Mathématiques
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{{Redirect|Math}}
Les '''mathématiques''' constituent un domaine de [[connaissance]]s abstraites construites à l'aide de [[raisonnement]]s [[logique]]s sur des concepts tels que les [[nombre]]s, les [[Géométrie|figures]], les [[Structure algébrique|structures]] et les [[transformations]]. Les mathématiques désignent aussi le domaine de [[recherche scientifique|recherche]] visant à développer ces connaissances, ainsi que la [[discipline (spécialité)|discipline]] qui les enseigne.
Les mathématiques se distinguent des autres [[sciences]] par un rapport particulier au [[Réalité|réel]]. Elles sont de nature purement intellectuelles, basées sur des [[axiome]]s supposés [[vrai]]s (i.e: non soumis à l'expérience mais qui en sont souvent inspirés) ou sur des [[postulat]]s provisoirement admis. Un [[Énonciation|énoncé mathématique]] - dénommé généralement [[théorème]], [[proposition (mathématiques)|proposition]], [[Lemme (mathématiques)|lemme]], [[fait]], [[scholie]] ou [[corollaire]] - est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa [[vérité]] respecte une certaine structure rationnelle appelée [[démonstration]], ou raisonnement logico-déductif.
Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications remarquables dans les autres [[science]]s et dans les domaines de la [[technique]]. C'est ainsi qu'[[Eugène Wigner]] parle de ''"la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature"'' <ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,]" ''[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]'' '''13'''(1): 1–14.</ref>.
==Étymologie==
Le terme ''mathématique'' vient du [[grec ancien]], par l'intermédiaire du latin. Le mot ''μάθημα'' (''máthēma'') signifie « science, connaissance » puis « mathématiques », il a donné naissance à l'adjectif ''μαθηματικός'' (''mathematikos''), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté par le latin (''mathematicus'') puis par le français (''mathématique'')<ref>[http://dictionary.oed.com/cgi/entry/00303339?query_type=word&queryword=mathematics&first=1&max_to_show=10&sort_type=alpha&search_id=kEr4-m8fYsw-581&result_place=1 Oxford English Dictionary, article mathematic] (accès restreint)</ref>{{,}}<ref>[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[Oxford English Dictionary]]''</ref>.
La forme neutre de l'adjectif ''μαθηματικός'' a été substantivée en ''τα μαθηματικά'' (''ta mathēmatiká'') pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (''mathematica'') puis en français et dans les autres langues européennes. Le singulier est parfois employé (''la mathématique'' en français, ''mathematic'' en anglais), mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme »<ref>Colin, 1971 (à expliquer), cité à l'article [http://atilf.atilf.fr/dendien/scripts/tlfiv5/visusel.exe?72;s=735339675;r=2;nat=;sol=0; mathématique] du ''[[Trésor de la langue française]]''</ref>.
Dans l'argot scolaire, le terme ''mathématiques'' est fréquemment [[apocope|apocopé]] : ''les maths''.
== Historique ==
{{article détaillé|histoire des mathématiques}}
[[Image:Euklid2.jpg|thumb|[[Euclide]]]]
Il est fort probable que l'homme a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'[[écriture]]. Le premier objet reconnu attestant de [[Calcul (mathématiques)|compétences calculatoires]] est l'[[os d'Ishango]] datant de {{formatnum:20000}} ans avant notre ère <ref>[http://www.sciencesnaturelles.be/museum/halls/prehist/ishango/flash/files/Ishango_FR_def.html| Le Bâton d'Ishango - Institut royal des Sciences naturelles de Belgique]</ref>{{,}}<ref>[http://mathworld.wolfram.com/IshangoBone.html|Le Bâton d'Ishango - MathWorld]</ref>{{,}}<ref>[http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-877143@51-877260,0.html Les os incisés d'Ishango font naître la numération en Afrique], [[Le Monde]]</ref>. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les [[civilisation|premières civilisations]] est lié à leurs applications concrètes : le [[commerce]], la gestion des [[récolte]]s, la mesure des [[surface]]s, la prédiction des événements [[astronomie|astronomiques]], et parfois l'exécution de rituels religieux.
Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des [[racine carrée|racines carrées]], des [[racine cubique|racines cubiques]], la résolution d'[[équation polynomiale|équations polynomiales]], la [[trigonométrie]], le [[fraction (mathématiques élémentaires)|calcul fractionnaire]], l'arithmétique des [[entier naturel|entiers naturels]]... Ils s'effectuèrent dans les civilisations [[Empire d'Akkad|akkadiennes]], [[Babylone|babyloniennes]], [[Égypte|égyptiennes]], [[Civilisation chinoise|chinoises]] ou encore [[civilisation de la vallée de l'Indus|de la vallée de l'Indus]].
Dans la [[Grèce antique|civilisation grecque]], les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de [[démonstration]] et de définition [[axiome|axiomatique]] sont précisées. Deux branches se distinguent, l'[[arithmétique]] et la [[géométrie]]. Au {{s-|III|e}} avant notre ère, les [[Éléments d'Euclide]]<ref>{{en}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Euclid's Elements], site interactif</ref> résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce.
[[Image:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|left|Une page du traité de [[Al-Khawarizmi]]]]
La [[civilisation islamique]] a permis la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes [[mathématiques chinoises|chinoises]] et [[mathématiques indiennes|indiennes]], notamment en matière de [[numération|représentation des nombres]]{{référence nécessaire}}. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en [[trigonométrie]] (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en [[arithmétique]]. L'[[analyse combinatoire]], l'[[analyse numérique]], et l'[[algèbre|algèbre polynomiale]] sont inventées et développées.
Durant la [[Renaissance (période historique)|Renaissance européenne]], une partie des textes arabes sont étudiés et traduits en latin. La recherche mathématique se concentre en Europe. Le [[calcul algébrique]] se développe suite aux travaux de [[François Viète]] et [[René Descartes]]. [[Isaac Newton|Newton]] et [[Leibniz]], indépendamment, inventent le [[calcul infinitésimal]].
Au cours du {{XVIIIe siècle}} et du {{XIXe siècle}}, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des [[structure algébrique|structures]], à commencer par les [[groupe (mathématiques)|groupe]]s issus des travaux d'[[Évariste Galois]] sur les équations polynomiales, et les [[anneau (mathématiques)|anneau]]x introduits par [[Richard Dedekind]].
[[Image:Hilbert.jpg|thumb|[[David Hilbert]]]]
Le {{XIXe siècle}} voit avec [[David Hilbert|Hilbert]] et [[Georg Cantor|Cantor]] le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des [[fondation des mathématiques|fondements mathématiques]]{{référence nécessaire}}. Ce développement de l'axiomatique conduira le {{XXe siècle}} à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la [[logique mathématique|logique]].
Le {{XXe siècle}} a connu un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses nouvelles branches ([[théorie de la mesure]], [[théorie spectrale]], [[topologie algébrique]] et [[géométrie algébrique]], par exemple). L'[[informatique]] a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un formidable outil pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a naturellement conduit à la [[modèle mathématique|modélisation]] et à la [[numérisation]].
{{clr}}
== Domaines des mathématiques ==
{{article détaillé|recherche mathématique}}
À l'heure actuelle, l'étendue du champ des mathématiques vivantes, la diversité des thèmes abordés, et le foisonnement des connexions entre ces différents thèmes rendent difficile de donner un classement universel et cohérent des domaines particuliers de recherche. Le site [[arXiv]]<ref>[http://arxiv.org/new/math.html détail de sa classification] </ref> (site de publications d'articles de recherche en mathématiques, [[physique]] et [[biologie]]) choisit de recenser 30 domaines différents, l'histoire des mathématiques mise à part.
