdf = 1-γ = ƒ(''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup>), voir tableau en fin d'article|
mean = si ''k'' = 1 : non définie
si ''k'' > 1'' : 0|
median = 0 |
mode = 0 |
variance = si ''k'' ≤ 2 : <math>+\infty</math>
si ''k'' > 2 : <math>\frac{k}{k-2}</math>|
skewness =<math>0</math> pour <math>\nu>3</math>|
kurtosis =|
entropy =|
mgf =|
char =
}}
La '''loi de Student''' est une [[loi de probabilité]], faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une [[loi normale]] centrée réduite et la [[racine carrée]] d'une variable distribuée suivant la [[loi du χ²]].
Soient ''Z'' une variable aléatoire de [[loi normale]] centrée et réduite et ''U'' une variable indépendante de ''Z'' et distribuée suivant la loi la [[loi du χ²]] à ''k'' degrés de liberté. Par définition la variable
: <math>T = \frac{Z}{\sqrt{U/k}}</math>
suit une loi de Student à ''k'' degrés de liberté.
La densité de ''T'' notée ƒ<sub>''T''</sub> est :
: <math>f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},</math> pour ''k'' ≥ 1.
où Γ est la [[fonction Gamma d'Euler]].
La densité ƒ<sub>''T''</sub> associée à la variable ''T'' est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.
Son [[espérance]] ne peut pas être définie pour ''k'' = 1, et est nulle pour ''k'' > 1.
Sa [[variance]] est infinie pour ''k'' ≤ 2 et vaut <math>\frac{k}{k-2}</math> pour ''k'' > 2.
== Histoire ==
Le calcul de la distribution de Student a été publié en 1908 par [[William Gosset]] pendant qu'il travaillait à la brasserie [[Guinness]] à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de ''Student''. Le test-t et de la théorie est devenue célèbre grâce aux travaux de [[Ronald Fisher]], qui a qualifié cette distribution de « distribution de Student ».
== Comportement limite ==
Lorsque ''k'' est grand, la loi de Student peut être approchée par la [[loi normale]] centrée réduite.
== Application : détermination rigoureuse de l’intervalle de confiance associé à l’[[espérance]] d’une variable de [[loi normale]] de [[variance]] inconnue ==
Ce chapitre présente une méthode faisant appel à la loi de Student afin d’estimer l’[[espérance]] μ d’une [[loi normale]] dont la [[variance]] σ² est supposée inconnue.
Soient ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub> n</sub>'' ''n'' variables indépendantes distribuées suivant une même [[loi normale]] d’[[espérance]] μ (à déterminer) et de [[variance]] σ² (inconnue).
Afin de parvenir au résultat, il est nécessaire d’introduire les variables <math>\overline{x}</math> et ''s''.
Soit
: <math>\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i</math>
La variable <math>\overline{x}</math> suit la [[loi normale]] d’[[espérance]] μ et de [[variance]] <math>\frac{\sigma^2}{n}</math>.
Soit
: <math>s = \Sigma_{i=1}^n \frac{(x_i - \overline{x}) ^2}{\sigma^2}</math>
La variable aléatoire ''s'' suit la [[loi du χ²]] à ''n'' - 1 degrés de liberté.
Remarque : ce résultat utile se démontre à partir de la propriété définissant la [[loi du χ²]] en tant que somme des carrés de variables normales centrées et réduites indépendantes 2 à 2, mais il n’en est pas pour autant la conséquence directe : en particulier les variables <math>x_1-\overline{x}, \ldots , x_n-\overline{x}</math> ne sont pas indépendantes entre elles.
Pour ''n'' grand, la [[variance]] <math>\frac{\sigma^2}{n}</math> de <math>\overline{x}</math> tend vers 0, et la valeur d’une réalisation de <math>\overline{x}</math> constitue ainsi une estimation de l’[[espérance]] μ, qui est également l’[[espérance]] de la [[loi normale]] suivie par les variables ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub> n</sub>''. Néanmoins, seule la connaissance préalable de la [[variance]] σ² de cette loi permet de caractériser un intervalle de confiance pour la variable <math>\overline{x}-\mu</math>.
