Module de Young
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2008-07-02T11:55:13Z
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robot Ajoute: [[bn:ইয়ং-এর গুণাঙ্ক]]
Le physicien britannique [[Thomas Young]] ([[1773]]-[[1829]]) avait remarqué que le rapport entre la [[contrainte]] de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la [[limite d'élasticité]] du matériau n'est pas atteinte. Cette constante est le '''module de Young''' ou '''module d'élasticité longitudinal'''.
La loi d'élasticité est la [[loi de Hooke]] :
[[image:Courbe_contrainte_vs_deformation.png|thumb|Diagramme contrainte-déformation]]
:<math>\sigma = E \varepsilon</math>
où :
* <math>\sigma</math> est la [[contrainte]],
* <math>E</math> est le module d'Young,
* <math>\varepsilon</math> est la [[déformation]].
Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100% de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur soit atteinte.
Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit '''rigide'''. L'[[acier]], l'[[iridium]], le [[diamant]], sont des matériaux très rigides, l'[[aluminium]] et le [[plomb]] le sont moins, les matières plastiques et organiques sont généralement peu rigides. Il ne faut cependant pas confondre élasticité et rigidité puisque la rigidité d'une poutre par exemple dépend de son module de Young mais aussi du moment d'inertie de sa section.
'''Note'''<br />
Il ne faut pas confondre '''rigidité''' et '''raideur'''. La '''rigidité''' caractérise les matériaux, la '''raideur''' concerne les produits et les constructions. Une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier.
== Unités ==
D'après l'[[équation aux dimensions]], le module de Young est homogène à une [[pression]], ou plus précisément une [[tenseur des contraintes|contrainte]]. L'unité internationale est donc le [[pascal (unité)|pascal]] (Pa). Cependant, en raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général donné en [[méga]]pascal (MPa) ou [[Newton (unité)|Newton]] par millimètre carré (N/mm{{2}}).
== Expression théorique ==
Dans le cas d'un matériau [[cristal]]lin et certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la [[dérivée seconde]] du [[potentiel interatomique]].
Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young vaut, pour un materiau isotrope :
: <math>E = E_0 = \frac{m^4e^{10}}{\hbar^8}</math>.
Ceci dit, compte-tenu des problèmes où il apparaît ([[bilaplacien]]), il paraît assez naturel de le rationnaliser soit
* comme <math>E_1 = E_0/(16 \pi^2)</math>, soit
* comme <math>E_2 = E_0/64 \pi^6</math>,
les ordres de grandeur de <math>E_1</math> ou <math>E_2</math> sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaîssent alors relever de ce ''corpus'' théorique.
Dans le cas des [[polymère]]s, c'est l'agitation thermique qui « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'[[entropie]].
Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante :
* lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge ([[dilatation]]), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente ;
* lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue.
== Relations ==
Avec le [[module de cisaillement]] (<math>G</math>) et le [[coefficient de Poisson]] (<math>\nu</math>)} :
:<math>E = 2(1+\nu)\cdot G</math>.
Avec <math>\lambda</math> et <math>\mu</math> appelées coefficients de Lamé :
:<math>E = \frac{(3{\lambda}+2{\mu}){\mu}}{{\lambda}+{\mu}}</math>.
== Les méthodes de mesure du module de Young ==
Le plus simple reste bien sûr de réaliser un [[Essai mécanique|essai de traction]]. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young <math>E</math>. Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.
C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la [[fréquence propre]] de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.
On peut aussi mesurer la vitesse du [[son (physique)|son]] dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante :
: <math>V_{\rm son} \propto \sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du [[coefficient de Poisson]].
Le module de Young '''dynamique''' peut être connu en utilisant par exemple un [[viscoanalyseur]].
== Quelques valeurs numériques de modules de Young ==
Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes.
