Moment angulaire
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2008-05-08T09:27:15Z
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robot Ajoute: [[ga:Móiminteam uilleach]]
{{homonyme|Moment}}
[[Image:Gyroskop.jpg|thumb|Un [[gyroscope]] tournant sur un clou]]
En [[physique]], le '''moment angulaire''' ou '''moment cinétique''' est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la [[quantité de mouvement]] dans le cas des rotations.
Comme le moment angulaire dépend du choix de l'origine (ainsi que du [[Référentiel (physique)|référentiel]] d'étude ''(R)'') il faut toujours spécifier cette origine et ne
jamais combiner des moments angulaires ayant des origines différentes.
== Cas d'un point matériel ==
On appelle [[point matériel]] ou [[corps ponctuel]] un système mécanique dont les dimensions sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite...). Le système mécanique est alors modélisé par un point géométrique ''M'' auquel est associé sa masse ''m''.
=== Définition ===
Pour un point matériel ''M'' de vecteur position <math>\vec{r}=\vec{OM}</math> le moment cinétique ou angulaire <math>\vec{L_{O}}</math> par rapport à l'origine ''O'' est défini par :
<center><math>\vec{L_{O}}=\vec{OM} \wedge \vec{p}=\vec{r}\wedge \vec{p}</math>, (1) </center>
où <math>\vec{p}=m\vec{v}</math> est la [[quantité de mouvement]] de la particule. Le moment cinétique est donc le [[moment]] de cette dernière par rapport à ''O''.
<math>\wedge</math> est l'opérateur [[produit vectoriel]].
Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle de centre O et de rayon r : <math>\vec{L_{O}}</math> est dirigé selon l'axe du disque et vaut <math> \vec{L_{O}} = \vec{k} \cdot mvr</math>. Le sens <math>\vec{k}</math> du vecteur moment cinétique ne recouvre pas d'une réalité physique mais d'une convention, c'est un [[vecteur axial]].
Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir l'analogue de la masse : le [[moment d'inertie]] <math>I</math>. En effet : <math>\vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=m \vec{r}\wedge \vec{v}= mr^{2}\dot{\theta} \vec{k} = I \dot{\theta} \vec{k}</math>, où <math>\dot{\theta}</math> est la vitesse angulaire du point M, à laquelle on peut faire correspondre le [[vecteur axial]] <math>\vec{{\dot{\theta}}}=\dot{\theta} \vec{k} </math>.
Le moment cinétique s'écrit finalement :
<center><math>\vec{L_{O}}= I \vec{\dot{\theta}}</math>. </center>
=== Théorème du moment cinétique pour un point matériel ===
Si l'on dérive membre à membre la définion (1) du moment angulaire, il vient, en supposant ''O'' '''fixe''' dans ''(R)'':
<math>\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{dt}\wedge \vec{p}+\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}=\vec{r}\wedge \frac{\vec{dp}}{dt}</math>, puisque <math>\frac{\vec{dr}}{dt}</math> et <math>\vec{p}=m\vec{v}</math> sont colinéaires.
Par ailleurs pour un corps ponctuel, on a ([[Lois du mouvement de Newton#Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique de translation|relation fondamentale de la dynamique]]):
<math>\frac{\vec{dp}}{dt}=\sum_{i} \vec{F_{i}}</math>, (2), le terme de droite correspondant à la somme des forces <math>\vec{F_{i}}</math> (réelles ou "d'[[inertie]]") exercées sur le corps.
Par suite il vient l'équation suivante, dite '''théorème du moment cinétique''':
<center><math>\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{r}\wedge \sum_{i} \vec{F_{i}}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right)</math>, (3)</center>
où <math>\vec{\mathcal{M}_{O}}\left ( \vec{F_{i}}\right)= \vec{r}\wedge \vec{F_{i}}</math> est le [[moment]] de la force <math>\vec{F_{i}}</math> par rapport au point ''O''.