Par contre, il est possible de caractériser un intervalle de confiance rigoureux pour la variable suivante :
: <math>T_0=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n / \sqrt{n}},</math>
avec
: <math>S = \frac{s\sigma^2}{n-1} = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^2</math>
En effet, moyennant quelques simplifications, la variable ''T''<sub>0</sub> peut se réécrire comme
: <math>T_0 = \frac{Z}{\sqrt{s/(n-1)}}</math>
avec
: <math> Z = \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math>.
la variable ''Z'' suit la [[loi normale]] centrée et réduite, et nous avons vu ci-dessus que la variable ''s'' suit la [[loi du χ²]] à ''n'' - 1 degrés de liberté. De plus, il est possible de démontrer que ''Z'' et ''s'' sont indépendantes. Par définition, ''T''<sub>0</sub> suit donc la loi de Student à ''k'' = ''n'' - 1 degrés de liberté.
La distribution de la variable ''T''<sub>0</sub> est donc connue indépendamment de σ², et par conséquent les intervalles de confiance qui lui sont associés sont également connus. Ainsi, il est possible d’obtenir un intervalle de confiance pour μ à partir d’une réalisation des variables ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'', de laquelle on déduit des valeurs de <math>\overline{x}</math> et ''S''. La suite de ce chapitre détaille la procédure permettant la détermination de cet intervalle de confiance.
Pour une variable ''T'' suivant la loi de Student à ''k'' degrés de liberté, on définit ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> comme
: la quantité telle que la probabilité d’obtenir ''T'' > ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> soit égale à γ.
Ceci revient à imposer que 1-γ soit l'image de ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> par la [[fonction de répartition]] de la loi de Student. La quantité ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> est également appelé le quantile d’ordre 1-γ de la loi de Student à ''k'' degrés de liberté (voir tableau des valeurs de ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> ci-dessous).
Dans ce cadre, si ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> > 0, alors la probabilité d’obtenir -''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> < ''T''<sub>0</sub> < ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> est égale à 1-2γ.
Or on a
: <math>\mu = \overline{x} - T_0 \sqrt{\frac{S}{n}}</math>.
La probabilité d’obtenir <math> \overline{x} - t_\gamma^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}} < \mu < \overline{x} + t_\gamma^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}} </math> est elle aussi égale à 1-2γ. Le niveau de confiance α associé à cet intervalle est donc α = 1-2γ.
Le niveau de confiance α correspond à la probabilité que l’[[espérance]] μ de la [[loi normale]] se trouve à l’intérieur de l’intervalle de confiance. Par exemple pour α = 0,95, on a un niveau de confiance de 95 %, correspondant à γ = (1-α)/2 = 0,025.
La courbe ci-dessous illustre la notion de niveau de confiance en représentant celui-ci comme une intégrale (aire de la zone en bleu).
[[Image:Student pedagogie best.JPG|325px]]
Dans la courbe ci-dessus, les frontières entre la zone centrale et les deux zone latérales identiques correspondent à ''t'' = ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> et ''t'' = -''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup>.
En résumé, l’intervalle de confiance de l’[[espérance]] μ d’une [[loi normale]] de [[variance]] quelconque inconnue peut être déterminé à partir des valeurs de ''n'' variables indépendantes ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub> ''suivant toutes cette même loi. Pour un niveau de confiance donné α, cet intervalle est le suivant :
: <math> \left[\,\overline{x} - t_{(1 - \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}, \overline{x} + t_{(1 - \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}\,\right] </math>,
avec
: <math>\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i</math>,
: <math>S = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^2</math>,
et
: ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> le quantile d’ordre 1-γ de la loi de Student à ''k'' degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus).
