Loi normale 98036 31806403 2008-07-22T23:49:49Z Oliv9053 428475 Ajout de la divergence de Kullback Leibler pour deux lois normales unidimensionelles {{Distribution_Statistiques| name = Distribution gaussienne| type =density| pdf_image =[[Image:Normal distribution pdf.png|325px|Densité]]<br /><small>La courbe verte représente la fonction φ</small>| cdf_image =[[Image:Normal distribution cdf.png|325px|Fonction de masse pour les distributions correspondantes]]<br />| parameters =<math>\mu</math> [[moyenne]] ([[nombre réel]])<br/><math>\sigma^2>0</math> variance (nombre réel)| support =<math>x \in\, ]-\infty;+\infty[\!</math>| pdf =<math>\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!</math>| cdf =<math>\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!</math>| mean =<math>\mu</math>| median =<math>\mu</math>| mode =<math>\mu</math>| variance =<math>\sigma^2</math>| skewness = 0| kurtosis = 3 (0 si normalisé)| entropy =<math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!</math>| mgf =<math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)</math>| char =<math>\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>| }} En [[probabilité]], une [[variable aléatoire]] suit une '''loi normale''' (ou '''loi normale gaussienne''', '''loi de Laplace-Gauss''') d'[[Espérance mathématique|espérance]] ''μ'' et d'[[écart type]] <math>\sigma</math> (donc de [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]] <math>\sigma^2</math>) si elle admet une [[densité de probabilité]] ''f'' telle que : :<math>f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math> Une telle variable aléatoire est dite '''variable gaussienne'''. Elle est notée <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2) </math><ref>on a aussi utilisé <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma)</math>, mais cette dernière tend à céder la place à l'autre, d'autant plus qu'elle n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-)normale sur <math>\ \R^n</math></ref> La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien [[Abraham de Moivre]] en 1733 et utilisée par lui afin d'approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre ''n'' très grand. Cette loi a été mise en évidence par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] au XIX{{e}} siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite '''courbe en cloche''' ou [[courbe de Gauss]]. == La loi normale centrée réduite == La fonction <math>\varphi : \R \to \R^+</math> définie par : : <math>\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}</math> est une [[densité de probabilité]] : elle est continue, et son intégrale sur <math>\ \R</math> est égale à 1. On sait en effet que <math>\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\ dt = \sqrt{2\, \pi}</math> ([[intégrale de Gauss]]). On démontre (voir plus bas) que la [[loi de probabilité|loi]] définie par cette densité de probabilité admet une espérance nulle et une variance égale à 1. '''Remarques''' : *la densité <math>\varphi</math> est paire ; *elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout <math>\ t \in \R</math>, l'identité <math>\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)</math>. === Définition === On appelle loi normale (ou gaussienne) '''centrée réduite''' la loi définie par la densité de probabilité <math>\varphi</math>. La représentation graphique de cette densité est une courbe en cloche (ou [[courbe de Gauss]]). [[Image:Gauss_reduite.png]] === Moments === Les [[Variable aléatoire#Formules de détermination récursive des moments|moments]] de cette loi existent tous. Pour tout <math>\ n \in \mathbb{N}</math>, le moment d'ordre ''n'' par rapport à l'origine est : :<math>\ m_n = \int_{-\infty}^{+\infty} t^n\, \varphi(t)\, dt</math>. *En raison de la parité de l'intégrande, tous les