Loi de probabilité 1222220 31211904 2008-07-01T23:02:24Z 82.254.18.98 /* Maximum d'entropie */ Une '''loi de probabilité''' ou ''distribution'' a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d'apparition des résultats d'un phénomène [[aléatoire]]. Dans le dernier quart du {{XXe siècle}}, on a largement étendu le concept à des domaines où il n'était plus question de fréquences, mais de représentation d'états de connaissance. Les lois de probabilité sont utilisées en [[probabilité]], et par extension en [[statistiques]], qui sont des branches des [[mathématiques]]. On associe naturellement une loi de probabilité à une [[variable aléatoire]] pour décrire la répartition des valeurs qu'elle peut prendre. Parmi l'ensemble des lois de probabilités possibles, on distingue un certain nombre de familles usuelles qui correspondent à des phénomènes aléatoires simples : lancer de dés, jeu de pile ou face, erreurs de mesures, etc. Combinées entre elles, elles permettent d'élaborer des [[Modèle mathématique|modélisation]]s de phénomènes aléatoires plus complexes. == Définitions == Une loi de probabilité se caractérise de différentes manières. Le plus souvent, on utilise la [[fonction de répartition]] pour caractériser une loi. Cela présente l'avantage d'être valable aussi bien pour les lois discrètes que continues. Mais on peut aussi caractériser une loi mixte avec une [[fonction de répartition]]. Dans le cas d'une loi continue, on utilise très souvent la [[Densité de probabilité|densité]] , alors que dans le cas discret, la donnée des probabilités élémentaires suffit à caractériser la loi en question. == Exemples de lois discrètes == Les résultats de la variable aléatoire ''X'' sont discrets, on peut définir leur probabilité :<math>\ P(X = n)</math> === Loi de Bernoulli === {{Article détaillé|Loi de Bernoulli}} * La loi de Bernoulli correspond à un lancer de pile ou face : p = succès ; q = (1-p) = échec *<math>P(X = 1) = p</math> *<math>P(X = 0) = q</math> === Loi binomiale === {{Article détaillé|Loi binomiale}} * n épreuves de Bernoulli identiques. *<math>P(X = k)=\mathrm{C}_n^k p^k(1-p)^{n-k}</math> pour tout ''k'' de 0 à ''n'', ''p'' étant un réel compris entre 0 et 1 *<math>\ E(X) = np</math> *<math>\ V(X) = np(1- p) = npq</math> où q = 1-p === Loi hypergéométrique === {{Loupe|Loi hypergéométrique}} *<math>P(X = k) = \frac{\mathrm{C}_{pA}^k\mathrm{C}_{(1-p)A}^{n-k}}{\mathrm{C}_A^n}</math> où ''A'' est un entier, ''pA''et n des entiers inférieurs à ''A'' *<math>\ E(X)=np</math> *<math>V(X) = np(1-p)\frac{A-n}{A - 1}</math> === Loi de Poisson === {{Loupe|Loi de Poisson}} *<math>P(X = k) = \frac{\lambda ^ k}{k!} \exp (-\lambda)\qquad k \in \mathbb{N},\ \lambda \in \mathbb{R}_+^* </math> *<math>\ E(X) = \lambda</math> *<math>\ V(X) = \lambda</math> === Loi géométrique === {{Loupe|Loi géométrique}} *<math>\ P(X = n)=(1-p)^{n-1}p</math> où ''p'' est un réel compris entre 0 et 1 et ''n'' un entier non nul. *<math>\ E(X) = \frac{1}{p}</math> *<math>\ V(X) = \frac{1-p}{p^2}</math> == Exemples de lois continues == Les résultats de la variable aléatoire ''X'' sont continus, on peut définir la [[densité de probabilité]] ''f<sub>X</sub>, on a alors :<math>P(a < X < b) = \int_a^b df_X(x)</math> En outre, si la densité <math>df_X</math> est continue par rapport à la [[Mesure de Lebesgue]] alors: <math>P(a < X < b) = \int_a^b f_X(x)\, dx</math> === Loi uniforme === {{Article détaillé|Loi uniforme continue}} Loi uniforme continue sur un intervalle borné [''a; b''] : *<math> f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}\ \mathrm{si}\ x \in [a;b] \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.</math> *<math>E(X) = \frac{a+b}{2}</math> *<math>V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}</math> === Loi normale === {{Article détaillé|Loi normale}} *<math>f_X (x) = \left ( 2 \pi \sigma_X^2 \right )^{-1/2} \cdot \exp \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )</math> *<math>f_X (x) = \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \cdot e^{ \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )}</math> *<math>\ E(X) = m_X </math> *<math>\ V(X) = \sigma_X^2 </math> === Loi exponentielle === {{Article détaillé|Loi exponentielle}} *<math> f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \lambda.\exp(-\lambda x)\ \mathrm{si}\ x \geq 0 \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.