<page> <title>Méthode de Bessel</title> <id>1328332</id> <revision> <id>28166115</id> <timestamp>2008-04-02T21:41:05Z</timestamp> <contributor> <username>BenjiBot</username> <id>213380</id> </contributor> <minor /> <comment>Bot : Remplacement de texte automatisé (-[[Descartes]] +[[René Descartes|Descartes]])</comment> <text xml:space="preserve">La '''méthode de Bessel''' est une méthode [[focométrie|focométrique]] de détermination expérimentale de la focale d'une [[lentille optique|lentille]] convergente. == Principe == On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F. Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la [[stigmatisme|conjugaison]] de A et A', (c’est-à -dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule: <math> f'=\frac{D^2-d^2}{4.D} </math> [[Image:BesselAnime.gif|center|600 px|thumb|Schéma animé sur la méthode de Bessel]] == Explication == === Formules de conjugaison=== Les [[formules de conjugaison]] de [[René Descartes|Descartes]] donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques. Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille : <math>\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'}</math> On suppose que A' est réelle (c’est-à -dire projetable sur un écran): <math>\overline{OA'}>0</math>. Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance <math>\overline{OA}<-f'</math>. === Formation d'une image réelle à partir d'un objet réel=== On fixe <math>D=\overline{AA'}</math>, la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose <math>x=\overline{OA}</math> et <math>y=\overline{OA'}</math>, donc <math>D=\overline{AA'}=\overline{OA'}-\overline{OA} \Rightarrow y=D+x</math>. Les [[relations de conjugaison]] se réécrivent: <math>\frac{1}{y}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{x} \Rightarrow y=\frac{f'.x}{f'+x}</math>. La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second ordre en x: <math> x^2+D.x+f'.D=0 </math> Cette équation n'a de solution réelle que si <math>\Delta = D^2-4.f^{'}.D=D.\left( D-4.f'\right)\geq 0</math> Aussi, il faut que <math> D\geq D_{min} = 4.f' </math> === Positions respectives de l'image et de l'objet=== Si <math>D> D_{min}</math>, alors <math>\Delta> 0</math>: il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer c et A'). Les solutions sont: <math>x_{\pm }=\frac{-D\pm \sqrt{D^2-4.f^{'}.D}}{2}</math>. Aussi, ces deux positions possibles de l'objet sont éloignées de <math>\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}</math>. Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A': <math>d=\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}</math>. En élevant au carré, on trouve la formule: <math> f'=\frac{D^2-d^2}{4.D} </math> === Remarque === La [[méthode de Silbermann]] apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0). == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Friedrich Wilhelm Bessel]] * [[Focométrie]] * [[lentille optique]] * [[lentille mince]] === Liens externes === * [http://fr.video.yahoo.com/video/play?vid=616786 Une vidéo explicative sur la méthode de Bessel] {{portail physique}} [[Catégorie:lentille]]</text> </revision> </page>