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    <title>Méthode de Bessel</title>
    <id>1328332</id>
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      <id>28166115</id>
      <timestamp>2008-04-02T21:41:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>BenjiBot</username>
        <id>213380</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bot : Remplacement de texte automatisé  (-[[Descartes]] +[[René Descartes|Descartes]])</comment>
      <text xml:space="preserve">La '''méthode de Bessel''' est une méthode [[focométrie|focométrique]] de détermination expérimentale de la focale d'une [[lentille optique|lentille]] convergente.

== Principe ==

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la [[stigmatisme|conjugaison]] de A et A',
(c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule:

&lt;math&gt;
f'=\frac{D^2-d^2}{4.D}
&lt;/math&gt;

[[Image:BesselAnime.gif|center|600 px|thumb|Schéma animé sur la méthode de Bessel]]

== Explication ==
=== Formules de conjugaison===

Les [[formules de conjugaison]] de [[René Descartes|Descartes]] donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

&lt;math&gt;\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'}&lt;/math&gt;

On suppose que A' est réelle (c’est-à-dire projetable sur un écran):
&lt;math&gt;\overline{OA'}&gt;0&lt;/math&gt;.

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique
à une distance &lt;math&gt;\overline{OA}&lt;-f'&lt;/math&gt;.

=== Formation d'une image réelle à partir d'un objet réel===

On fixe &lt;math&gt;D=\overline{AA'}&lt;/math&gt;, la distance entre l'objet (A) et l'écran (A')
et on pose &lt;math&gt;x=\overline{OA}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;y=\overline{OA'}&lt;/math&gt;, donc 

&lt;math&gt;D=\overline{AA'}=\overline{OA'}-\overline{OA} \Rightarrow y=D+x&lt;/math&gt;.

Les [[relations de conjugaison]] se réécrivent:

&lt;math&gt;\frac{1}{y}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{x} \Rightarrow y=\frac{f'.x}{f'+x}&lt;/math&gt;.

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second ordre en x:
&lt;math&gt;
x^2+D.x+f'.D=0
&lt;/math&gt;

Cette équation n'a de solution réelle que si 
&lt;math&gt;\Delta = D^2-4.f^{'}.D=D.\left( D-4.f'\right)\geq 0&lt;/math&gt;

Aussi, il faut que 
&lt;math&gt;
D\geq D_{min} = 4.f'
&lt;/math&gt;

=== Positions respectives de l'image et de l'objet===

Si &lt;math&gt;D&gt; D_{min}&lt;/math&gt;, alors &lt;math&gt;\Delta&gt; 0&lt;/math&gt;: il y a deux solutions réelles
(il existe alors deux positions de la lentille qui 
permettent de conjuguer c et A').

Les solutions sont:
&lt;math&gt;x_{\pm }=\frac{-D\pm \sqrt{D^2-4.f^{'}.D}}{2}&lt;/math&gt;.
Aussi, ces deux positions possibles de l'objet sont éloignées de &lt;math&gt;\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}&lt;/math&gt;.

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A':
&lt;math&gt;d=\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{D^2-4.f^{'}.D}&lt;/math&gt;.

En élevant au carré, on trouve la formule:
&lt;math&gt;
f'=\frac{D^2-d^2}{4.D}
&lt;/math&gt;

=== Remarque ===
La [[méthode de Silbermann]] apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0).

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===

* [[Friedrich Wilhelm Bessel]]
* [[Focométrie]]
* [[lentille optique]] 
* [[lentille mince]]

=== Liens externes ===
* [http://fr.video.yahoo.com/video/play?vid=616786  Une vidéo explicative sur la méthode de Bessel]

{{portail physique}}

[[Catégorie:lentille]]</text>
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