Meilleure réponse
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2007-09-11T10:56:28Z
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<!--ARTICLE EN COURS DE TRADUCTION-->
En [[théorie des jeux]], la '''meilleure réponse''' est la [[stratégie]] ou
l'ensemble de stratégies qui produisent le résultat immédiat le plus
favorable au joueur considéré, étant données les stratégies des autres
joueurs. Le concept de meilleure réponse est au centre de la notion
d'[[équilibre de Nash]] (voir aussi [[John Forbes Nash]]) qui repose sur
la sélection par chaque joueur et à chaque période de sa meilleure
réponse.
== Fonction de meilleure réponse ==
[[Image:Reaction-correspondence-playery.jpg|150px|right|thumbnail|Fig. 1 - Fonction de meilleure réponse pour le joueur Y dans le jeu de la chasse au cerf.]]
La [[fonction (mathématiques)|fonction]] de meilleure réponse (souvent
notée <math>b(\cdot)</math>) est employée dans la preuve de l'existence
d'équilibres de Nash en [[Stratégie mixte|stratégies mixtes]]. Pour chaque joueur, on
construit une fonction de l'ensemble des profils de stratégies de
l'adversaire vers l'ensemble des stratégies du joueur considéré. Ainsi, pour tout ensemble
donné de stratégies <math>\sigma_{-i}</math> de l'adversaire,
<math>b_{i}(\sigma_{-i})</math> représente les meilleurs réponses du joueur
''i'' à <math>\sigma_{-i}</math>.
[[Image:Reaction-correspondence-playerx.jpg|150px|left|thumbnail|Fig. 2 - Fonction de réaction pour le joueur X dans le jeu de la chasse au cerf.]]
Pour tous les jeux s'exprimant sous [[Jeu sous forme normale|forme
normale]], les fonctions de meilleure réponse peuvent être représentées par
une droite dans chaque cellule. Par exemple, dans la Figure 1, la ligne
pointillée dénote la probabilité optimale que le joueur Y joue « cerf »
(sur l'axe ''y'') en fonction de la probabilité que le joueur X joue
« cerf » (sur l'axe ''x''). Dans la Figure 2, la ligne pointillée dénote la
probabilité optimale pour le joueur X de jouer « cerf » (axe ''x'') comme
une fonction de la probabilité que le joueur Y joue « cerf » (axe
''y''). Remarquez que la figure 2 inverse l'ordre habituel des axes, de
manière à pouvoir superposer les figures 1 et 2 afin de déterminer
l'[[équilibre de Nash]], lieu où les fonctions de meilleure réponse
s'intersectent, et donc les meilleures réponses sont compatibles (Figure
3).
[[Image:Reaction-correspondence-stag-hunt.jpg|150px|thumbnail|Fig.3 -
Fonctions de réactions pour les deux joueurs dans le jeu de la chasse au cerf. L'équilibre de Nash est noté par les points soulignant les lieux où les meilleures réponses sont compatibles.]]
=== Jeux de coordination ===
Dans les jeux où les paiements sont plus élevés quand les deux joueurs
adoptent la même stratégie, comme le jeu de la [[jeu de la chasse au cerf|Chasse au cerf]] ou la [[jeu de la guerre des sexes|Guerre des
sexes]], les fonctions de réaction auront des formes similaires à celles de
la Figure 3, avec trois équilibres de Nash, l'un dans le coin inférieur
gauche, l'autre dans le coins inférieur droit et un équilibre en stratégies
mixtes le long de la première diagonale, la position exacte de ce dernier
équilibre dépendant des paiements du jeu.
=== Jeux d'anti-coordination ===
Dans les jeux comme le [[jeu de la poule]] ou le [[jeu des faucons et des colombes]] les paiments sont les plus élevés quand les joueurs choisissent
des stratégies différentes. Leurs fonctions de réaction se croisent alors
dans le sens opposé au cas des jeux de coordination. La Figure 4 illustre
les fonctions de réaction pour les joueurs dans un jeu
d'anti-coordination. Pour ces jeux, il existe en général trois équilibres
de Nash, un dans le coin supérieur gauche, un dans le coin inférieur droit,
et un sur la diagonale en stratégies mixtes. Si le joueur ignorent le type
de l'autre, alors l'équilibre en stratégies mixtes est une [[stratégie évolutionnairement stable]] (SES), le jeu se déroulant sur la première
diagonale. Sinon, il existe une asymétrie de non-corrélation, et les
équilibres dans les coins sont également des SES.
[[Image:Reaction-correspondence-hawk-dove.jpg|500px|thumbnail|center|Fig.4 -
Fonctions de réaction dans le jeu des faucons et des colombes. Les
équilibres de Nash correspondent au lieu d'intersection des fonctions de
meilleure réponse.]]
=== Jeux avec stratégies dominées ===
[[Image:Reaction-correspondence-dominated.jpg|150px|thumbnail|Fig. 5 -
Fonction de réaction pour un jeu avec stratégie dominée.]]