</math> *<math>E(X) = \frac{1}{\lambda}</math> *<math>V(X) = \frac{1}{\lambda^2}</math> === Loi logistique === {{Loupe|Loi logistique}} *<math> f_X (x) = \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}</math> *<math>E(X) = \mu\,</math> *<math>V(X) = \frac{s^2\pi^2}{3}</math> === Loi de Cauchy === {{Loupe|Loi de Cauchy}} *<math> f_X(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\,</math> La loi de Cauchy n'admet aucun moment (donc ni moyenne ni variance, entre autre). === Loi de Tukey-Lambda === La [[Loi de Tukey-Lambda]] est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles : <math>G(p) = {p^\lambda - (1-p)^\lambda\over \lambda}</math> elle a par la suite été généralisée. == Histoire == L'allure générale des lois de probabilité usuelles fut au début observée empiriquement, puis on en formalisa la définition dans le cadre de la [[théorie des probabilités]] en mathématiques. == Maximum d'entropie == Les lois de probabilité usuelles sont souvent classées par familles dépendant d'un paramètre. La [[loi normale]] par exemple est paramétrée par sa [[moyenne]] et son [[écart type]]. La plupart des familles usuelles de lois de probabilités sont celles offrant le maximum d'[[entropie]] (l'entropie est une mesure de l'information moyenne d'une source, au sens de [[Claude Shannon]], donc '''le plus d'information''') sous contraintes : *La distribution [[loi normale|normale]] par exemple est celle d'entropie maximale parmi toutes les lois possibles ayant même moyenne et même écart type. *La distribution [[loi exponentielle|exponentielle]] est celle d'entropie maximale parmi celles ayant la même moyenne *Les lois scalantes comme celle de [[Loi de Zipf|Zipf]] ou de [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]] sont d'entropie maximale parmi celles auxquelles on impose la valeur du ''logarithme d'une moyenne'', c'est-à-dire un '''ordre de grandeur'''. En quelque sorte, ces lois ne contiennent pas plus d'[[information]] que ce qui est obligatoire. Ce sont les moins '''prévenues''' de toutes les lois compatibles avec les observations ou les contraintes, et donc les seules admissibles objectivement comme distributions de '''probabilités a priori''' lorsque ces valeurs sont imposées et seules connues. Cette propriété joue un grand rôle dans les [[inférence bayésienne|méthodes bayésiennes]]. == Définition mathématique == En [[théorie des probabilités]], une loi (ou mesure) de probabilité est une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] positive <math>\mathbb{P}</math> sur un espace mesurable <math>(\Omega, \mathcal{A})</math>, telle que <math>\mathbb{P}(\Omega) = 1</math>. Le triplet <math>(\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P})</math> est appelé ''espace probabilisé''. ===Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle=== Soit une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé <math>(\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P})</math>, c'est-à-dire une [[fonction mesurable]] <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> (l'ensemble <math>\mathbb{R}</math> étant muni de sa [[tribu borélienne]] <math>\mathcal{B}_{\mathbb{R}}</math>). On appelle loi (de probabilité) de la variable aléatoire ''X'' la mesure image de <math>\mathbb{P}</math> par ''X''. C'est la mesure de probabilité <math>\mathbb{P}_X</math> sur l'espace mesurable <math>(\mathbb{R},\, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})</math> définie par : :<math>\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right)</math> pour tout borélien ''B'' de <math>\mathbb{R}</math>. Lorsque le support de cette mesure est un ensemble fini ou dénombrable, par exemple <math>\mathbb{N}</math>, on parle de '''loi discrète''', tandis que lorsque la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur <math>\mathbb{R}</math>, on parle de '''loi continue'''. == Exemples de distribution == *[[loi normale|Distribution de Gauss]] *[[Loi de Poisson|Distribution de Poisson]] *[[Distribution de Lévy]] *[[Distribution de Dirac]] *[[Distribution de Gumbel]] *[[Statistique de Maxwell-Boltzmann|Distribution de Boltzmann]] *[[Statistique de Bose-Einstein|Distribution de Bose-Einstein]] *[[Distribution de Weibull]] == Voir aussi == * [[Variable aléatoire]] * [[Distribution (analyse mathématique)]] * [[Mesures secondaires]] * [[Densité de probabilité]] {{Portail|probabilités et statistiques|mathématiques}} [[Catégorie:Loi de probabilité|*]] [[Catégorie:Statistiques]] [[Catégorie:Probabilités]] [[ar:توزيع احتمالي]] [[de:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[en:Probability distribution]] [[eo:Probabla distribuo]] [[es:Distribución de probabilidad]] [[gl:Distribución de probabilidade]] [[he:התפלגות]] [[it:Variabile casuale]] [[ja:確率分布]] [[lt:Skirstinys]] [[nl:Kansverdeling]] [[pl:Rozkład zmiennej losowej]] [[ru:Распределение вероятностей]] [[su:Sebaran probabilitas]] [[sv:Sannolikhetsfördelning]] [[vi:Phân bố xác suất]] [[zh:概率分布]]