moments d'ordre impair sont nuls : :<math>m_{2\, k+1} = 0</math> *Supposons à présent ''n'' pair : <math>\ n = 2\, k</math>, où <math>\ k \in \mathbb{N}</math>. :Si <math>\ k \geq 1</math>, une intégration par parties (non détaillée ici) donne : :<math>m_{2\, k} = \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 1}\, t\, \varphi(t)\, dt =-\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 1}\, \varphi'(t)\, dt = (2\, k - 1) \int_{-\infty}^{+\infty} t^{2\, k - 2}\, \varphi(t)\, dt</math> :ce qui fournit la relation de récurrence : :<math>m_{2\, k} = (2\, k - 1)\, m_{2\, k - 2}</math> . :De cette relation, on déduit, comme <math>\ m_0 = 1\,</math>, que : :<math>m_{2\, k} = 1 \cdot 3 \cdots (2\, k - 1) = \frac{(2\, k)\, !}{2^k\, k\,!}</math> * En particulier, <math>\ m_1 = 0</math> (l'espérance est nulle : la loi est donc dite <i>centrée</i>) et <math>\ m_2 = 1\,</math> (la variance vaut <math>\ \ m_2 - m_1^2 = 1\,\!</math> : la loi est donc dite <i>réduite</i>). :Ceci justifie l'appellation de loi normale ''centrée réduite''. * Des formules précédentes, on déduit encore : :<math>m_3 = 0\,</math> &nbsp;et &nbsp;<math>m_4 = 3\,</math> * La loi étant réduite, les [[Variable aléatoire#Formules de détermination récursive des moments|moments centrés]] sont tous égaux aux moments par rapport à l'origine de même rang ; en particulier : :<math>\mu_2 = \sigma^2 = 1\,</math>, &nbsp;<math>\mu_3 = 0\,</math> et <math>\mu_4 = 3 \sigma^4 \,</math>.<br> :On en déduit l'[[Asymétrie (skewness)|asymétrie]] (<i>skewness</i>) : <math>\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = 0\,</math> et l'[[Kurtosis|aplatissement ]] (<i>kurtosis</i>) : <math>\beta_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = 3\,</math>. === Fonction de répartition === {{loupe|fonction d'erreur}} On note <math>\Phi</math> la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Elle est définie, pour tout réel ''x'', par : <math>\ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\, dt = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, dt </math>. C'est la primitive de <math>\varphi</math> qui tend vers 0 en <math>-\infty</math> ; elle ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.) mais devient elle-même une fonction usuelle, importante, pour quiconque pratique le calcul des probabilités ou les statistiques ; elle s'exprime à l'aide de la '''fonction d'erreur'''. Citons les propriétés suivantes de la fonction <math>\Phi</math> : *Elle est indéfiniment dérivable, et <math>\Phi' = \varphi</math> *Elle est [[fonction monotone|strictement croissante]], tend vers 0 en <math>-\infty</math> et vers 1 en <math>+\infty</math> :(c'est donc une bijection <math>\R \to\, ]0,\, 1[\,</math> : pour tout <math>p \in\, ]0,\, 1[\,</math>, il existe <math> x \in \R</math> unique, noté <math>\ \Phi^{-1}(p)</math>, tel que <math>\ \Phi(x) = p</math>) *Pour tout <math> x \in \R, \Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> (ceci résulte de ce que la densité est paire) ; en particulier, <math>\ \Phi(0) = 0,5</math> '''Remarque''' : les notations <math>\varphi</math> et <math>\ \Phi</math> pour désigner « la » densité et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite sont usuelles. ==== Approximation de la fonction de répartition ==== Il n'existe pas d'expression pour <math>\Phi</math> mais on peut exploiter avec profit son aspect régulier pour en donner une approximation grâce à un développement en [[série de Taylor]]. Par exemple, voici une approximation (à l'ordre 5) autour de 0: <math>\Phi(x) \approx \frac{1}{2} + 0,3989423 \left[x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{40}\right]</math>. Cette approximation est performante pour <math>|x|<2</math>. ==== Tables numériques ==== Il existe des tables de la fonction de répartition, donnant des valeurs