'''Remarque:''' par rapport à un point ''O'' '''mobile''' dans ''(R)'', le théorème du moment cinétique s'écrit:
<math>\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}+\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}=\sum_{i} \vec{\mathcal{M}_{O}}\left (\vec{F_{i}}\right)</math>.
<br />La seule différence vient de l'addition d'un terme complémentaire <math>\vec{v_{O}}\wedge \vec{p}</math> dans le membre de gauche de la relation (3).
== Exemples d'application ==
==== Mouvement à [[force centrale]]: cas général ====
Un cas particulier très important d'utilisation du moment cinétique est celui du ''mouvement à [[force centrale]]'', où le point matériel ''M'' est soumis à une seule force <math>\vec{F}</math> dont la direction passe par un point '''fixe''' dans ''(R)'', appelé centre de force. Par suite en prenant ce centre de force pour origine ''O'', le théorème du moment cinétique (3) implique que le moment cinétique <math>\vec{L_{O}}</math> est une [[intégrale première]] du mouvement :
<math>\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{0}</math>, soit <math>\vec{L_{O}}=\vec{r}\wedge \vec{p}=\vec{cte}</math>, puisque <math>\vec{OM}</math> et <math>\vec{F}</math> sont colinéaires.
Par conséquent le vecteur position <math>\vec{r}</math> et la [[quantité de mouvement]] <math>\vec{p}</math> du corps sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante : '''''la trajectoire est donc plane''''', entièrement contenue dans le plan perpendiculaire à <font style="vertical-align:+25%;"><math>\vec{L_{O}}=\vec{r_{0}}\wedge \vec{p_{0}}</math></font> (l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs).
Le mouvement ne comportant que deux [[degrés de liberté]] on se place en [[coordonnées polaires]] ''(r,θ)'' dans le plan de la [[trajectoire]]. Il vient ainsi :
<font style="vertical-align:+20%;"><math>\vec{L_{O}}=L\vec{e_{z}}</math></font>, avec <font style="vertical-align:+25%;"><math>L\equiv mr^{2}\dot{\theta}</math></font> '''constante'''.
Compte tenu de <math>v^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}</math> en coordonnées polaires, l'[[énergie cinétique]] du point matériel peut se séparer en une partie radiale et une partie angulaire. Elle s'écrit alors <math>E_{k}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}</math>.
==== Mouvement à [[force centrale]]: cas où la force dérive d'une [[énergie potentielle]] ====
Si la force centrale <math>\vec{F}</math> dérive d'une [[énergie potentielle]] <math>V(r)</math>, l'[[énergie mécanique]] du corps se met sous la forme: <math>E_{m}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U_{eff}(r)</math> avec <math>U_{eff}(r)\equiv V(r)+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}</math>, [[énergie potentielle]] '''effective'''.
''On se ramène à un mouvement unidimensionnel d'une particule ''fictive'' dans un [[force conservative|potentiel]] <math>U_{eff}(r)</math>.'' Le terme <math>\frac{L^{2}}{2mr^{2}}</math> étant positif et croissant à courte de distance, il joue le rôle de "[[barrière de potentiel]] [[centrifuge]]".
==== Quelques remarques et références additionnelles ====
# De nombreux auteurs supposent qu'une [[force centrale]] dérive ''toujours'' d'une [[énergie potentielle]]: ceci est '''faux''' en général. Par exemple, pour le [[pendule simple]], la [[Force (physique)|force]] de tension du fil est une force centrale car elle passe toujours par le point de fixation ''O'' du [[pendule]], '''MAIS''' elle ne dérive pas d'une [[énergie potentielle]].
# Une application importante des développements précédents est dans l'étude du [[mouvement keplerien]] des planètes et des satellites. Les [[trajectoire]]s sont alors des [[courbe]]s fermées: [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]]s.