{| width=100%
| valign="top" |
{| class="wikitable"
|+ Métaux purs
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[Aluminium]] (Al) || 69 000
|-----
| [[Argent (métal)|argent]] (Ag) || 83 000
|-----
| [[Baryum]] (Ba) || 13 000
|-----
| [[Béryllium]] (Be) || 240 000
|-----
| [[Bismuth]] (Bi) || 32 000
|-----
| [[Cadmium]] (Cd) || 50 000
|-----
| [[Césium]] (Cs) || 1 700
|-----
| [[Chrome (chimie)|Chrome]] (Cr) || 289 000
|-----
| [[Cobalt]] (Co) || 209 000
|-----
| [[Cuivre]] (Cu) || 124 000
|-----
| [[Étain]] (Sn) || 41 500
|-----
| [[Fer]] (Fe) || 196 000
|-----
| [[Germanium]] (Ge) || 89 600
|-----
| [[Indium]] (In) || 110 000
|-----
| [[Iridium]] (Ir) || 528 000
|-----
| [[Lithium]] (Li) || 4 900
|-----
| [[Magnésium]] (Mg) || 45 000
|-----
| [[Manganèse]] (Mn) || 198 000
|-----
| [[Molybdène]] (Mo) || 329 000
|-----
| [[Nickel]] (Ni) || 214 000
|-----
| [[Niobium]] (Nb) || 105 000
|-----
| [[Or]] (Au) || 78 000
|-----
| [[Palladium (chimie)|Palladium]] (Pd) || 121 000
|-----
| [[Platine]] (Pt) || 168 000
|-----
| [[Plomb]] (Pb) || 18 000
|-----
| [[Plutonium]] (Pu) || 96 000
|-----
| [[Rhodium]] (Rh) || 275 000
|-----
| [[Rubidium]] (Rb) || 2 400
|-----
| [[Ruthénium]] (Ru) || 447 000
|-----
| [[Scandium]] (Sc) || 74 000
|-----
| [[Sélénium]] (Se) || 10 000
|-----
| [[Sodium]] (Na) || 10 000
|-----
| [[tantale (chimie)|Tantale]] (Ta) || 186 000
|-----
| [[Titane]] (Ti) || 114 000
|-----
| [[Tungstène]] (W) || 406 000
|-----
| [[Uranium]] (U) || 208 000
|-----
| [[Vanadium]] (V) || 128 000
|-----
| [[Zinc]] (Zn) || 78 000
|-----
| [[Zirconium]] (Zr) || 68 000
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable"
|+ Alliages
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[Acier]] de construction || 210 000
|-----
| Acier à ressorts || 220 000
|-----
| [[Acier inoxydable]] 18-10 || 203 000
|-----
| [[Bronze]] ([[cuivre]] + 9 à 12% d'[[étain]]) || 124 000
|-----
| Bronze au Béryllium || 130 000
|-----
| [[Cuivre]] laminé U4 (Recuit)|| 90 000
|-----
| [[Cuivre]] laminé U4 (Écroui dur)|| 150 000
|-----
| Duralumin AU4G || 75 000
|-----
| [[Fonte (métallurgie)|Fonte]]s || 83 à 170 000
|-----
| Hastelloy B2 ([[nickel|Ni]] + [[molybdène|Mo]]) || 217 000
|-----
| Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo) || 206 000
|-----
| Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe) || 212 à 218 000
|-----
| [[Invar]] || 140 000
|-----
| Monel 400 (Ni + Cu) || 173 000
|-----
| Nimonic 90 (Ni + Cr + Co) || 213 à 240 000
|-----
| Nispan (Ni + Cr + Ti) || 165 à 200 000
|-----
| [[Phynox]] (Co + Cr + Ni + Mo) || 203 400
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable"
|+ Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[Arsenic]] (As) || 8 000
|-----
| Arséniure de gallium (AsGa) || 85 500
|-----
| [[Béton]] || 27 000
|-----
| Brique || 14 000
|-----
| [[Calcaire]] (carbonate de calcium CaCO<sub>3</sub>, pierres) || 20 à 70 000
|-----
| [[Carbure]] de chrome (Cr<sub>3</sub>C<sub>2</sub>)
| 373 130
|-----
| [[Carbure de silicium]] (SiC) || 450 000
|-----
| Carbure de Titane (TiC) || 440 000
|-----
| [[Carbure de tungstène]] (WC) || 650 000
|-----
| [[Diamant]] (C) || 1 000 000
|-----
| [[Graphite]] || 30 000
|-----
| [[Granite]] || 60 000
|-----
| [[Marbre]] || 26 000
|-----
| [[Mullite]] (Al<sub>6</sub>Si<sub>2</sub>O<sub>13</sub>)