approchées de <math>\ \Phi(x)</math> ; on se limite à des <math>x</math> positifs ou nuls : en effet, si par exemple on connaît l'approximation <math>\Phi(0,5) \simeq 0,6915</math>, on en déduit <math>\Phi(-0,5) \simeq 1 - 0,6915 = 0,3085</math>. Au lieu des précédentes, on utilise souvent des tables de la fonction qu'on notera ici <math>\ \Phi_0</math>, définie sur <math>\ \R^+</math> par : :<math>\Phi_0(x) =\int_0^x \varphi(t)\, dt</math> La table suivante donne pour tout ''x'' de 0 jusqu'à 3,6 par pas de 0,01, la valeur de 10<sup>5</sup> <math>\Phi(x)</math>. Ces valeurs sont arrondies à l'unité la plus proche. L'entrée en ligne donne les deux premiers chiffres de <math>x</math>, c'est-à-dire le chiffre des unités et celui des dixièmes, et l'entrée en colonne le chiffre des centièmes. Par exemple : <math>\Phi(1,73)=0,95818</math>. {| class="wikitable" style="text-align:center" | !| 0,00 !| 0,01 !| 0,02 !| 0,03 !| 0,04 !| 0,05 !| 0,06 !| 0,07 !| 0,08 !| 0,09 |---- !| 0,0 |50000 |50399 |50798 |51197 |51595 |51994 |52392 |52790 |53188 |53586 |---- !| 0,1 |53983 |54380 |54776 |55172 |55567 |55962 |56356 |56749 |57142 |57535 |---- !| 0,2 |57926 |58317 |58706 |59095 |59483 |59871 |60257 |60642 |61026 |61409 |---- !| 0,3 |61791 |62172 |62552 |62930 |63307 |63683 |64058 |64431 |64803 |65173 |---- !| 0,4 |65542 |65910 |66276 |66640 |67003 |67364 |67724 |68082 |68439 |68793 |---- !| 0,5 |69146 |69497 |69847 |70194 |70540 |70884 |71226 |71566 |71904 |72240 |---- !| 0,6 |72575 |72907 |73237 |73565 |73891 |74215 |74537 |74857 |75175 |75490 |---- !| 0,7 |75804 |76115 |76424 |76730 |77035 |77337 |77637 |77935 |78230 |78524 |---- !| 0,8 |78814 |79103 |79389 |79673 |79955 |80234 |80511 |80785 |81057 |81327 |---- !| 0,9 |81594 |81859 |82121 |82381 |82639 |82894 |83147 |83398 |83646 |83891 |---- !| 1,0 |84134 |84375 |84614 |84849 |85083 |85314 |85543 |85769 |85993 |86214 |---- !| 1,1 |86433 |86650 |86864 |87076 |87286 |87493 |87698 |87900 |88100 |88298 |---- !| 1,2 |88493 |88686 |88877 |89065 |89251 |89435 |89617 |89796 |89973 |90147 |---- !| 1,3 |90320 |90490 |90658 |90824 |90988 |91149 |91309 |91466 |91621 |91774 |---- !| 1,4 |91924 |92073 |92220 |92364 |92507 |92647 |92785 |92922 |93056 |93189 |---- !| 1,5 |93319 |93448 |93574 |93699 |93822 |93943 |94062 |94179 |94295 |94408 |---- !| 1,6 |94520 |94630 |94738 |94845 |94950 |95053 |95154 |95254 |95352 |95449 |---- !| 1,7 |95543 |95637 |95728 |95818 |95907 |95994 |96080 |96164 |96246 |96327 |---- !| 1,8 |96407 |96485 |96562 |96638 |96712 |96784 |96856 |96926 |96995 |97062 |---- !| 1,9 |97128 |97193 |97257 |97320 |97381 |97441 |97500 |97558 |97615 |97670 |---- !| 2,0 |97725 |97778 |97831 |97882 |97932 |97982 |98030 |98077 |98124 |98169 |---- !| 2,1 |98214 |98257 |98300 |98341 |98382 |98422 |98461 |98500 |98537 |98574 |---- !| 2,2 |98610 |98645 |98679 |98713 |98745 |98778 |98809 |98840 |98870 |98899 |---- !| 2,3 |98928 |98956 |98983 |99010 |99036 |99061 |99086 |99111 |99134 |99158 |---- !| 2,4 |99180 |99202 |99224 |99245 |99266 |99286 |99305 |99324 |99343 |99361 |---- !| 2,5 |99379 |99396 |99413 |99430 |99446 |99461 |99477 |99492 |99506 |99520 |---- !| 2,6 |99534 |99547 |99560 |99573 |99585 |99598 |99609 |99621 |99632 |99643 |---- !| 2,7 |99653 |99664 |99674 |99683 |99693 |99702 |99711 |99720 |99728 |99736 |---- !| 2,8 |99744 |99752 |99760 |99767 |99774 |99781 |99788 |99795 |99801 |99807 |---- !| 2,9 |99813 |99819 |99825 |99831 |99836 |99841 |99846 |99851 |99856 |99861 |---- !| 3,0 |99865 |99869 |99874 |99878 |99882 |99886 |99889 |99893 |99896 |99900 |---- !| 3,1 |99903 |99906 |99910 |99913 |99916 |99918 |99921 |99924 |99926 |99929 |---- !| 3,2 |99931 |99934 |99936 |99938 |99940 |99942 |99944 |99946 |99948 |99950 |---- !| 3,3 |99952 |99953 |99955 |99957 |99958 |99960 |99961 |99962 |99964 |99965 |---- !