Un premier découpage des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents est couramment utilisé : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. Certains mathématiciens se sont distingués en proposant des découpages personnels : [[Grothendieck]], [[Yves Lafont]], ... Ainsi, Grothendieck propose de séparer les mathématiques en ''géométrie, arithmétique et analyse'' ; il affirme ainsi que l'algèbre n'est pas un thème des mathématiques mais un formalisme, qui peut autant intervenir en géométrie (par exemple, l'[[algèbre commutative]]), en arithmétique (par exemple, la théorie des [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]]) ou en analyse (par exemple, l'[[algèbre bilinéaire]] pour la théorie de Fourier).
Mais de tels découpages ne sont pas évidents et les frontières séparantes sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le [[théorème de Wiles]] établi en [[1994]], fortement popularisé par la presse de vulgarisation, en est un exemple. Bien que formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite des compétences d'analyse et de géométrie.
=== Quelques domaines de base ===
* L'[[algèbre]] est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les [[structure algébrique|structures dites algébriques]] et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la [[théorie des groupes]], de la [[théorie de Galois]] ou encore de la [[géométrie algébrique]].
* En un sens très restrictif, l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'[[analyse réelle]] ou d'[[analyse complexe]]. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
* La [[géométrie]] tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace ambiant, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.
* Les [[probabilité]]s tentent en un sens large de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure. La compréhension des lois aléatoires rendant compte au mieux des données déjà réalisées forme les statistiques.
===Exemples de domaines transverses===
[[Image:Carl Jacobi2.jpg|thumb| [[Charles Gustave Jacob Jacobi]], connu pour ses développements en théorie analytique des nombres, entre analyse complexe et arithmétique ]]
De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :
* Les [[mathématiques discrètes]] (associées à l'essor de l'[[informatique]]) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes, ...)
* La théorie des nombres (qui généralise l'[[arithmétique élémentaire]]) utilise tout autant de [[théorie analytique des nombres|méthodes analytiques]], que de [[théorie algébrique des nombres|méthodes algébriques]], avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
* La [[topologie algébrique]] tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie et de l'algèbre. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
* En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométriques, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
* La [[géométrie différentielle]] se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ces objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
* La [[géométrie algébrique]] est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au {{s-|XIX|e}}, avec notamment le théorème de Bézout : essentiellement, deux courbes décrites par des équations polynomiales de degrés respectifs ''n'' et ''m'' s'intersectent en au plus ''n''.''m'' points distincts. Les développements récents initiés par Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la [[géométrie arithmétique]].
* La [[théorie des opérateurs]] relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le fameux problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.
=== Mathématiques appliquées et mathématiques pures ===
[[Image:Navstar-2.jpg|thumb|Navstar-2 - La conquête aérospatiale : grande consommatrice de mathématiques appliquées.]]
[[Image:FEM car crash1.jpg|thumb|left|Simulation numérique d'un crash d'une voiture. - L'[[analyse numérique]] : domaine applicatif des mathématiques.]]
{{Article détaillé|mathématiques appliquées|mathématiques pures}}
La distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées est parfois effectuée :
* Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. La recherche mathématique tend à une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique.
* Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique, ...), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.
En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. {{Références nécessaires|Selon une boutade de [[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]], mathématicien pur, ''« La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une »''.}}
Les mathématiques appliquées en un sens mal défini comprennent entre autres l'[[analyse numérique]], les [[statistiques]] appliquées et la théorie de l'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation mathématique]]. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nées à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).
==Pratique mathématique==
===Activité de recherche===
{{article détaillé|recherche mathématique}}
Il est faux de croire que la recherche mathématique se limite à la démonstration mécanique de [[théorème]]s. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines ''a priori'' éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). Voir des phénomènes analogues se produire peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (dans notre exemple, ce serait la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines, ... Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets ''a priori'' différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.
Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraie ([[conjecture]]s). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en [[géométrie riemannienne]], l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser ce qui aujourd'hui est connu sous le nom de [[difféomorphisme d'Anosov]], une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.
===Langage mathématique===
{{article détaillé|Langage mathématique}}
Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme [[Groupe (mathématiques)|groupe]], [[anneau (mathématiques)|anneau]], [[Corps (mathématiques)|corps]] ou [[variété]], peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : [[isomorphisme]], [[topologie]], [[itération]], ... La pluralité de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non-mathématiciens.
Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Ces formules comportent des [[Table des symboles mathématiques| symboles]], les uns en rapport avec le [[calcul propositionnel]] comme le connecteur binaire d'[[implication]] <math>\Rightarrow</math> ou le connecteur unaire de [[Négation logique|négation]] <math>\neg</math>, d'autres en rapport avec le [[calcul des prédicats]], comme le [[quantificateur universel]] <math>\forall</math> ou le [[quantificateur existentiel]] <math>\exists</math>. La plupart des notations utilisées aujourd'hui ont été introduites après le dix-septième siècle seulement.
Soulignons pour terminer qu'il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un [[métalangage]]. Ce langage est la [[logique]].
== Rapport des mathématiques avec les autres sciences ==
Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les [[sciences]], au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques, ...) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent réellement dans les [[Modèle mathématique|modélisation]]s.
Toutes les sciences dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.
La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.
=== Mathématiques et physique ===
Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. [[Astronomie]] et [[géométrie]] se sont longtemps confondus, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique après s'être différenciées ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use à outrance des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :
* Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en [[géométrie différentielle]] est un outil essentiel sur lequel repose notamment la [[relativité générale]], développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
* Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
* Cette modélisation au contraire nécessite des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, [[Isaac Newton]] a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la [[équation de la chaleur|diffusion de la chaleur dans les corps]], [[Joseph Fourier]] découvre les [[séries de Fourier|séries qui portent son nom]], porte ouverte sur la [[théorie de Fourier]] ; ... Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de [[Feynman]], de polynômes de [[Donaldson]], ...
Récemment, un domaine de recherche spécifique, la [[physique mathématique]], tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.
Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.
[[Image:Pendule schema.gif|thumb|center|Schéma de pendule.]]
===Mathématiques et informatique===
L'essor des techniques au {{s-|XX|e}} a ouvert la voie à une nouvelle science, l'[[informatique]]. Celle-ci est intimement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en [[informatique théorique]] peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes ([[arithmétique]]), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : [[cryptographie]], [[théorie des codes]].
En retour, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.
Les [[mathématiques discrètes]] forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la [[théorie de la complexité]], la [[théorie de l'information]], la [[théorie des graphes]], ... Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le problème [[Théorie de la complexité#Le problème ouvert P=NP|P=NP]]<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute] P=NP</ref> en théorie de la complexité. Les chercheurs croient généralement que la réponse est non<ref>[http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/pdf/P=NP10290512pt.pdf#search=%22P%3DNP%22 Un sondage de William Gasarch] selon lequel 61 % des mathématiciens pensent que la réponse est non.</ref>.
=== Les mathématiques et la biologie, la chimie et la géologie===
La [[biologie]] est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : la [[Principe de Hardy-Weinberg|loi de Hardy-Weinberg]], souvent évoquée en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la [[phylogéographie]] fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la [[biomathématique]].
Dans les dernières années, la [[chimie organique]] a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à de la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.
Les [[géologie structurale|géologies structurales]] et [[géologie climatologique|climatologiques]] font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la [[géophysique mathématique]]. De même, la [[météorologie]], l'[[océanographie]] et la [[planétologie]] sont grandes consommatrices de mathématiques car nécessitent des modélisations.
=== Rapport entre les mathématiques et les sciences humaines ===
Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les [[statistique]]s et les [[probabilité]]s, mais aussi par des [[équation différentielle|équations différentielles]], [[calcul stochastique|stochastiques]] ou non, en économie et en finance ([[sociologie]], [[psychologie]], [[sciences économiques|économie]], [[finance]], [[gestion]], ...).
Notamment, les [[mathématiques financières]] sont une branche des mathématiques appliquées visant a la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.
=== Utilisation non scientifique des mathématiques ===
La mathématisation ou l'appel à des méthodes mathématiques ne justifie en aucun cas l'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.
Les [[astrologie occidentale|théories astrologiques occidentales]] se défendent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'[[astrologie statistique]] utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont à ce jour pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.
