Modèle de Bohr
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2008-06-20T11:59:42Z
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{{recycler|physique}}
{{article général|atome}}
Le '''modèle de Bohr''' est une théorie [[physique]], basée sur le modèle planétaire de [[Ernest Rutherford|Rutherford]] cherchant à comprendre la constitution d'un [[atome]], et plus particulièrement, celui de l'[[hydrogène]] et des ions [[hydrogénoïde]]s ([[ion]]s ne possédant qu'un seul [[électron]]).
==Principe==
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="right"
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! [[Image:Atome bohr.png|Modèle de Bohr]]
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Ce modèle est un complément du modèle planétaire d'[[Ernest Rutherford]] qui décrit l'atome d'hydrogène comme un [[noyau atomique|noyau]] massif et [[charge électrique|chargé]] positivement, autour duquel se déplace un [[électron]] chargé négativement.
Le problème posé par ce modèle est que l'électron, charge électrique accélérée, devrait selon la physique classique, rayonner de l'énergie et donc finir par s'écraser sur le noyau.
[[Niels Bohr]] propose d'ajouter deux contraintes :
# L'électron ne rayonne aucune énergie lorsqu'il se trouve sur une [[orbite]] stable (ou orbite stationnaire). Ces orbites stables sont différenciées, quantifiées. Ce sont les seules orbites sur lesquelles les électrons peuvent graviter.
# L'électron ne rayonne ou n'absorbe de l'énergie que lors d'un changement d'orbite.
Pour commodité de lecture, les orbites possibles de l'électron sont représentées dans la littérature comme des cercles de diamètres ''quantifiés'' (dans la réalité, il n'existe pas de position ni de vitesse précise d'un électron, et il ne peut donc parcourir un "cercle"; son [[orbitale]] peut en revanche être parfois sphérique).
==Théorie==
L'atome d'hydrogène est modélisé par un [[électron]] de masse <math>m</math> gravitant autour du [[proton]].
===L'énergie mécanique===
L'interaction entre ces deux particules est [[électrostatique]]: la force intervenant est la [[loi de Coulomb|force de Coulomb]]. Ceci nous permet donc d'écrire l'[[Électrostatique|énergie potentielle]] de l'électron à une distance <math>r</math> du noyau : <br />
<math>E_p=-\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_e^2}{r} = -\frac{e^2}{r}</math>
*<math>\epsilon_0</math> est la [[permittivité]] du [[vide]]
*<math>q_e</math> est la charge de l'[[électron]]
*<math> e^2 : = \frac{q_e^2}{4\pi \epsilon_0}</math>, par souci de simplification d'écriture ( cf [[système d'unités atomiques]] ).
D'autre part, comme il est question d'un [[mouvement à force centrale]], l'[[accélération]] de cet électron vaut <math>\vec{a}= -v^2/r.\vec{u_r}</math> où <math>v</math> est la vitesse de l'électron, et <math>\vec{u_r}</math> est le vecteur unitaire centrifuge. Le [[dynamique|principe fondamental de la dynamique]] implique alors :<br />
<math>-m\frac{v^2}{r}=-\frac{e^2}{r^2}</math><br />
On peut alors calculer l'[[énergie cinétique]] :<br />
<math>E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{e^2}{2r}</math><br />
Finalement, on obtient l'[[énergie mécanique]] :<br />
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
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| <math>E=E_c+E_p=-\frac{1}{2}\frac{e^2}{r}</math>
|}</center>
===Quantification===
Ici intervient alors la ''quantification'' du [[moment cinétique]] <math>\vec{L}</math> , selon l'hypothèse de [[Bohr]] :<br>
<math>\ L= n\hbar</math> où <math>n</math> est un entier positif non nul, et <math>\hbar</math> est la [[constante de Planck]] "réduite" ( d'un facteur 2 <math>\pi</math>).<br>
Cette relation s'écrit :
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
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| <math>mrv=n\hbar</math>
|}</center>
Cette quantification a été confirmé par l'[[expérience de Franck et Hertz]]. L'intérêt de cette expérience est de montrer que la quantification n'est pas seulement dû à la quantification de la lumière, mais bien à la quantification de l'orbite des électrons présent dans l'atome.
===Résultats===
*Les deux équations précédentes:
<math> \frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}</math> et <math>mvr = n \hbar</math>
permettent de calculer la distance entre le noyau et l'électron, r ( ainsi que la vitesse v ):
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| <math>r_n=a_0 \,n^2</math>
|}</center>
:où <math>a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2} </math> est le [[rayon de Bohr]], soit environ 53 pm.
*L'énergie totale de l'électron est aussi quantifiée :
<center>
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| <math>E_n=\frac{E_1}{n^2}</math>
|}
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|}</center>
avec
<center>
{| border=0
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{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
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| <math>E_1= -{me^4 \over 2\hbar^2}</math>
|}
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|}</center>
:<math>E_1</math> est une unité d'énergie, appelée énergie de Rydberg (cf [[constante de Rydberg]]), et vaut environ -13.6 [[électron-volt|eV]].
:Néanmoins cette théorie, même modifiée par [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] pour tenir compte des orbites elliptiques, ne survivra pas à la révolution de la [[mécanique quantique]] en 1926.
