Loi de Student 440145 28069628 2008-04-01T15:57:11Z Badmood 4507 nouveau style de bandeau de portail, voir [[Wikipédia:Prise de décision/Bandeaux de portail]] {{Wikiversité|Probabilités et analyse combinatoire/Loi de Student|Loi de Student}} {{Clr}} {{Distribution_Statistiques| name = Loi de Student| type = densité| pdf_image = [[Image:Student_densite_best.JPG|325px]]| cdf_image = [[Image:T_distributionCDF.png|325px]]| parameters = ''k'' ≥ 1 degrés de liberté,| support = <math>x \in ]-\infty; +\infty[\,</math>| pdf =<math>f_T(t)= \frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}</math>| cdf = 1-γ = ƒ(''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup>), voir tableau en fin d'article| mean = si ''k'' = 1 : non définie si ''k'' &gt; 1'' : 0| median = 0 | mode = 0 | variance = si ''k'' ≤ 2 : <math>+\infty</math> si ''k'' > 2 : <math>\frac{k}{k-2}</math>| skewness =<math>0</math> pour <math>\nu>3</math>| kurtosis =| entropy =| mgf =| char = }} La '''loi de Student''' est une [[loi de probabilité]], faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une [[loi normale]] centrée réduite et la [[racine carrée]] d'une variable distribuée suivant la [[loi du χ²]]. Soient ''Z'' une variable aléatoire de [[loi normale]] centrée et réduite et ''U'' une variable indépendante de ''Z'' et distribuée suivant la loi la [[loi du χ²]] à ''k'' degrés de liberté. Par définition la variable : <math>T = \frac{Z}{\sqrt{U/k}}</math> suit une loi de Student à ''k'' degrés de liberté. La densité de ''T'' notée ƒ<sub>''T''</sub> est : : <math>f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},</math> pour ''k'' ≥ 1. où Γ est la [[fonction Gamma d'Euler]]. La densité ƒ<sub>''T''</sub> associée à la variable ''T'' est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche. Son [[espérance]] ne peut pas être définie pour ''k'' = 1, et est nulle pour ''k'' > 1. Sa [[variance]] est infinie pour ''k'' ≤ 2 et vaut <math>\frac{k}{k-2}</math> pour ''k'' &gt; 2. == Histoire == Le calcul de la distribution de Student a été publié en 1908 par [[William Gosset]] pendant qu'il travaillait à la brasserie [[Guinness]] à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de ''Student''. Le test-t et de la théorie est devenue célèbre grâce aux travaux de [[Ronald Fisher]], qui a qualifié cette distribution de « distribution de Student ». == Comportement limite == Lorsque ''k'' est grand, la loi de Student peut être approchée par la [[loi normale]] centrée réduite. == Application : détermination rigoureuse de l’intervalle de confiance associé à l’[[espérance]] d’une variable de [[loi normale]] de [[variance]] inconnue == Ce chapitre présente une méthode faisant appel à la loi de Student afin d’estimer l’[[espérance]] μ d’une [[loi normale]] dont la [[variance]] σ² est supposée inconnue. Soient ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub> n</sub>'' ''n'' variables indépendantes distribuées suivant une même [[loi normale]] d’[[espérance]] μ (à déterminer) et de [[variance]] σ² (inconnue). Afin de parvenir au résultat, il est nécessaire d’introduire les variables <math>\overline{x}</math> et ''s''. Soit : <math>\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i</math> La variable <math>\overline{x}</math> suit la [[loi normale]] d’[[espérance]] μ et de [[variance]] <math>\frac{\sigma^2}{n}</math>. Soit : <math>s = \Sigma_{i=1}^n \frac{(x_i - \overline{x}) ^2}{\sigma^2}</math> La variable aléatoire ''s'' suit la [[loi du χ²]] à ''n'' - 1 degrés de liberté. Remarque : ce résultat utile se démontre à partir de la propriété définissant la [[loi du χ²]] en tant que somme des carrés de variables normales centrées et réduites indépendantes 2 à 2, mais il n’en est pas pour autant la conséquence directe : en particulier les variables <math>x_1-\overline{x}, \ldots , x_n-\overline{x}</math> ne sont pas indépendantes entre elles. Pour ''n'' grand, la [[variance]] <math>\frac{\sigma^2}{n}</math> de <math>\overline{x}</math> tend vers 0, et la valeur d’une réalisation de <math>\overline{x}</math> constitue ainsi une estimation de l’[[espérance]] μ, qui est également l’[[espérance]] de la [[loi normale]] suivie par les variables ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub> n</sub>''. Néanmoins, seule la connaissance préalable de la [[variance]] σ² de cette loi permet de caractériser un intervalle de confiance pour la variable <math>\overline{x}-\mu</math>. Par contre, il est possible de caractériser un intervalle de confiance rigoureux pour la variable suivante : : <math>T_0=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n / \sqrt{n}},</math> avec : <math>S = \frac{s\sigma^2}{n-1} = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^2</math> En effet, moyennant quelques simplifications, la variable ''T''<sub>0</sub> peut se réécrire comme : <math>T_0 = \frac{Z}{\sqrt{s/(n-1)}}</math> avec : <math> Z = \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math>. la variable ''Z'' suit la [[loi normale]] centrée et réduite, et nous avons vu ci-dessus que la variable ''s'' suit la [[loi du χ²]] à ''n'' - 1 degrés de liberté. De plus, il est possible de démontrer que ''Z'' et ''s'' sont indépendantes. Par définition, ''T''<sub>0</sub> suit donc la loi de Student à ''k'' = ''n'' - 1 degrés de liberté. La distribution de la variable ''T''<sub>0</sub> est donc connue indépendamment de σ², et par conséquent les intervalles de confiance qui lui sont associés sont également connus. Ainsi, il est possible d’obtenir un intervalle de confiance pour μ à partir d’une réalisation des variables ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'', de laquelle on déduit des valeurs de <math>\overline{x}</math> et ''S''. La suite de ce chapitre détaille la procédure permettant la détermination de cet intervalle de confiance. Pour une variable ''T'' suivant la loi de Student à ''k'' degrés de liberté, on définit ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> comme : la quantité telle que la probabilité d’obtenir ''T'' &gt; ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> soit égale à γ. Ceci revient à imposer que 1-γ soit l'image de ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> par la [[fonction de répartition]] de la loi de Student. La quantité ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> est également appelé le quantile d’ordre 1-γ de la loi de Student à ''k'' degrés de liberté (voir tableau des valeurs de ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> ci-dessous). Dans ce cadre, si ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> &gt; 0, alors la probabilité d’obtenir -''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> &lt; ''T''<sub>0</sub> &lt; ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> est égale à 1-2γ. Or on a : <math>\mu = \overline{x} - T_0 \sqrt{\frac{S}{n}}</math>. La probabilité d’obtenir <math> \overline{x} - t_\gamma^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}} < \mu < \overline{x} + t_\gamma^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}} </math> est elle aussi égale à 1-2γ. Le niveau de confiance α associé à cet intervalle est donc α = 1-2γ. Le niveau de confiance α correspond à la probabilité que l’[[espérance]] μ de la [[loi normale]] se trouve à l’intérieur de l’intervalle de confiance. Par exemple pour α = 0,95, on a un niveau de confiance de 95 %, correspondant à γ = (1-α)/2 = 0,025. La courbe ci-dessous illustre la notion de niveau de confiance en représentant celui-ci comme une intégrale (aire de la zone en bleu). [[Image:Student pedagogie best.JPG|325px]] Dans la courbe ci-dessus, les frontières