Dans l'essai polémique [[Impostures intellectuelles]], [[Alan Sokal]] et [[Jean Bricmont]] dénoncent l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.
L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population, ...) font appel à des connaissances mathématiques élémentaires. Le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, sont sujet à polémique.
Beaucoup plus subtil est le cas de l'[[sciences économiques|économie]] mathématique. Le [[postulat]] fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature [[anthropologie|anthropologique]], celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain [[profit]], et ce de façon [[rationalité économique|rationnelle]]. Cette sorte de vision [[atomisme|atomiste]] de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le [[calcul]] individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme [[Pierre Bourdieu]], et même certains économistes, refusent ce postulat de l'[[homo œconomicus]], en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le [[Don (offrande)|don]], mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La [[mathématisation]] est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.
Ceci dit, la modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse "littéraire". Par exemple, les explications des [[cycles économiques]] ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées.
== Mathématiques et philosophie ==
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]].]]
Par leur rapport particulier au [[Réalité|réel]], les mathématiques se distinguent des autres domaines de [[recherche]]. Ce rapport au réel conduit des [[philosophie des sciences|philosophes des sciences]] à s'interroger sur l'appellation sciences. En philosophie des sciences, le [[faillibilisme]] est employé par [[Charles Sanders Peirce]] pour opposer les sciences au [[fondamentalisme]] ; ce concept est repris dans le rationalisme critique de [[Karl Popper]] sous le terme de [[réfutabilité]]. Popper reconnaît les mathématiques comme sciences suite aux travaux d'[[Alfred Tarski]] sur la sémantique<ref>Karl Popper, ''Les deux problèmes fondamentaux de la théorie de la connaissance'', édition Hermann, Paris, 1999).</ref>. La question de savoir si les mathématiques sont ou non une science est une question relevant de la [[philosophie des mathématiques]].
Les mathématiques sont parfois surnommées ''reine des sciences''. Cependant, l'expression remonte à [[Carl Friedrich Gauss]] : ''Regina Scientiarum''<ref>[http://www.crystalinks.com/mathematics.html Mathematics - Crystalinks]</ref> et le mot ''scientiarium'' signifie en réalité «des [[connaissance]]s».
===Fondements===
{{article détaillé|Fondements des mathématiques}}
Censément, les mathématiques utilisent la [[logique]] comme outil pour démontrer des [[vérité]]s organisées en [[théorie]]s. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les [[axiome]]s, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.
[[Image:Aristotle by Raphael.jpg|thumb|[[Aristote]] : le fondateur de la [[logique des prédicats|logique]] formelle (peinture par [[Raphaël (peintre)|Raphaël]]).]]
D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer ceci. Tout d'abord, aucune démonstration mathématique ne suit réellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'énoncés mathématiques complexes en langage purement formalisé est impossible en temps raisonnable. Comme pour n'importe quelle sciences l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose donc ''in fine'' sur un [[consensus]] de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée ([[La structure des révolutions scientifiques]] de Thomas Kuhn). Ainsi la confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient de façon primordiale dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les [[géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] au {{s-|XIX|e}}, durant lequel les travaux de [[Nicolaï Ivanovitch Lobatchevsky|Lobatchevsky]] ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain [[Galois]] au début du même siècle, notamment par [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] <ref>[http://publish.edu.uwo.ca/cmesg/pdf/CMESG2004.pdf Actes du Groupe canadien d'études en didactique des mathématiques] texte de Nicolas Bouleau, page 24</ref>. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir [[sociologie des sciences]]).
[[Image:Augustin Louis Cauchy.JPG|thumb|[[Augustin Louis Cauchy]].]]
D'autre part, la solidité même des bases est sujette à caution. En effet le célèbre [[théorème d'incomplétude de Gödel]], démontré dans la première moitié du {{s-|XX|e}}, paraît signifier premièrement qu'il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système qui soit sûr, et d'autre part, que certaines propriétés "vraies" resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis; mais il n'est pas interdit de se défier de toute interprétation en termes vulgaires de résultats essentiellement techniques.