== Note historique ==
*Durant le XVIII<sup>ème</sup> et le XIX<sup>ème</sup> siècle, on mesure, par [[spectroscopie]], des [[spectre électromagnétique|spectres]] de différentes sources lumineuses comme le soleil ou la lampe à [[hydrogène]]. Depuis [[Thomas Melvill]] (1726-1753) en 1750, on a observé que ces spectres sont formés de ''raies''.
On considère que la spectroscopie théorique naît avec les lois de Bunsen (1811-1899) et Kirchhoff (1824-1887) publiées en 1859. [[Niels Bohr]] (1885-1962) est le premier à pouvoir expliquer ce phénomène de ''quantification'' en 1913.
* Il avait été guidé par l'expression simple d'une formule (dite de [[Johann Jakob Balmer|Balmer]]), qui associe les [[fréquence]]s des raies composant le [[spectre de l'hydrogène]], à la ''différence entre deux termes'' d'énergie. En effet, [[Johann Jakob Balmer|Balmer]] (1825-1898) trouva empiriquement la relation donnant les [[longueur d'onde|longueurs d'onde]] des raies : <math>\frac{1}{\lambda} \propto \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{p^2} \right)</math> en accord avec les raies trouvées dans le visible par [[Anders Jonas Ångström|Ångström]] et dans l'[[ultra-violet]] par [[William Huggins|Huggins]]. Cela a permis de décrire l'atome comme émettant ou absorbant une certaine quantité d'énergie quantifiée (le [[photon]]).
* Or la théorie planétaire de Rutherford de 1911 se heurtait à la théorie du rayonnement de l'[[électron]] accéléré. En effet, cet électron émettait de l'énergie et devait s'écraser sur le noyau au bout de quelques millions de révolutions, ce qui correspond à une [[nanoseconde]].
* En 1913, Bohr a introduit ses deux postulats pour rendre le modèle compatible avec ces observations. Il suppose que l'électron parcourt différentes orbites circulaires quantifiées autour du noyau : lorsque l'électron change d'orbite, un photon transportant de l'énergie est émis. Les orbites deviennent donc ''niveaux d'énergie''. Le spectre atomique de l'hydrogène, et le problème du modèle de Rutherford étaient ainsi expliqués.
* Niels Bohr publia alors en Juillet 1913 son article : ''On the constitution of atoms and molecules, [[Philosophical Magazine]], series 6, vol. 26, July 1913,p 1-25''.
:Dans celui-ci, il est bien expliqué pourquoi, après les expériences de [[Hans Geiger|Geiger]] (1913), il opte pour l'atome planétaire de Rutherford (1911) contre l'atome de [[Joseph John Thomson|Thomson]] (1904). Il indique qu'il est redevable à [[Max Planck|Planck]] de la notion de ''quanta'' et de la [[constante de Planck]]. Il reconnaît à l'astronome [[Seth Barnes Nicholson|Nicholson]] (1912) l'idée de considérer le [[moment cinétique]].
<br>
Quelques remarques et conséquences :
* La formule de Balmer ne satisfait pas Bohr dans la mesure où cette [[longueur d'onde]] est [[monochromatique]], et ne correspond à aucune oscillation de l'électron : il n'y a pas de [[résonance]].
* D'autre part, il n'y a pas de référence à la [[masse réduite]] dans cet article, alors qu'elle est souvent présentée comme un succès pour expliquer le passage de la constante de Rydberg théorique <big>'''''R<sub>∞</sub>'''''</big> à la constante de Rydberg pour l'atome d'hydrogène <big>'''''R<sub>H</sub>'''''</big>.
* Toutefois, l'énigme de l'hydrogène de Pickering, moins citée, a pu être résolue : l'astronome Pickering publie des séries de raies qui s'accordent avec la théorie de Rydberg , mais en prenant n et m demi-entiers (1895). Fowler le confirme (Décembre 1912) dans une expérience terrestre avec un tube contenant de l'[[hydrogène]] et de l'[[hélium]]. Bohr a alors l'idée de la réaction suivante: <big>'''''H + He → H<sup>–</sup> + He<sup>+</sup>'''''</big>, et déclare que l'on voit le spectre de l'ion hydrogénoïde <big>'''''He<sup>+</sup>'''''</big> (avec une constante de Rydberg quadruple) et que l'hydrogène de Pickering n'existe pas. De plus, il interprète alors les raies des [[métal alcalin|alcalins]] avec des modifications légères des termes de Ritz par des ''entiers effectifs''.
* Néanmoins sa théorie ne permet d'interpréter ni le spectre des autres atomes ni celui des molécules.
* Pour la théorie de l'état '''''s''''' de l'hydrogène, il faudra attendre 1926 (cf [[principe d'incertitude]], saturation).
== Voir aussi ==
* [[Spectre de l'hydrogène]]
* [[Expérience de Franck et Hertz]]
* [[Constante de Rydberg]], [[formule de Rydberg]] pour l'explication en [[mécanique quantique]],
* [[Atome d'hydrogène]]
* [[Niels Bohr]]
* [[Rayon de Bohr]]
* [[Saturation des inégalités d'Heisenberg]]
* [[Système d'unités atomiques]]
* [[Quantification semi-classique]]
* [[Régime semi-classique]]
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