Loi de composition 144467 24122979 2007-12-20T09:27:02Z Bap 7343 lien vers Structure En [[mathématiques]], une '''loi de composition''', ou '''loi''' tout court, est une ''[[Correspondances et Relations|relation ternaire]]'' qui est aussi une ''[[fonction (mathématiques)|application]]''. C’est donc une application d’un ''[[produit cartésien]]'' de deux ensembles ''E'' et ''F'' dans un troisième ensemble ''G'', avec ''G'' égal à ''E'' ou à ''F''. Quand nous définissons sur un ensemble ''E'' un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]]. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les '''[[Axiome|axiomes]]''' de la structure de ''E''. == Notion de loi == Une '''loi (de composition)''' ''*'' : ''E'' × ''F'' → ''G'', avec ''G'' = ''E'' ou ''G'' = ''F'', est une ''[[fonction (mathématiques)|application]]'' de ''E'' × ''F'' dans ''G'' qui associe à chaque ''[[couple (mathématiques)|couple]]'' ( ''x'', ''y'' ) de ''E'' × ''F'', un élément de ''G'' noté habituellement « ''x'' * ''y'' » (au lieu de la notation ''fonctionnelle'' « * ( ''x'', ''y'' ) ») et appelé '''composé''' de ''x'' et de ''y'', ou encore '''produit''' de ''x'' et ''y''. ''x'' et ''y'' sont parfois qualifiés d’''opérandes'', car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération. ''G'' doit être égal à ''E'' ou à ''F''. Plus précisément : * si ''E'' = ''F'' = ''G'', la loi * : ''E'' × ''E'' → ''E'' est appelée '''[[loi de composition interne]]''' dans ''E''; * si ''E'' ≠ ''F'' et ''G'' = ''F'', la loi * : ''E'' × ''F'' → ''F'' est appelée '''loi de composition externe à gauche''' sur ''F'' ou ''[[loi de composition externe]]'', et ''E'' est alors le ''domaine des opérateurs''; *si ''E'' ≠ ''F'' et ''G'' = ''E'', la loi * : ''E'' × ''F'' → ''E'' est appelée '''loi de composition externe à droite''' sur ''E'' de domaine ''F''. == Remarque == Il existe plusieurs notations pour les lois : * la plus courante est la notation '''[[infixe]]'''; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs : :<math> x * y \,</math> * une variante en est la notation '''par juxtaposition''', où le symbole de la loi est omis : :<math> x y \,</math> * la notation '''[[préfixe]]''', ou '''[[notation polonaise|polonaise]]''', se passe de parenthèses : :<math> * x y \,</math>, parfois <math> * x , y \,</math> * la notation '''[[suffixe]]''', ou '''[[notation polonaise inverse|polonaise inverse]]''', se passe aussi de parenthèses : :<math> x y * \,</math>, parfois <math> x , y * \,</math> * la notation '''[[losange]]''', mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs : :<math> x <> y \,</math> == Exemples == *Un produit scalaire sur un <math>\mathbb{K}</math>-espace vectoriel ''E'' est une loi de ''E''× ''E'' dans <math>\mathbb{K}</math>. *l’[[exponentiation]] entière des réels est une loi de <math>\mathbb{R}\times \mathbb{N}</math> dans <math>\mathbb{R}</math>; *les exemples les plus courants de lois de composition sont les [[arithmétique|opérations arithmétiques]], comme l’[[addition]], la [[soustraction]], la [[multiplication]] et la [[division]]; attention toutefois, ce ne sont pas ''toujours'' des lois de composition : ainsi, la soustraction ''n’est pas'' une loi de composition dans <math>\mathbb{N}</math>; *un exemple de multiplication externe est la multiplication d’un vecteur par un scalaire en [[algèbre linéaire]]. == Lois internes == Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en ''[[algèbre générale]]''; elles définissent les [[groupe (mathématiques)|groupes]], les [[monoïde|monoïdes]], les [[semigroupe|semi-groupes]], les [[anneau (mathématiques)|anneaux]], etc. La structure générale de ''[[magma (mathématiques)|magma]]'' est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont [[commutativité|commutatives]] ou [[associativité|associatives]], et ont souvent un [[élément neutre]] et des éléments [[loi de composition interne|symétrisables]]. Les exemples typiques de telles lois sont l’[[addition]] (notée +) et la [[multiplication]] (notée ×) des [[nombre|nombres]] ou des [[matrice (mathématiques)|matrices]] et aussi la [[Composition de fonctions|composition d'applications]] d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives. Des exemples de lois qui ne sont jamais [[commutatif|commutatives]] sont la [[soustraction]] (notée -) ou la [[division]] (notée ÷ ou :). == Lois externes == Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés ''opérateurs'' ou ''scalaires''. Une loi externe ''E'' × ''F'' → ''F'' peut être vue comme une [[Loi de composition externe|opération]] de ''E'' sur ''F'' et on dit que ''E'' opère sur ''F''. == Voir aussi == * [[Loi de composition interne]] * [[Loi de composition externe]] * [[Structure algébrique]] * [[Algèbre universelle]] * [[Algèbre générale]] [[catégorie:Structure algébrique]]