Dans les jeux présentant une [[dominance stratégique|stratégie dominée]],
les fonctions de meilleure réponse auront un unique point d'intersection,
dans le coin inférieur gauche ou supérieur droit pour les jeux
symétriques. Par exemple, dans le [[dilemme du prisonnier]] à un coup,
coopérer n'est optimal pour aucune probabilité que l'autre coopère. La
figure 5 illustre les fonctions de meilleure réponse pour un tel jeu. Si
les axes portent la probabilité de coopérer, l'équilibre de Nash est dans
le coin inférieur gauche, où aucun joueur ne coopère. S'il s'agit des
probabilités de trahir, les deux courbes se coupent dans le coin supérieur
droit.
=== Autres jeux ===
Les trois cas envisagés ci-dessus (coordination, anti-coordination,
stratégies dominées) sont les seuls types de cas possibles pour des jeux
2x2 symétriques (à l'exception d'un quatrième cas, trivial, où les
paiements sont égaux pour toutes les stratégies).
En présence d'asymétries dans les paiements, une plus grande diversité de
fonctions de réactions est possible. Pour chaque joueur, il y a ainsi cinq
types possibles de forme de meilleure réponse, ainsi qu'illustré par la
Figure 6. De gauche à droite : stratégie dominée (toujours jouer 2),
stratégie dominée (toujours jouer 1), croissante (jouer 2 si la probabilité
que l'autre joueur joue 2 est supérieure à un certain seuil), décroissante
(jouer 2 si la probabilité que l'autre joueur que 1 est supérieure à un
certain seuil), indifférente (les deux stratégies sont équivalentes quelle
que soit la stratégie de l'autre joueur).
[[Image:Five-Reaction-Correspondences.jpg|700px|thumbnail|center|Fig. 6 -
Les cinq fonctions de meilleure réponse possibles pour un jeu 2x2. Les axes
sont orientés selon la probabilité croissante qu'un joueur joue la
stratégie 1. De gauche à droite : A) Toujours jouer2, la stratégie 1 est
dominée; B) Toujours jouer 2, la stratégie 1 est dominée; C) La stratégie 1
est meilleure quand l'adversaire joue 1 et 2 est meilleure quand
l'adversaire joue 2; D) La stratégie 1 est meilleure quand l'adversaire
joue 2 et la stratégie 2 est meilleure quand l'adversaire joue 1; E) Les
deux stratégies sont équivalentes quelle que soit la stratégie de l'adversaire.]]
Alors qu'il n'existe que quatre structures de paiement possibles pour un
jeu 2x2 symétrique, l'existence de cinq types de meilleures réponses dans
le cas des jeux asymétriques permet d'envisager un grand nombre de jeux
différents. Toutefois, beaucoup de ceux-ci ne sont pas réellement
différents l'un de l'autre, les dimensions pouvant être redéfinies (en
échangeant les noms des stratégies) pour produire des jeux symétriques
logiquement identiques.
=== Pair ou impair ===
Un exemple de référence de jeu avec paiements asymétriques est le jeu
[[Pair ou impair]]. Dans ce jeu, le joueur Ligne (représenté sur l'axe
''y'') gagne si les deux joueurs choisissent la même parité, alors que le
joueur Colonne (représenté sur l'axe des ''x'') gagne s'ils choisissent des
parités différentes. La fonction de réaction du joueur Y est celle j'un jeu
de coordination, alors que celle du joueur X correspond à un jeu
d'anti-coordination. L'équilibre de Nash en stratégies mixtes est alors
évolutionnairement stable.
[[Image:Reaction-correspondence-matching-pennies.jpg|500px|thumbnail|center|Fig.7
- Fonctions de réaction pour le jeu Pair ou Impair. La fonction de gauche
est celle d'un jeu de coordination, celle du milieu d'un jeu
d'anti-coordination. L'unique équilibre de Nash est un équilibre en
stratégies mixtes, illustré à droite. Il est évolutionnairement stable.]]
== Meilleure réponse dynamique ==
Dans le cadre des [[jeu évolutionniste|jeux évolutionnistes]], la
'''meilleure réponse dynamique''' désigne une classe de stratégies telles
que les stratégies des joueurs au tour suivant sont déterminées par leur
meilleure réponse à un certain sous-ensemble de la population. On peut
citer par exemple:
* Dans un modèle à population importante, les joueurs choisissent
probabilistiquement leur prochain coup sur la base des stratégies qui sont
meilleure réponse à la population dans son ensemble.
* Dans un modèle géographique, les joueurs choisissent au coup suivant
l'action qui est la meilleure réponse à celles de leurs voisins (voir
Elison 1993).
Dans de tels modèles, les joueurs ne sélectionnent à un tour donné que la
meilleure réponse pour le prochain tour. Ils ne considèrent pas les
conséquences de leurs choix stratégiques sur le déroulement du jeu après le
tour suivant. De ce fait, la meilleure réponse dynamique est une
''meilleure réponse myope'''.
==Références==
* {{en}} Ellison, G. (1993) "Learning, Local Interaction, and Coordination" ''Econometrica'' 61: 1047-1071
* {{en}} Gibbons, R. (1992) "A primer in game theory" (pp. 33-49) Harvester-Wheatsheaf.
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:théorie des jeux]]