==Enseignement des mathématiques==
[[Image:Adrien-au-tableau.jpg|thumb|Le professeur [[Douady]], au tableau]]
{{article détaillé|enseignement des mathématiques}}
L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent ([[mathématiques modernes]], [[méthode de Moore]], [[éducation classique]], ...). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique sont désignés par des institutions officielles.
== Impact culturel des mathématiques ==
=== Expression artistique ===
[[Image:Rameau Traite de l’harmonie.jpg|thumb|left|Page couverture du ''Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels'' de [[Jean-Philippe Rameau]].]]
Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale, sont des sons dont les [[fréquence]]s fondamentales de vibration sont dans des rapports simples .
Par exemple, l'[[octave (musique)|octave]] est un doublement de fréquence, la [[quinte]] une multiplication par 3/2.
Ce lien entre les fréquences et l'[[harmonie]] a été notamment détaillé dans le ''[[Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels]]'' (Paris, 1722, réédité en IBSN 2865631575 ou ISBN 205100787X) de [[Jean-Philippe Rameau]], compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des [[Harmonique (musique)|harmoniques]] (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.
[[Image:Harmonics.svg|thumb|Les harmoniques sur une portée]]
{{clr}}
Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure [[logarithme|logarithmique]], cela correspond au rapport entre deux phénomènes. D'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système [[audition|auditif]] qui est proportionnelle au logarithme de la [[fréquence]] du son (une fréquence double correspond toujours à la même "distance sonore" appelée [[octave (musique)|octave]]). D'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.
[[Image:Julia set (highres 01).jpg|[[Fractale]] possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale|thumb|Fractale]]
On peut constater que l'on associe une certaine [[beauté]] aux figures symétriques. Une [[symétrie]] d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une [[règle]] précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un [[Groupe (mathématiques)|groupe]], très souvent par [[isométrie]], c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.
Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est l'ensemble <math>\Z/2\Z =\{0,1\} </math>. Un [[test de Rorschach]] est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un [[Lepidoptera|papillon]] et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique, est celui présenté par les [[fractales]] : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.
===Perception des mathématiques par le grand public===
{{à compléter}}
''« Les mathématiques n'ont pas de définition sur quoi l'on s'accorde en général. Pour certains, elles sont ce qu'on leur a enseigné à l'école ou à l'université ; pour d'autres, elles sont tout ce que fait la communauté professionnelle occidentale des mathématiciens. »''<ref>Marcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998, p. 13.</ref> Marcia Ascher.
===Vulgarisation mathématique===
{{article détaillé|Vulgarisation mathématique|Presse de vulgarisation mathématique}}
La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques.
* ''[[Oh, les maths]]'', de [[Yakov Perelman]].
* ''[[Le livre qui rend fou]]'', de [[Raymond Smullyan]].
Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux ou journaux télévisés.
===Littérature et filmographie===
Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.
====Romans====
*Plusieurs livres de [[Denis Guedj]], dont:
**''[[Le Théorème du Perroquet]]''
**''[[Zéro, ou les cinq vies d'Aémer]]''
* Le démon des maths de Hans Magnus Enzensberger
* Mathématique du crime de Guillermo Martinez
====Films====
* ''[[Will Hunting]]'',
* ''[[Un homme d'exception]]'', film de [[Ron Howard]] ([[2001]]) avec [[Russell Crowe]] dans le rôle de [[John Forbes Nash]], adapté du livre de Sylvia Nasar.
* ''[[π (film)|Pi]]'', film de [[Darren Aronofsky]] ([[1998]])
* ''[[La preuve irréfutable]]'', ([[2005]]) avec [[Anthony Hopkins]] et [[Gwyneth Paltrow]]
* ''[[Cube (film)|Cube]]'' et ''[[Cube 2]]''
====Théatre====
* ''[[La Preuve]]'' de [[David Auburn]]
====Séries télévisées====
* ''[[Numb3rs]]'', série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
== Notes et références ==
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== Voir aussi ==
* [[Difficulté mathématique]]
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=== Articles connexes ===
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