| 3,4 |99966 |99968 |99969 |99970 |99971 |99972 |99973 |99974 |99975 |99976 |---- !| 3,5 |99977 |99978 |99978 |99979 |99980 |99981 |99981 |99982 |99983 |99983 |---- !| 3,6 |99984 |99985 |99985 |99986 |99986 |99987 |99987 |99988 |99988 |99989 |} On dispose des relations simples suivantes entre <math>\ \Phi</math> et <math>\ \Phi_0</math> (découlant de la formule de Chasles pour les intégrales) : * si <math>\ x \geq 0</math>, alors <math>\ \Phi(x) = 0,5 + \Phi_0(x)</math> * si <math>\ x < 0</math>, alors <math>\ \Phi(x) = 0,5 - \Phi_0(-x)</math> Soit ''T'' une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite : *pour tout <math>\ x \in \R,\, P(T \leq x) = \Phi(x)</math> et pour tout <math>\ x \in \R^+,\, P(0 \leq T \leq x) = \Phi_0(x)</math> * pour tout couple <math>\ x_1,\, x_2</math> de réels tels que <math>\ x_1 \leq x_2</math>, <math>\ P(x_1 \leq T \leq x_2) = \Phi(x_2)- \Phi(x_1)</math>. ===== Exemples numériques ===== À l'aide de la table ci-dessus, on obtient, pour la variable aléatoire précédente : *<math>\ P(0 \leq T \leq 1,7) = \Phi_0(1,7) \simeq 0,4554</math> *<math>\ P(T \leq 1,7) = \Phi(1,7) = 0,5 + \Phi_0(1,7) \simeq 0,9554</math> *<math>\ P(-0,3 \leq T \leq 1,7) = \Phi(1,7)- \Phi(-0,3) = 0,5 + \Phi_0(1,7) - 0,5 + \Phi_0(0,3) \simeq 0,5733 </math> == La loi normale générale == Soient <math>\ T</math> une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, et deux réels <math>\mu,\, \sigma</math>, où <math>\ \sigma > 0</math>. On définit la variable aléatoire <math>X = \sigma\, T + \mu</math>, dont on note <math>\ F</math> la fonction de répartition. On a <math>\mathrm{E}(X) = \sigma\, \mathrm{E}(T) + \mu = \mu</math> et <math>\mathrm{V}(X) = \sigma^2\, \mathrm{V}(T) = \sigma^2</math> puisque <math>\ \mathrm{E}(T) = 0</math> et <math>\ \mathrm{V}(T) = 1</math>. Cherchons la loi de <math>\ X</math> : pour tout <math>x \in \R</math>, :<math>F(x) = P(X \leq x) = P(\sigma\, T + \mu \leq x) = P\left(T \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)</math>, :puisque la fonction de répartition de <math>\ T</math> est <math>\ \Phi</math>. Ainsi, <math>\ F</math> est continûment (et même indéfiniment) dérivable : <math>\ X</math> suit une loi à densité, et la dérivée <math>\ f</math> de <math>\ F</math> est une densité de probabilité de cette variable aléatoire ; pour tout <math>x \in \R</math>, : <math>f(x) = F'(x) = \frac{1}{\sigma}\, \Phi' \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma}\, \varphi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\,\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>. Ceci légitime la définition suivante : === Définition === On appelle '''loi normale''' (ou '''gaussienne''', ou de Laplace-Gauss) de paramètres <math>\ \mu,\, \sigma^2</math> (où <math>\ \sigma > 0</math>) la loi de probabilité définie par la densité <math>\ f : \R \to \R^+</math>, telle que pour tout <math>x \in \R</math> : :<math>f(x) = \frac{1}{\sigma}\, \varphi \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\,\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>. '''Notation''': cette loi est notée <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math> (on a aussi utilisé <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma)</math>, mais cette dernière tend à céder la place à l'autre, d'autant plus qu'elle n'est pas cohérente avec la notation habituelle de la loi (multi-)normale sur <math>\ \R^n</math>). La loi normale centrée réduite est <math>\mathcal{N}(0,\, 1)</math>. On peut énoncer plusieurs propriétés, compte tenu de ce qui précède (le dernier point se démontrant de manière analogue). === Propriétés === Soit une [[variable aléatoire]] <math>\ X</math> qui suit la loi normale <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math>. Alors : *son [[Espérance mathématique|espérance]] et sa [[variance]] existent