=== Tableau des valeurs du quantile ===
Un tableau des valeurs du quantile en fonction de γ et ''k'' est fourni ci-dessous.
{| border="1" cellpadding="5"
|
| colspan="11" align="center" bgcolor="#00FF00" | γ
|-
| bgcolor="#00FF00" |''k''
| bgcolor="#00FF00" |0,10
| bgcolor="#00FF00" |0,05
| bgcolor="#00FF00" |0,025
| bgcolor="#00FF00" |0,010
| bgcolor="#00FF00" |0,005
| bgcolor="#00FF00" |0,002 5
| bgcolor="#00FF00" |0,001 0
| bgcolor="#00FF00" |0,000 5
|-
| bgcolor="#00FF00" |1
|3,078
|6,314
|12,71
|31,82
|63,66
|127,3
|318,3
|636,6
|-
| bgcolor="#00FF00" |2
|1,886
|2,920
|4,303
|6,965
|9,925
|14,09
|22,33
|31,60
|-
| bgcolor="#00FF00" |3
|1,638
|2,353
|3,182
|4,541
|5,841
|7,453
|10,21
|12,92
|-
| bgcolor="#00FF00" |4
|1,533
|2,132
|2,776
|3,747
|4,604
|5,598
|7,173
|8,610
|-
| bgcolor="#00FF00" |5
|1,476
|2,015
|2,571
|3,365
|4,032
|4,773
|5,893
|6,869
|-
| bgcolor="#00FF00" |10
|1,372
|1,812
|2,228
|2,764
|3,169
|3,581
|4,144
|4,587
|-
| bgcolor="#00FF00" |25
|1,316
|1,708
|2,060
|2,485
|2,787
|3,078
|3,450
|3,725
|-
| bgcolor="#00FF00" |50
|1,299
|1,676
|2,009
|2,403
|2,678
|2,937
|3,261
|3,496
|-
| bgcolor="#00FF00" |100
|1,290
|1,660
|1,984
|2,364
|2,626
|2,871
|3,174
|3,390
|-
| bgcolor="#00FF00" | ∞
|1,282
|1,645
|1,960
|2,326
|2,576
|2,807
|3,090
|3,291
|}
Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de ''k''. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la [[loi normale]] centrée et réduite.
== Notes ==
<references />
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Erreur (métrologie)]]
* [[Loi de Pearson IV]]
=== Liens externes ===
* {{pdf}} [http://newton.mat.ulaval.ca/pages/belisle/Notes-tableaux/Lois-khi2-t-F.pdf La Loi du khi-2, la loi de Student, la loi de Fisher], Université Laval, Département de mathématiques et de statistique
: Ce document en français contient en particulier la dérivation de l'expression de la [[densité de probabilité]] ƒ<sub>''T''</sub>, la démonstration de la distribution de la variable ''s'' suivant la loi de Student à ''n''-1 degrés de liberté, ainsi que la démonstration de l'indépendance de ''s'' et ''Z''.
{{Portail|mathématiques|probabilités et statistiques}}
[[Catégorie:Loi de probabilité|Student, Loi de]]
[[ar:توزيع ستيودنت الاحتمالي]]
[[ca:Distribució t de Student]]
[[cs:Studentovo rozdělení]]
[[de:Studentsche t-Verteilung]]
[[en:Student's t-distribution]]
[[es:Distribución t de Student]]
[[fa:توزیع تی-استیودنت]]
[[fi:Studentin t-jakauma]]
[[it:Variabile casuale t di Student]]
[[ja:T分布]]
[[nl:Studentverdeling]]
[[pl:Rozkład Studenta]]
[[pt:Distribuição t de Student]]
[[ru:Распределение Стьюдента]]
[[su:Sebaran-t student]]
[[sv:Students t-fördelning]]
[[tr:Student'in t dağılımı]]
[[uk:T-розподіл Стьюдента]]
[[zh:学生t-分布]]