| 145 000
|-----
| [[Alumine]] (Oxyde d'Aluminium Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>)
| 390 000
|-----
| Oxyde de béryllium (BeO) || 30 000
|-----
| Oxyde de magnésium (MgO) || 250 000
|-----
| Oxyde de zirconium (ZrO) || 200 000
|-----
| [[Saphir]] || 420 000
|-----
| [[Silice]] (oxyde de silicium SiO<sub>2</sub>) || 107 000
|-----
| Titanate d'aluminium (Ti<sub>3</sub>Al)
| 140 000
|-
| Titanate de baryum (BaTiO<sub>3</sub>)
| 67 000
|-
| [[Verre]] || 69 000
|}
|}
{| width=100%
| valign="top" width=30% |
{| class="wikitable"
|+ [[Bois]]
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[Acajou]] ([[Afrique]]) || 12 000
|-----
| [[Bambou]] || 20 000
|-----
| Bois de rose ([[Brésil]]) || 16 000
|-----
| Bois de rose ([[Inde]]) || 12 000
|-----
| [[Chêne]] || 12 000
|-----
| [[Contreplaqué glaw]] || 12 400
|-----
| [[Épicéa]] || 13 000
|-----
| [[Érable]] || 10 000
|-----
| [[Frêne]] || 10 000
|-----
| [[Papier]] || 3 000 à 4 000
|-----
| [[Séquoia]] || 9 500
|}
<small>N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (bois = matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'[[humidité]], de la [[densité]] (qui n'est évidemment pas constante, bois = matériau hétérogène) et d'autres caractéristiques (longueur des [[fibres]]...).</small>
| valign="top" |
{| class="wikitable"
|+ [[Polymère]]s, fibres
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[caoutchouc (matériau)|caoutchouc]]s || 700 à 4 000<ref>[http://www.journaldunet.com/science/divers/pourquoi/06/elastique/elastique.shtml Pourquoi le caouthouc s'étire?]</ref>
|-----
| [[Fibre de carbone]] || 190 000
|-----
| [[Kevlar]] || 34 500
|-----
| [[Nanotube]]s ([[Carbone]]) || 1 100 000
|-----
| [[Nylon]] || 2 000 à 5 000
|-----
| Plexiglas ([[Polyméthacrylate de méthyle]]) || 2 380
|-----
| [[Polyamide]] || 3 000 à 5 000
|-----
| [[Polycarbonate]] || 2 300
|-----
| [[Polyéthylène]] || 200 à 700
|-----
| [[Polystyrène]] || 3 000 à 3 400
|-----
| Résines [[époxy]] || 3 500
|}
| valign="top" |
{| class="wikitable"
|+ Biomatériaux
! Matériaux
! Module (MPa)
|-----
| [[Cartilage]] || 24
|-----
| [[Cheveux]] || 10 000
|-----
| [[Collagène]] || 6
|-----
| [[Fémur]] || 17 200
|-----
| [[Humérus]] || 17 200
|-----
| Piquant d'[[oursin]] || 15 000 à 65 000
|-----
| [[Os radius|Radius]] || 18 600
|-----
| [[Soie]] d'[[araignée]] || 60 000
|-----
| [[Tibia (os)|Tibia]] || 18 100
|-----
| [[Vertèbre]] cervicale || 230
|-----
| Vertèbre lombaire || 160
|}
|}
== Références ==
<references/>
{{portail physique}}
[[Catégorie:Mécanique des milieux continus]]
[[Catégorie:Biomécanique]]
[[Catégorie:biomathématiques]]
[[af:Young se modulus]]
[[bg:Модул на еластичност]]
[[bn:ইয়ং-এর গুণাঙ্ক]]
[[ca:Mòdul elàstic]]
[[da:E-modul]]
[[de:Elastizitätsmodul]]
[[en:Young's modulus]]
[[es:Módulo de elasticidad]]
[[et:Elastsusmoodul]]
[[fi:Elastiset kertoimet]]
[[gl:Módulo de Young]]
[[he:מודול האלסטיות]]
[[hu:Rugalmassági modulus]]
[[it:Modulo di elasticità]]
[[ja:ヤング率]]
[[lt:Jungo modulis]]
[[lv:Junga modulis]]
[[nl:Elasticiteitsmodulus]]
[[no:E-modul]]
[[pl:Moduł Younga]]
[[pt:Módulo de Young]]
[[ru:Модуль Юнга]]
[[sk:Youngov modul]]
[[sl:Prožnostni modul]]
[[sv:Elasticitetsmodul]]
[[th:มอดุลัสของยัง]]
[[tr:Young katsayısı]]
[[uk:Модуль Юнга]]
[[zh:杨氏模量]]