et <math>\ \mathrm{E}(X) = \mu</math>, <math>\ \mathrm{V}(X) = \sigma^2 > 0</math> *sa fonction de répartition <math>\ F</math> est telle que pour tout <math>x \in \R</math>, :<math>F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)</math> *la variable aléatoire <math>X^\star = \frac{X - \mathrm{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{V}(X)}}</math>, c'est-à-dire <math>X^\star = \frac{X - \mu}{\sigma}</math>, suit la loi normale centrée réduite *si <math>\ \alpha,\, \beta</math> sont deux réels (<math>\ \alpha \neq 0</math>), alors la variable aléatoire <math>\ \alpha\, X + \beta</math> suit la loi normale <math>\mathcal{N}(\alpha\, \mu + \beta,\, \alpha^2\, \sigma^2)</math> Soit une [[variable aléatoire]] <math>\ X</math> qui suit la loi normale <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math>. Alors la variable aléatoire <math> \exp(X) </math> (de loi dite log-normale) possède les propriétés suivantes: * son [[Espérance mathématique|espérance]] existe et vaut <math>\ \mathrm{E}[\exp(X)] = \exp\left( \mathrm{E}(X) + \frac{\mathrm{V}(X)}{2}\right) = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right) </math> * sa [[variance]] existe et vaut <math>\ \mathrm{V}[\exp(X)] = \exp( 2 \mathrm{E}(X) + \mathrm{V}(X)) \left[\exp( \mathrm{V}(X)) - 1\right] = \exp( 2 \mu + \sigma^2) (\exp(\sigma^2) - 1) </math> Soit une [[variable aléatoire]] <math>\ X</math> suivant une loi normale <math>\mathcal{N}(\mu_X,\, \sigma_X^2)</math> et <math>\ Y</math> suivant une loi normale <math>\mathcal{N}(\mu_Y,\, \sigma_Y^2)</math>. Alors, la [[divergence de Kullback-Leibler]] entre ces deux distributions est de la forme : * <math>D_{KL}(X\|Y) = \frac{1}{2} \left( \log \left( \frac{\sigma_Y^2}{\sigma_X^2} \right) + \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2} + \frac{(\mu_Y - \mu_X)^2}{\sigma_Y^2} - 1 \right) </math> === Largeur à mi-hauteur === Lorsque l'on travaille sur une représentation graphique, on estime fréquemment la largeur de la gaussienne par sa [[largeur à mi-hauteur]] ''H'' (en anglais ''full width at half maximum'', [[FWHM]]), qui est la largeur de la courbe à une altitude qui vaut la moitié de l'altitude du sommet. La largeur à mi-hauteur est proportionnelle à l'écart type : : <math>H = 2 \sqrt{2\ \ln(2)}\ \sigma \simeq 2,3548 \sigma </math> Le facteur 2 sert à prendre en compte l'extension de la gaussienne dans les valeurs négatives. === Calcul de P(a ≤ X ≤ b) === Les résultats précédents permettent de ramener tout calcul de probabilité relatif à la loi normale <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math> à un calcul de probabilité relatif à la loi normale centrée réduite. On a vu qu'on dispose de tables donnant des approximations de valeurs de la fonction <math>\ \Phi</math>, tables qu'on utilise encore fréquemment, même si certaines [[calculatrice]]s ou certains [[tableur]]s peuvent maintenant les remplacer. Si la variable aléatoire <math>\ X</math> suit la loi normale <math>\mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math>, et si <math>\ a,\, b</math> sont deux réels tels que <math>\ a \leq b</math>, on a : :<math>\ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)</math> ==== Cas d'un intervalle centré à la moyenne, plages de normalité ==== * Si ''t'' est un réel positif, :<math>\ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \Phi(t) - \Phi(-t) = \Phi(t) - (1 - \Phi(t)) = 2\, \Phi(t) - 1</math> * lorsque <math>\ P(\mu - t\, \sigma \leq X \leq \mu + t\, \sigma) = \alpha</math>, où <math>\ \alpha \in\, ]0,\, 1[</math>, :ce qui équivaut à <math>\ 2\, \Phi(t) - 1 = \alpha</math>, ou <math>\ \Phi(t) = \frac{\alpha + 1}{2}</math>, :l'intervalle <math>\ [\mu - t\, \sigma,\, \mu + t\, \sigma] = [\mathrm{E}(X) - t\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + t\, \sigma] </math> est appelé '''plage de normalité''' au niveau de confiance <math>\alpha</math> :(si par exemple, <math>\alpha = 0, 95</math>, on dit : "plage de normalité au niveau de confiance 95%" : en statistique, c'est un intervalle dans lequel se trouve 95% de la population lorsque la distribution est gaussienne). ==== Exemples numériques ==== Grâce à la table précédente, on obtient : * <math>\ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,6826</math> ; :l'intervalle <math>[\mathrm{E}(X) - \sigma,\, \mathrm{E}(X) + \sigma] </math> est la plage de normalité au niveau de confiance 68 % * <math>\ P(\mu - 0,5H \leq X \leq \mu + 0,5H) \simeq 0,76..</math> ; :l'intervalle <math>[\mathrm{E}(X) - 0,5H,\, \mathrm{E}(X) + 0,5H] </math> (''H'' étant la largeur à mi-hauteur) est la plage de normalité au niveau de confiance 76 % * <math>\ P(\mu - 2\, \sigma \leq X \leq \mu + 2\, \sigma) \simeq 0,9544</math> ; : l'intervalle <math>[\mathrm{E}(X) - 2\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + 2\, \sigma] </math> est la plage de normalité au niveau de confiance 95 % * <math>\ P(\mu - 3\, \sigma \leq X \leq \mu + 3\, \sigma) \simeq 0,9974</math> ; : l'intervalle <math>[\mathrm{E}(X) - 3\, \sigma,\, \mathrm{E}(X) + 3\, \sigma] </math> est la plage de normalité au niveau de confiance 99 % == Champ d'application == [[Image:Planche de Galton.jpg|thumb|250px|Une [[Planche de Galton|planche de Galton]] nous montre que la loi binomiale tend vers la loi normale]] Le [[Théorème de Moivre-Laplace]] affirme la convergence d'une [[loi binomiale]] vers une loi de Gauss quand le nombre d'épreuves augmente. On peut alors utiliser la loi normale comme approximation d'une loi binomiale de paramètres (''n'' ; ''p'') pour ''n'' grand et ''p'', 1 - ''p'' de même ordre de grandeur ; on approche alors cette loi binomiale par la loi normale ayant même espérance <math>np</math> et même variance <math>np(1-p)</math>. On a dessiné ci-dessous : *la loi binomiale de paramètres <math>(12 ; 1/3)</math> (diagramme en bâtons rouge) et la loi normale correspondante d'espérance 4 et de variance <math>8/3</math> (courbe verte) <center>[[Image:Bernoulli12.png]]</center> *la loi binomiale de paramètres <math>(60 ; 1/3)</math> (diagramme en bâtons rouge) , et la loi normale correspondante d'espérance 20 et de variance <math>40/3</math> (courbe verte) <center>[[Image:Bernoulli60.png]]</center> Le mathématicien [[Carl Friedrich Gauss]] a introduit cette loi pour le calcul d'erreurs. En [[statistiques]], de nombreux phénomènes suivent des distributions gaussiennes : données biométriques des individus ([[Adolphe Quételet]]). == Critères et tests de normalité == ===Critères de normalité=== Le recours à une distribution gaussienne est si fréquent qu'il peut finir par être abusif. Il faut alors rechercher des critères de normalité. Le premier critère, le plus simple, consiste à tracer l'histogramme ou le diagramme en bâtons de la distribution et à vérifier si le '''diagramme est en forme de « cloche »'''. Ce critère, subjectif, permet cependant d'éliminer une partie des distributions jugées alors non gaussiennes. Le critère suivant consiste à utiliser les plages de normalité ou intervalles de confiance. On a vu que si une distribution est gaussienne : * 68% de la population est dans l'intervalle <math>[\overline{x} -\sigma\, ;\, \overline{x}+\sigma]</math>, * 76% de la population est dans l'intervalle <math>[\overline{x} -0,5H\, ;\, \overline{x}+0,5H]</math>, * 95% de la population est dans l'intervalle <math>[\overline{x} -2\, \sigma\, ;\, \overline{x} + 2\, \sigma]</math>, * 99% de la population est dans l'intervalle <math>[\overline{x} - 3\, \sigma\, ;\, \overline{x} + 3\, \sigma]</math>. Lorsque ces pourcentages ne sont pas respectés, il est fort à parier que la distribution n'est