Loi de composition interne 8154 31578794 2008-07-14T19:38:19Z CarsracBot 400947 robot Ajoute: [[simple:Binary operation]] L’[[algèbre]] est la branche des [[mathématiques]] qui s’intéresse aux [[ensemble]]s et aux ''[[Correspondance et relation|relations]]'' qui peuvent y être établies. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces relations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des relations en cause. Parmi les relations étudiées, les '''lois de composition interne''' occupent une place privilégiée. == Présentation == Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d' ''opérations'' telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une '''opération (interne)''' dans un ensemble est une ''relation interne'' dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés ''opérandes'', en associe éventuellement un troisième, unique, nommé ''résultat'', toujours dans ce même ensemble. Pour que l’ ''opération'' considérée soit effectivement une '''loi de composition interne''', il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi : * la division n’est pas une ''loi de composition interne'' dans <math>\mathbb{R} \,</math>, parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans <math>\mathbb{R}^{*} \,</math> (ensemble des réels privés de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans <math>\mathbb{Z}^{*} \,</math> car 2 / 3 n'est pas un entier relatif. * la soustraction peut être ou non une ''loi de composition interne'' selon l’ensemble de nombres considéré : ** s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits [[entier naturel|entiers naturels]] { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 - 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels. ** si au contraire, on choisit l’ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]], qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., -3, -2, -1}, alors la soustraction est bien une ''loi de composition interne''. En résumé, une '''loi de composition interne''' dans un ensemble ''E'', ou, plus simplement une '''loi''' dans ''E'', est une ''opération'' qui donne un ''résultat'' dans ''E'' pour tous les couples possibles d'éléments de ''E''. == Exemple == Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’[[addition]] est une ''loi de composition interne'' ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article : * zéro est [[élément neutre|élément '''neutre''']] pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, &nbsp; 5 + 0 = 5 &nbsp;, et &nbsp; 0 + 8 = 8 &nbsp; ; * pour tout entier, il existe un autre nombre, son '''[[Opposé (mathématique)|opposé]]''' (le terme général est ''[[élément symétrique]]''), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre, zéro. L’''opposé'' se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : &nbsp; 3 + (-3) = 0 &nbsp; ; * on peut échanger les deux éléments autour du signe « <math>+</math> » : &nbsp; 3 + 5 = 5 + 3 = 8 &nbsp; . On dit que l’opération est '''[[commutativité|commutative]]''' ; * on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : &nbsp; 3 + 5 + 4 &nbsp; peut se calculer de deux manières : ** en calculant d’abord &nbsp; 3 + 5 = 8 &nbsp; puis en ajoutant &nbsp; 4 &nbsp; au résultat, ** ou en calculant &nbsp; 5 + 4 = 9 &nbsp; avant de calculer &nbsp; 3 + 9 &nbsp; . :Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : &nbsp; (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) &nbsp; . On dit que l’opération est '''[[associativité|associative]]'''. Ces quatre propriétés, ''existence d’un élément neutre'', ''existence de symétriques'', ''commutativité'', ''associativité'', peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des ''translations'' (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3&nbsp;mètres vers la gauche et de 2&nbsp;mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la ''composition'' : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition : * le ''neutre'' est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ; * le ''symétrique'' d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3&nbsp;mètres à droite et 2&nbsp;mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ; * on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la ''commutativité'' et l’''associativité''. L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un [[groupe abélien]]. L’algèbre s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le [[démonstration|redémontrer]] pour chacun. == Définition formelle == On appelle '''loi de composition interne''' sur un [[ensemble]] ''E'' toute [[fonction (mathématiques)|application]] <math>*\,</math> de ''E'' × ''E'' dans ''E'' (il s'agit donc de ''[[Relation ternaire interne|relations ternaires internes]]'' particulières). Un ensemble ''E'' muni d’une loi de composition interne <math>*\,</math> constitue une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] appelée [[Magma (mathématiques)|magma]] et notée « ( ''E'', <math>*\,</math> ) ». Quelques exemples triviaux, pour un ensemble ''E'' non vide : * les applications constantes : si '''''c''''' appartient à ''E'' : <math>\forall</math> ''x'' <math>\in</math> ''E'', <math>\forall</math> ''y'' <math>\in</math> ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = '''''c''''' ; * l’application sélectionnant le terme de gauche : <math>\forall</math> ''x'' <math>\in</math> ''E'', <math>\forall</math> ''y'' <math>\in</math> ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = ''x'' ; * l’application sélectionnant le terme de droite : <math>\forall</math> ''x'' <math>\in</math> ''E'', <math>\forall</math> ''y'' <math>\in</math> ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = ''y''. == Éléments particuliers == ==== Composé de deux éléments et composé réciproque ==== Dans un magma ( ''E'', <math>*\,</math> ), on appelle « '''composé''' d'un élément ''x'' par un élément ''y'' », l'unique élément ''x'' <math>*\,</math> ''y'' associé par la loi <math>*\,</math> au couple ( ''x'', ''y'' ). L'élément ''y'' <math>*\,</math> ''x'' est le composé de ''y'' par ''x''. Il est associé par la loi <math>*\,</math> au couple ( ''y'', ''x'' ), ''réciproque'' du couple ( ''x'', ''y'' ); c'est pourquoi il est aussi appelé '''composé réciproque''' de ''x'' par ''y'' ou de ''x'' <math>*\,</math> ''y''. Certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés : ==== Carrés et dérivés ==== * un élément <math> c \,</math> est dit '''[[carré]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \exists\ x \in E /\ x * x = c \,</math> :En sens inverse, tout élément ''x'' &nbsp; a un carré unique, noté habituellement « ''x'' <sup> 2 </sup> ». :Si la loi est notée additivement, le terme de '''double''' sera employé de préférence à celui de ''carré''. ::Exemple : dans <math>\mathbb{Z} \,</math>, le ''double'' de 3 (pour l'addition) est 6, et son ''carré'' (pour la multiplication) est 9. * un élément <math> s \,</math> est dit '''[[idempotent]]''' ou '''projecteur''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> s * s = s \,</math> :En d’autres termes, cet élément est son propre ''carré''. * un élément <math> d \,</math> est dit '''[[Elément dévolutif|dévolutif]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ x * x = d \,</math> :En d’autres termes, ''d'' est le ''carré'' de tous les éléments de ''E''. Tout élément ''dévolutif'' est ''idempotent''. En effet, il est carré de tout élément de ''E'' donc en particulier, il est son propre carré ==== Neutres et dérivés ==== * un élément <math> e \,</math> est dit '''neutre à gauche''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ e * x = x \,</math> * un élément <math> e \,</math> est dit '''neutre à droite''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ x * e = x \,</math> * un élément <math> e \,</math> est dit '''[[élément neutre|neutre]]''' lorsqu’il est ''neutre'' &nbsp; ''à droite'' et ''à gauche''; ::Exemple : dans <math>\mathbb{R} \,</math>, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1. :Tout élément ''neutre'', même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est ''idempotent''. * un élément <math> s \,</math> est dit '''[[Involution|involutif]]''' s’il existe un ''élément neutre'' <math> e \,</math> et si : &nbsp; <math> s * s = e \,</math>; : L’élément ''neutre'' est nécessairement ''involutif''. : Le seul élément ''involutif'' et ''idempotent'' est l'élément neutre. * un élément <math> a \,</math> est '''[[élément symétrique|symétrique]]''' à gauche de l'élément <math> b \,</math>, si <math> \ a * b = e \,</math>. L'élément <math> b \,</math> est alors '''[[élément symétrique|symétrique]]''' à droite de l'élément <math> a \,</math>. ==== Absorbants et dérivés ==== * un élément <math> a \,</math> est dit '''absorbant à gauche''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ a * x = a \,</math> * un élément <math> a \,</math> est dit '''absorbant à droite''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ x * a = a \,</math> * un élément <math> a \,</math> est dit '''[[élément absorbant|absorbant]]''' lorsqu’il est ''absorbant'' &nbsp; ''à droite'' et ''à gauche''; ::Exemple : dans <math>\mathbb{R} \,</math>, 0 est absorbant pour la multiplication, alors que l'addition ne présente pas d'élément absorbant. :Tout élément ''absorbant'', même unilatère, est ''idempotent''. * un élément <math> s \,</math> est dit '''[[nilpotent]]''' s’il existe un ''élément absorbant'' <math> a \,</math> et si : &nbsp; <math> s * s = a \,</math>; :L’élément ''absorbant'' est nécessairement ''nilpotent''... ==== Centre d'une structure ==== * un élément <math> c \,</math> est dit '''[[commutatif]]''' ou '''central''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> \forall\ x \in E ,\ x * c = c * x \,</math> :En d'autres termes, un élément est central si son composé par tout élément se confond avec le réciproque de ce composé. :Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs. :On appelle '''[[Centre (algèbre)|centre]]''' de ''E'', et on note ''Z ( E )'', l’ensemble des éléments ''commutatifs'' de ''E''. ==== Réguliers et dérivés ==== * un élément <math> s \,</math> est dit '''régulier à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = s * y ) \Rightarrow ( x = y ) \,</math> * un élément <math> s \,</math> est dit '''régulier à droite''' ou '''simplifiable à droite''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x * s = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,</math> * un élément <math> s \,</math> est dit '''[[Elément régulier|régulier]]''' ou '''simplifiable''' lorsqu’il est ''régulier'' ''à droite'' et ''à gauche''; * un élément <math> s \,</math> est dit '''antirégulier''' ou '''cosimplifiable''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,</math> * un élément <math> s \,</math> est dit '''irrégulier à gauche''' ou '''non-simplifiable à gauche''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s * x = s * y ) \,</math> * un élément <math> s \,</math> est dit '''irrégulier à droite''' ou '''non-simplifiable à droite''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x * s = y * s ) \,</math> * un élément <math> s \,</math> est dit '''irrégulier''' ou '''non-simplifiable''' lorsqu’il est ''irrégulier'' &nbsp; ''à droite'' '''ou''' ''à gauche''; * un élément <math> s \,</math> est dit '''diviseur de zéro à gauche''' [[Équivalence logique|ssi]] il existe un ''élément absorbant'' <math> a \,</math>, différent de <math> s \,</math>, et si : <math> \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s * r = a ) \,</math>; :Un ''diviseur de zéro à gauche'' est ''irrégulier à gauche''; * un élément <math> s \,</math> est dit '''diviseur de zéro à droite''' [[Équivalence logique|ssi]] il existe un ''élément absorbant'' <math> a \,</math>, différent de <math> s \,</math>, et si : <math> \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r * s = a ) \,</math>; :Un ''diviseur de zéro à droite'' est ''irrégulier à droite''; ==== Paires d'éléments ==== Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières : * deux éléments <math> r \,</math> et <math> s \,</math> seront dits '''permutables''' ou '''commutants''' [[Équivalence logique|ssi]] : &nbsp; <math> r * s = s * r \,</math> : ou, en d'autres termes, si leur composé se confond avec son réciproque. * deux éléments ''permutables'' <math> r \,</math> et <math> s \,</math> seront dits '''[[élément symétrique|symétriques]]''' ou '''[[élément inversible|inversibles]]''' : :- s’il existe un élément ''neutre'' <math> e \,</math>, :- et si : &nbsp; <math> r * s = e \,</math>; * deux éléments ''permutables'' <math> r \,</math> et <math> s \,</math> seront dits '''[[diviseurs de zéro]]''' ou '''désintégrants''' : :- s’il existe un élément ''absorbant'' <math> a \,</math>, :- si aucun des deux éléments n’est égal à <math> a \,</math>, :- et si : &nbsp; <math> r * s = a \,</math>; :Les ''diviseurs de zéro'' sont ''irréguliers''. Les éléments ''nilpotents'' autres que l’élément ''absorbant'' sont des ''diviseurs de zéro''. Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est ''neutre'' pour l’addition, ''absorbant'' pour la multiplication, et ''neutre à droite'' pour la soustraction. == Propriétés == Certaines propriétés des lois de composition interne, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( ''E'', <math>*\,</math> ); la loi <math>*\,</math> peut y présenter les propriétés suivantes : === Existence d’éléments remarquables === * <math>*\,</math> est dite '''unifère à gauche''' s’il existe un élément ''neutre à gauche'' <math> e \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ e * x = x \,</math> :Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite; * <math>*\,</math> est dite '''unifère à droite''' s’il existe un élément ''neutre à droite'' <math> e \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * e = x \,</math> :Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche; * <math>*\,</math> est dite '''unifère''' (parfois '''unitaire''') s’il existe un élément ''neutre'' <math> e \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * e = e * x = x \,</math> :Une loi est ''unifère'' si et seulement si elle est ''unifère à gauche'' et ''unifère à droite''; :L’élément neutre d’une loi ''unifère'' est unique; * <math>*\,</math> est dite '''absorbante à gauche''' s’il existe un élément ''absorbant à gauche'' <math> a \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ a * x = a \,</math> :Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite; * <math>*\,</math> est dite '''absorbante à droite''' s’il existe un élément ''absorbant à droite'' <math> a \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * a = a \,</math> :Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche; * <math>*\,</math> est dite '''[[élément absorbant|absorbante]]''' s’il existe un élément ''absorbant'' <math> a \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * a = a * x = a \,</math> :Une loi est ''absorbante'' si et seulement si elle est ''absorbante à gauche'' et ''absorbante à droite''; :L’élément absorbant d’une loi ''absorbante'' est unique; * <math>*\,</math> est dite '''[[dévolution (algèbre)|dévolutive]]''' s’il existe un élément ''dévolutif'' <math> d \,</math>, c’est-à-dire si : :<math> \exists\ d \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * x = d \,</math> :L’élément dévolutif d’une loi ''dévolutive'' est unique; * <math>*\,</math> est dite '''[[involution|involutive à gauche]]''' si elle est ''unifère à gauche'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''involutifs'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( e\ *\ x = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,</math> :Une loi est ''involutive à gauche'' si et seulement si elle est ''unifère à gauche'' et ''dévolutive'', et l’élément ''neutre à gauche'' est l’élément ''dévolutif''. * <math>*\,</math> est dite '''[[involution|involutive à droite]]''' si elle est ''unifère à droite'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''involutifs'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ e = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,</math> :Une loi est ''involutive à droite'' si et seulement si elle est ''unifère à droite'' et ''dévolutive'', et l’élément ''neutre à droite'' est l’élément ''dévolutif''. * <math>*\,</math> est dite '''[[involution|involutive]]''' si elle est ''unifère'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''involutifs'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ e = e\ *\ x = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,</math> :Une loi est ''involutive'' si et seulement si elle est ''unifère'' et ''dévolutive'', et l’élément ''neutre'' est l’élément ''dévolutif''. * <math>*\,</math> est dite '''[[nilpotent|nilpotente à gauche]]''' si elle est ''absorbante à gauche'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''nilpotents'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( a\ *\ x = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,</math> :Une loi est ''nilpotente à gauche'' si et seulement si elle est ''absorbante à gauche'' et ''dévolutive'', et l’élément ''absorbant à gauche'' est l’élément ''dévolutif''. * <math>*\,</math> est dite '''[[nilpotent|nilpotente à droite]]''' si elle est ''absorbante à droite'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''nilpotents'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,</math> :Une loi est ''nilpotente à droite'' si et seulement si elle est ''absorbante à droite'' et ''dévolutive'', et l’élément ''absorbant à droite'' est l’élément ''dévolutif''. * <math>*\,</math> est dite '''[[nilpotent|nilpotente]]''' si elle est ''absorbante'' et si tous les éléments de ''E'' sont ''nilpotents'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,</math> :Une loi est ''nilpotente'' si et seulement si elle est ''absorbante'' et ''dévolutive'', et l’élément ''absorbant'' est l’élément ''dévolutif''. === Régularité et propriétés liées === * <math>*\,</math> est dite '''régulière à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à gauche'', c'est-à-dire si : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''régulière à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à droite'', c'est-à-dire si : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''[[régularité|régulière]]''' ou '''simplifiable''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers'', c’est-à-dire si : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \or ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,</math> :Une loi est ''régulière'' si et seulement si elle est ''régulière à gauche'' et ''régulière à droite''. * <math>*\,</math> est dite '''[[antirégularité|antirégulière]]''' ou '''cosimplifiable''' si tous les éléments de ''E'' sont ''antiréguliers'', c’est-à-dire si : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''[[quasigroupe|symogène]]''' s’il existe pour chaque couple ( ''a'', ''b'' ) de ''E'' <sup> 2 </sup> une solution ( ''x'', ''y'' ) unique aux équations &nbsp; ''a'' <math>*\,</math> ''x'' = ''b'' &nbsp; et &nbsp; ''y'' <math>*\,</math> ''a'' = ''b'' &nbsp;, c’est-à-dire si : :<math> \forall\ ( a , b ) \in E^2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a * x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a * z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,</math> ::::<math> \wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y * a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z * a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,</math> :Cette propriété est plus forte que la régularité : une loi ''symogène'' est nécessairement ''régulière''. Toutefois, dans le cas d'un magma fini, symogénéité et régularité sont équivalentes. === Associativité et propriétés analogues === * <math>*\,</math> est dite '''[[associativité|associative]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y * z ) = ( x * y ) * z \,</math> : On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; on peut noter aussi que la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des correspondances,...). * <math>*\,</math> est dite '''[[alternativité|alternative]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x * ( x * y ) = ( x * x ) * y \ ] \wedge [\ ( x * y ) * y = x * ( y * y )\ ] \,</math> :Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi ''associative'' est nécessairement ''alternative''. * <math>*\,</math> est dite '''[[associativité des puissances|associative des puissances]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ x \in E ,\ x * ( x * x ) = ( x * x ) * x \,</math> :Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi ''alternative'' est nécessairement ''associative des puissances''. :Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de '''puissance''' d’un élément (d’où le nom de la propriété) : ::- la puissance ''n''-ième d’un élément ''x'', notée habituellement « ''x'' <sup> n </sup> », est égale au résultat de la composition de ''x'' selon <math>*\,</math>, (''n'' - 1) fois avec lui-même; ainsi &nbsp; ''x'' <sup> 1 </sup> = ''x'' ; &nbsp; ''x'' <sup> 2 </sup> = ''x'' <math>*\,</math> ''x'' ; &nbsp; ''x'' <sup> 3 </sup> = ''x'' <math>*\,</math> ''x'' <math>*\,</math> ''x'' ;... ::- si, de plus, la loi <math>*\,</math> présente un élément neutre ''e'', on pose alors &nbsp; ''x'' <sup> 0 </sup> = ''e'' ::- si, de plus, la loi <math>*\,</math> est inversible (voir plus bas), on pose alors &nbsp; ''x <sup> -n </sup>'' = (''x <sup> n </sup>'')<sup> -1 </sup> * <math>*\,</math> est dite '''[[permutativité|permutative]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x * y ) * ( z * t ) = ( x * z ) * ( y * t ) \,</math> :Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de ''permuter'' les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus. :Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi ''associative'' et ''commutative'' est nécessairement ''permutative''; notons toutefois qu’une loi ''associative'', mais ''non-commutative'', n’est pas nécessairement ''permutative'', et qu’une loi ''permutative'', même ''commutative'', n’est pas nécessairement ''associative''. :(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans <math>\mathbb{Z} \,</math> et la division dans <math>\mathbb{Q}^{*} \,</math>, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu,...). * <math>*\,</math> est dite '''[[quasigroupe|neutroactive]]''' [[Équivalence logique|ssi]] : :<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 , ( x * ( y * z )) * x = ( x * y ) * ( z * x ) \,</math> :Cette propriété est moins forte que l’associativité, puisqu'une loi ''associative'' est nécessairement ''neutroactive''. === Autres propriétés === * <math>*\,</math> est dite '''[[idempotent|idempotente]]''' si tous les éléments de ''E'' sont ''idempotents'', c’est-à-dire si : :<math> \forall\ x \in E ,\ x * x = x \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''[[Anneau intègre|intègre]]''' si elle est ''absorbante'' et si aucun élément de ''E'' n’est ''diviseur de zéro'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x\ *\ y = a ) \Rightarrow [\ ( x = a )\ \vee\ ( y = a ) \ ]\ ] \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''[[anticommutativité|anticommutative]]''' si elle est ''unifère'' et si l’élément neutre est le seul élément ''commutatif'', c’est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ e = e\ *\ x = x )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x\ *\ y = y\ *\ x ) \Rightarrow [\ ( x = e )\ \vee\ ( y = e ) \ ]\ ] \,</math> :Remarque : il existe une autre définition de l'anticommutativité, '''sans lien avec la précédente''' (voir à ce sujet la page de discussion liée à cet article): :<math>*\,</math> est dite '''[[anticommutativité|anticommutative]]''' si elle est ''unifère'' et si pour toute paire d'éléments de ''E'', leur composé et son réciproque sont ''symétriques'', c'est-à-dire si : :<math> \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x * e = e * x = x )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x * y ) * ( y * x ) = e \ ] \,</math> * <math>*\,</math> est dite '''[[commutativité|commutative]]''' si tous les éléments de ''E'' sont ''commutatifs'', c’est-à-dire si : :<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x * y = y * x \,</math>; :Les lois commutatives sont notées par « + », « <math>\top </math> » ou « <math>\bot </math> » plutôt que par « <math>*\,</math> ». : Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans <math>\mathbb{Z} \,</math>) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans <math>\mathbb{R}_{+}^{*} \,</math>). La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la ''distributivité''. * Une loi <math>*\,</math> peut être '''[[Distributivité|distributive]]''' par rapport à une autre loi <math>\bot </math> (par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) : :<math> \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y ) * ( z \bot t ) = [ ( x * z ) \bot ( x * t ) ]\ \bot\ [ ( y * z ) \bot (y * t ) ] \,</math> Cette propriété se décompose en deux parties : :- '''distributivité à gauche''' : ::<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y \bot z ) = ( x * y ) \bot ( x * z ) \,</math> :- '''distributivité à droite''' : ::<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y ) * z = ( x * z ) \bot ( y * z ) \,</math> Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi <math>\bot </math> est ''régulière'' et ''unifère'', alors son élément neutre est nécessairement ''absorbant'' pour la loi <math>*\,</math>. Cela explique entre autres pourquoi, dans un ''[[Corps (mathématiques)|corps]]'', l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi. ==Inversibilité== Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( ''E'', <math>*\,</math> ) dont nous supposerons la loi ''unifère'', c'est-à-dire disposant d'un élément neutre <math> e \,</math>. Il est alors possible de définir les notions suivantes: * un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si : :<math> \exists\ s' \in E /\ s' * s = e \,</math> : ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à gauche'' de ''s''; * un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à droite''' ou '''inversible à droite''' si : :<math> \exists\ s' \in E /\ s * s' = e \,</math> : ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à droite'' de ''s''; * un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable''' ou '''inversible''' lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux; : ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique'' de ''s''. : ''Note : attention à ne pas confondre le symétrique d'un composé avec son réciproque !'' * la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles à gauche''; * la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable à droite''' ou '''inversible à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles à droite''; * la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable''' ou '''inversible''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles''. Si la loi <math> * \,</math> est de plus ''associative'', il y a unicité, pour les éléments ''symétrisables à gauche'' (respectivement ''à droite''), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément ''s'' est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « ''s'' <sup> -1 </sup> ». Exemples : * 2 n'est pas symétrisable pour l'[[addition]] dans les [[entier naturel|entiers naturels]]; * 2 est symétrisable, de symétrique -2, pour l’addition dans les [[entier relatif|entiers relatifs]]; * 2 n’est pas inversible pour le [[multiplication|produit]] dans les entiers relatifs; * 2 est inversible, d’inverse <math>\frac{1}{2}</math>, pour le produit dans les [[nombre rationnel|rationnels]]. Remarque : : Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé ''opposé'', et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé ''inverse''. == Voir aussi == * [[Algèbre générale]] * [[Structure algébrique]] * [[Loi de composition]] * [[Algèbre universelle]] * [[Relation ternaire interne]] {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Structure algébrique]] [[ar:عملية ثنائية]] [[cs:Binární operace]] [[da:Binær operator]] [[de:Zweistellige Verknüpfung]] [[en:Binary operation]] [[eo:Operacio (matematiko)]] [[es:Operación binaria]] [[et:Binaarne tehe]] [[fa:عمل دوتایی]] [[fi:Binäärioperaatio]] [[gd:Obrachadh càraideach]] [[he:פעולה בינארית]] [[hr:Binarna operacija]] [[it:Operazione binaria]] [[ja:二項演算]] [[ko:이항 연산]] [[nl:Binaire operatie]] [[nn:Binær operasjon]] [[no:Binær operasjon]] [[oc:Lèi de composicion intèrna]] [[pl:Działanie dwuargumentowe]] [[pt:Operação binária]] [[ru:Бинарная операция]] [[simple:Binary operation]] [[sk:Binárna operácia]] [[sl:Dvočlena operacija]] [[sr:Бинарна операција]] [[sv:Binär operator]] [[th:การดำเนินการทวิภาค]] [[uk:Бінарна операція]] [[vi:Phép toán hai ngôi]]