# Il convient de souligner qu'en général les trajectoires obtenues pour une [[énergie potentielle]] ''V(r)'' quelconque ne sont '''pas''' des courbes fermées: seuls le potentiel '''coulombien''' attractif <math>V(r)=-\frac{K}{r}</math> (''K'' constante) et le potentiel '''harmonique''' <math>V(r)=\alpha r^{2}</math> en donneront. Cela provient de l'existence, pour ces potentiels, d'une intégrale première additionnelle (pour le potentiel coulombien, il s'agit du [[vecteur de Runge-Lenz]]), associé à une [[symétrie]] supplémentaire (par transformation du groupe ''O(4)'').
== Cas d'un système matériel ==
=== Définition dans le cas général ===
Si un système est constitué de plusieurs particules (modèle discret), le moment angulaire total est obtenu en additionant ou [[intégrale|intégrant]] le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des [[mécanique des milieux continus|milieux continus]] pour décrire certains systèmes mécaniques ([[modèle du solide (mécanique)|solide]]s, notamment).
Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système ''(S)'' par rapport à une point ''O'' s'écrit :
<math>\vec{L_{O}}=\sum_{i} \vec{OM_{i}}\wedge \vec{p_{i}}</math> ou <math>\vec{L_{O}}=\int_{(S)} \vec{OM}\wedge \rho (M)\vec{v_{M}}d\tau</math>
Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le [[Théorèmes de König (mécanique)|théorème de Koenig]] relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.
Dans le cas d'un système à <math>\dot{\theta}</math> constante (cas des solides notamment), on peut aussi écrire :
<math>L_{O}= I \dot{\theta}</math> où <math>I=\sum_{i} m_{i}r_{i}^2</math> ou <math>I=\int r^2\rho (M) d\tau</math>.
=== [[Théorèmes de König (mécanique)|Thèorème de Koenig]] pour le moment cinétique===
=== Cas d'un [[modèle du solide (mécanique)|solide]]: tenseur d'inertie ===
<!-- The conservation of angular momentum is used extensively in analyzing what is called ''central force motion''. In central force motion, two bodies form an isolated system not influenced by outside forces, and the origin is placed somewhere on the line between the two bodies. Since any force the bodies exert on each other must be directed along this line, there can be no net torque, with respect to the afore-mentioned origin, on either body. Thus, angular momentum is conserved.-->
== Voir aussi ==
===Articles connexes===
* [[Moment (mécanique)]]
* [[Moment cinétique quantique]]
* [[Moment cinétique orbital]] et [[spin]] en mécanique quantique
* [[Moment d'inertie]]
* [[Pseudovecteur]]
=== Liens externes ===
* [http://fr.video.yahoo.com/video/play?ei=UTF-8&b=0&vid=2011147&gid=821644 Une vidéo explicative sur la conservation du moment cinétique]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Grandeur physique]][[catégorie:Mécanique classique]] [[catégorie:Physique quantique]]
[[bg:Момент на импулса]]
[[ca:Moment angular]]
[[cs:Moment hybnosti]]
[[da:Impulsmoment]]
[[de:Drehimpuls]]
[[el:Στροφορμή]]
[[en:Angular momentum]]
[[eo:Angula movokvanto]]
[[es:Momento angular]]
[[eu:Momentu angeluar]]
[[fi:Pyörimismäärä]]
[[ga:Móiminteam uilleach]]
[[gl:Momento angular]]
[[he:תנע זוויתי]]
[[hr:Kutna količina gibanja]]
[[hu:Impulzusmomentum]]
[[id:Momentum sudut]]
[[is:Hverfiþungi]]
[[it:Momento angolare]]
[[ja:角運動量]]
[[ko:각운동량]]
[[lt:Judesio kiekio momentas]]
[[ms:Momentum sudut]]
[[nl:Impulsmoment]]
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[[pl:Moment pędu]]
[[pt:Quantidade de movimento angular]]
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[[ru:Момент импульса]]
[[simple:Angular momentum]]
[[sk:Moment hybnosti]]
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[[sr:Момент импулса]]
[[sv:Rörelsemängdsmoment]]
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[[tr:Açısal momentum]]
[[uk:Момент імпульсу]]
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[[zh:角动量]]