pas gaussienne. On peut aussi utiliser la [[droite de Henry]], en particulier quand on possède peu de renseignements sur la distribution. La droite de Henry va permettre de porter un diagnostic sur la nature non gaussienne de la distribution, et, dans le cas où celle-ci a des chances d'être gaussienne, elle permet d'en déterminer la moyenne et l'écart type. ===Tests de normalité=== Il existe également un grand nombre de {{Lien|tests de normalité|en|trad=Normality test}}: *Tests basés sur la {{Lien|fonction de répartition empirique|en|trad=Empirical distribution function}}: [[Test de Kolmogorov-Smirnov]] et son adaptation le {{Lien|test de Lilliefors|en|trad=Lilliefors test}}, ou le {{Lien|test de Anderson-Darling|en|trad=Anderson-Darling test}} *Tests basés sur les [[Moment (mathématiques)|moments]], comme le [[Test de Jarque Bera]] ou {{Lien|test D'Agostino's K-squared|en|trad=D'Agostino's K-squared test}} * [[Test du χ²#Test du χ² d'adéquation|Test d'adéquation du χ²]] * ou encore le {{Lien|test de Shapiro-Wilk|en|trad=Shapiro-Wilk test}} == Stabilité de la loi normale par la somme == La somme de deux variables gaussiennes '''indépendantes''' est elle-même une variable gaussienne. Plus explicitement : Soient <math> X_1,\, X_2</math> deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois <math> \mathcal{N}(m_1,\, \sigma_1^2)</math> et <math> \mathcal{N}(m_2,\, \sigma_2^2)</math>. Alors, la variable aléatoire <math>\ X_1 + X_2</math> suit la loi normale <math> \mathcal{N}(m_1 + m_2,\, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)</math>. Cette propriété se démontre directement (par convolution), ou indirectement (au moyen des fonctions caractéristiques). === Exemple === On prend ici le gramme comme unité de masse. Si la masse du contenu d'une boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 400 et de variance 25, et si celle du contenant suit la loi normale d'espérance 60 et de variance 4, alors (avec l'hypothèse, naturelle, d'indépendance) la masse totale de la boîte de conserve suit la loi normale d'espérance 460 et de variance 29 ; son écart type est environ <math>5, 4</math> grammes. == Stabilité de la loi normale par la moyenne == == Stabilité de la loi normale par la combinaison == == Mélange de populations == Il ne faut pas confondre la somme de deux variables gaussiennes indépendantes, qui reste une variable gaussienne, et le mélange de deux populations gaussiennes, qui n'est pas une population gaussienne (voir aussi [[modèle de mixture gaussienne]]). Un mélange constitué de * 2/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 160 cm et d'écart type 15 cm, de densité ''f'' *1/3 d'individus dont la taille suit une loi normale de moyenne 130 cm et d'écart type 10 cm, de densité ''g'' suit une loi de moyenne (2/3)×160+(1/3)×130 = 150 cm, mais non gaussienne, de densité :''h'' = (2/3) ''f'' + (1/3) ''g''. Sur la représentation graphique de la densité ''h'', on peut apercevoir une double bosse : la distribution est bimodale. <center>[[Image:Double Gauss.png]]</center> == Simulation == Il est possible de simuler, par exemple par ordinateur, un tirage aléatoire dont la loi est normale. Les logiciels ou les langages de programmation possèdent en général un [[générateur de nombres pseudo-aléatoires]] ayant une distribution uniforme sur ]0,1[. On cherche donc une fonction transformant ces nombres. De manière générale, on peut prendre la fonction réciproque de la fonction de répartition : en l'occurrence, si la variable aléatoire <math>U</math> suit la loi uniforme sur ]0,1[, alors la variable aléatoire <math>\ \Phi^{-1}(U)</math> suit la loi normale centrée réduite ; cependant, cette méthode est tout à fait malcommode, faute d'expressions simples des fonctions <math>\ \Phi</math> et <math>\ \Phi^{-1}</math>. En revanche, on peut