entre la zone centrale et les deux zone latérales identiques correspondent à ''t'' = ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> et ''t'' = -''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup>. En résumé, l’intervalle de confiance de l’[[espérance]] μ d’une [[loi normale]] de [[variance]] quelconque inconnue peut être déterminé à partir des valeurs de ''n'' variables indépendantes ''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub> ''suivant toutes cette même loi. Pour un niveau de confiance donné α, cet intervalle est le suivant : : <math> \left[\,\overline{x} - t_{(1 - \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}, \overline{x} + t_{(1 - \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}\,\right] </math>, avec : <math>\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i</math>, : <math>S = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^2</math>, et : ''t''<sub>γ</sub><sup>''k'' </sup> le quantile d’ordre 1-γ de la loi de Student à ''k'' degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus). === Tableau des valeurs du quantile === Un tableau des valeurs du quantile en fonction de γ et ''k'' est fourni ci-dessous. {| border="1" cellpadding="5" | | colspan="11" align="center" bgcolor="#00FF00" | γ |- | bgcolor="#00FF00" |''k'' | bgcolor="#00FF00" |0,10 | bgcolor="#00FF00" |0,05 | bgcolor="#00FF00" |0,025 | bgcolor="#00FF00" |0,010 | bgcolor="#00FF00" |0,005 | bgcolor="#00FF00" |0,002&nbsp;5 | bgcolor="#00FF00" |0,001&nbsp;0 | bgcolor="#00FF00" |0,000&nbsp;5 |- | bgcolor="#00FF00" |1 |3,078 |6,314 |12,71 |31,82 |63,66 |127,3 |318,3 |636,6 |- | bgcolor="#00FF00" |2 |1,886 |2,920 |4,303 |6,965 |9,925 |14,09 |22,33 |31,60 |- | bgcolor="#00FF00" |3 |1,638 |2,353 |3,182 |4,541 |5,841 |7,453 |10,21 |12,92 |- | bgcolor="#00FF00" |4 |1,533 |2,132 |2,776 |3,747 |4,604 |5,598 |7,173 |8,610 |- | bgcolor="#00FF00" |5 |1,476 |2,015 |2,571 |3,365 |4,032 |4,773 |5,893 |6,869 |- | bgcolor="#00FF00" |10 |1,372 |1,812 |2,228 |2,764 |3,169 |3,581 |4,144 |4,587 |- | bgcolor="#00FF00" |25 |1,316 |1,708 |2,060 |2,485 |2,787 |3,078 |3,450 |3,725 |- | bgcolor="#00FF00" |50 |1,299 |1,676 |2,009 |2,403 |2,678 |2,937 |3,261 |3,496 |- | bgcolor="#00FF00" |100 |1,290 |1,660 |1,984 |2,364 |2,626 |2,871 |3,174 |3,390 |- | bgcolor="#00FF00" | ∞ |1,282 |1,645 |1,960 |2,326 |2,576 |2,807 |3,090 |3,291 |} Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de ''k''. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la [[loi normale]] centrée et réduite. == Notes == <references /> == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Erreur (métrologie)]] * [[Loi de Pearson IV]] === Liens externes === * {{pdf}} [http://newton.mat.ulaval.ca/pages/belisle/Notes-tableaux/Lois-khi2-t-F.pdf La Loi du khi-2, la loi de Student, la loi de Fisher], Université Laval, Département de mathématiques et de statistique : Ce document en français contient en particulier la dérivation de l'expression de la [[densité de probabilité]] ƒ<sub>''T''</sub>, la démonstration de la distribution de la variable ''s'' suivant la loi de Student à ''n''-1 degrés de liberté, ainsi que la démonstration de l'indépendance de ''s'' et ''Z''. {{Portail|mathématiques|probabilités et statistiques}} [[Catégorie:Loi de probabilité|Student, Loi de]] [[ar:توزيع ستيودنت الاحتمالي]] [[ca:Distribució t de Student]] [[cs:Studentovo rozdělení]] [[de:Studentsche t-Verteilung]] [[en:Student's t-distribution]] [[es:Distribución t de Student]] [[fa:توزیع تی-استیودنت]] [[fi:Studentin t-jakauma]] [[it:Variabile casuale t di Student]] [[ja:T分布]] [[nl:Studentverdeling]] [[pl:Rozkład Studenta]] [[pt:Distribuição t de Student]] [[ru:Распределение Стьюдента]] [[su:Sebaran-t student]] [[sv:Students t-fördelning]] [[tr:Student'in t dağılımı]] [[uk:T-розподіл Стьюдента]] [[zh:学生t-分布]]