facilement utiliser la méthode décrite ci-dessous. === Cas de la loi normale à une dimension === Pour simuler la loi normale à une dimension (celle qui a été étudiée jusqu'ici), on peut utiliser la [[méthode de Box-Muller]] dont voici le principe :<br> Si <math>U_1</math> et <math>U_2</math> sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur <math>]0,1[</math>, alors on démontre assez aisément que les variables aléatoires : : <math>T_{1}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \cos (2\pi U_{2})</math> : <math>T_{2}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \sin (2\pi U_{2})</math> suivent toutes deux la loi normale centrée réduite (et sont indépendantes). Les variables aléatoires <math>X_1 = \mu + \sigma\, T_1</math> et <math>X_2 = \mu + \sigma\, T_2</math> suivent donc toutes deux la loi normale <math>\, \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)</math>, et indépendamment l'une de l'autre. ; Voir ausi * {{fr}} ''Générateur de nombres aléatoires gaussiens'', message de news:fr.sci.maths, [[27 janvier]] [[2000]] ; * {{en}} [http://www.taygeta.com/random/gaussian.html Generating Gaussian Random Numbers] === Cas de la loi multinormale === La [[loi multinormale]] ou loi normale sur <math>\R^n</math> étend la loi normale à un vecteur aléatoire <math>X = (X_1,\, X_2,\dots,\, X_n)</math> à valeurs dans <math>\R^n</math>. Elle est caractérisée par deux paramètres : un [[vecteur]] <math>m</math> de moyennes, et une [[matrice de variance-covariance]] <math>V</math> (carrée d'ordre ''n''). Pour simuler une loi multinormale non dégénérée de paramètres <math>m</math> et <math>V</math>, on utilise la méthode suivante : # Soit <math>T</math> un vecteur aléatoire à <math>n</math> composantes gaussiennes centrées réduites et indépendantes (la loi de <math>T</math>, multinormale, a pour moyenne le vecteur nul et pour matrice de variance-covariance la matrice identité). # Soit <math>L</math> la matrice résultant de la [[factorisation de Cholesky]] de la matrice <math>V</math>. # Alors, le vecteur aléatoire <math>X=m+L T</math> suit la loi multinormale de moyenne <math>m</math> et de variance-covariance <math>V</math> :(on convient dans cette dernière relation d'identifier chaque élément de <math>\R^n</math> avec la matrice colonne de ses composantes en base canonique). == Le calcul de l'intégrale de Gauss == On trouvera ce calcul (utilisant une intégrale double) dans l'article sur l'[[intégrale de Gauss]]. == Annexes == === Notes et références === <references/> === Articles connexes === * [[Loi normale multidimensionnelle]] * [[Erreur (métrologie)]] * [[Statistiques]] * [[Probabilité]] * [[Loi de probabilité]] * [[loi du χ²]] * [[Loi de Student]] {{Portail|mathématiques|probabilités et statistiques}} [[Catégorie:Loi de probabilité|Normale]] [[Catégorie:Fonctions spéciales]] [[ar:توزيع احتمالي طبيعي]] [[az:Normal paylanma]] [[ca:Distribució normal]] [[cs:Normální rozdělení]] [[cy:Dosraniad normal]] [[da:Normalfordeling]] [[de:Normalverteilung]] [[en:Normal distribution]] [[eo:Normala distribuo]] [[es:Distribución normal]] [[fa:توزیع نرمال]] [[fi:Normaalijakauma]] [[gl:Distribución normal]] [[he:התפלגות נורמלית]] [[hr:Normalna raspodjela]] [[hu:Normális eloszlás]] [[id:Distribusi normal]] [[is:Normaldreifing]] [[it:Variabile casuale normale]] [[ja:正規分布]] [[ko:정규 분포]] [[la:Distributio normalis]] [[lt:Normalusis skirstinys]] [[lv:Normālsadalījums]] [[nl:Normale verdeling]] [[no:Normalfordeling]] [[pl:Rozkład normalny]] [[pt:Distribuição normal]] [[ru:Нормальное распределение]] [[simple:Normal distribution]] [[sk:Normálne rozdelenie]] [[sl:Normalna porazdelitev]] [[sr:Нормална расподела]] [[su:Sebaran normal]] [[sv:Normalfördelning]] [[tr:Normal dağılım]] [[uk:Нормальний розподіл]] [[ur:معمول توزیع]] [[vi:Phân bố chuẩn]] [[zh:正态分布]]