Moment magnétique anormal 648824 24536618 2007-12-30T23:00:35Z Rémih 125151 modèle obsolète == Rappels sur le [[moment magnétique de spin]] == === Définition. Facteur de Landé === Au moment cinétique orbital d'une particule de charge <math>q</math> et de masse <math>m</math> est associé un [[moment magnétique]] orbital : {| align="center" border="0" |<math>\vec{\mu}_L \ = \ \frac{q}{2 m} \ \vec{L}</math> |} Le facteur <math>q/2m</math> est appelé [[rapport gyromagnétique]]. De même, on associe à une particule de charge <math>q</math>, de masse <math>m</math>, et de [[spin]] donné un ''moment magnétique de spin'' : <center> {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="#fff8ff" | <math>\vec{\mu}_S \ = \ g \ \frac{q}{2 m} \ \vec{S}</math> |}</center> où <math>g</math> est un nombre pur, appelé [[facteur de Landé]] (1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule : on a approximativement <math>g=2</math> pour l'électron, <math>g=2.793</math> pour le proton, et <math>g=- \, 1.913</math> pour le neutron <ref>Bien que le neutron ait une charge <math>q = 0</math>, il possède un spin 1/2. On lui attribue ici un facteur de Landé corrspondant au moment magnétique de spin calculé pour la valeur <math>q = e</math>, afin de le comparer à ceux de l'électron et du proton.</ref>. === Magnéton de Bohr === Pour l'électron, on a les valeurs suivante : <math>s= \hbar /2</math> et <math>g=2</math> ; on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelé ''magneton de Bohr'' : <center> {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="#fff8ff" | <math>\mu_{B} = \frac{e \hbar}{2 m_e}</math> |}</center> == Moment magnétique anormal de l'électron == L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à : <math>g=2</math>. Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut : <center> {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="#fff8ff" | <math>g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7</math> |}</center> Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium<ref name="Knecht">Marc Knecht ; ''The anomalous magnetic moments of the electron and the muon'', séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; ''Poincaré Seminar 2002'', Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format [http://parthe.lpthe.jussieu.fr/poincare/textes/octobre2002/Knecht.ps ''PostScript''].</ref>. ==== Anomalie ==== On est ainsi amené à introduire une ''anomalie'' <math>a</math>, définie par : {| align="center" border="0" |<math>g \ = \ 2 \ \left( \, 1 \, + \, a \, \right) \quad \Longleftrightarrow \quad a \ = \ \frac{(g \, - \, 2)}{2}</math> |} La [[théorie quantique des champs]] du [[modèle standard]] permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'[[électrodynamique quantique]] pertubative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la [[constante de structure fine]] <math>\alpha</math>, également appelée ''constante de couplage''. Plus précisément, on est amené a écrire le développement suivant : {| align="center" border="0" |<math>a \ = \ A_1 \ \alpha_1 \ + \ A_2 \ \alpha_1^2 \ + \ A_3 \ \alpha_1^3 \ + \ A_4 \ \alpha_1^4 \ + \ o(\alpha_1^4)</math> |} en puissances de <math> \alpha_1 = \alpha / \pi \simeq \ 0.002 \ 322 \ 819 \ 465 \ 36</math>. Note: Bien qu'anormal, le moment magnétique de l'électron est, à quelques millièmes près, égal au moment magnétique orbital, le magnéton de Bohr. ==== Première correction de Schwinger ==== [[image:Vertex_correction.png|right|frame|Correction à une boucle au vertex électron-photon]] Le premier terme du développement, calculé par [[Julian Schwinger|Schwinger]] en 1948, vaut simplement : <math>A_1 = 1/2 </math>. Ce fut le premier grand succès de la toute nouvelle [[électrodynamique quantique]]. Ce calcul, qui repose sur le [[diagramme de Feynman]] ci-contre, est aujourd'hui un exercice standard pour tout étudiant de troisième cycle débutant en [[théorie quantique des champs]]. Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre de diagrammes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement. ==== Correction d'ordre deux ==== Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat - erroné - a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient<ref name="Knecht"/> : {| align="center" border="0" |<math>A_2 \ = \ \frac{197}{144} \ + \ \left( \frac{1}{2} - 3 \ \ln 2 \right) \ \zeta (2) \ + \ \frac{3}{4} \ \zeta (3) \ \simeq \ - \ 0.328 \ 478 \ 965 ... </math> |} où <math>\zeta (s) </math> est la [[fonction zeta de Riemann]], définie par : {| align="center" border="0" |<math>\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+ \infty} \ \frac{1}{n^s} \qquad \Re e (s) \ > \ 1</math> |} et vérifiant en particulier : <math>\zeta (2) = \pi^2 / 6 </math>. ==== Correction d'ordre trois ==== Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. On obtient une expression analytique compliquée, qu'on trouvera par exemple dans<ref name="Knecht"/> p 101. Numériquement, on obtient : {| align="center" border="0" |<math>A_3 \ \simeq \ + \ 1.181 \ 241 \ 456 ... </math> |} ==== Correction d'ordre quatre ==== Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main en un temps raisonnable ! Il a requis l'usage intensif de l'ordinateur. Le meilleur résultat numérique, publié en 1999, est<ref name="Knecht"/> : {| align="center" border="0" |<math>A_4 \ \simeq \ - \ 1.509 \ 8 \ (38 \ 4) </math> |} ==== Comparaison théorie - expérience ==== L'électron étant le lepton le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du [[modèle standard]]<ref name="Knecht"/> : <center> {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="#fff8ff" | <math>a_{th} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 153 \ 5 \ (24 \ 0)</math> |}</center> L'accord avec le résultats expérimental est à ce jour excellent<ref name="Knecht"/> : <center> {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | bgcolor="#fff8ff" | <math>a_{exp} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 188 \ 4 \ ( 4 \ 3)</math> |}</center> == Annexes == === Articles connexes === * [[Spin]] * [[Moment magnétique de spin]] * [[Moment cinétique quantique]] * [[Moment cinétique orbital]] * [[Théorie quantique des champs]] === Bibliographie === * Sin-Itiro Tomonaga ; ''The story of spin'', The university of Chicago press (1997), ISBN 0-226-80794-0. Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974. * Marc Knecht ; ''The anomalous magnetic moments of the electron and the muon'', séminaire Poincaré (Paris, 12 Octobre 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.) ; ''Poincaré Seminar 2002'', Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7. Texte complet disponible au format [http://parthe.lpthe.jussieu.fr/poincare/textes/octobre2002/Knecht.ps ''PostScript'']. === Notes et références === <references/> [[Catégorie:Physique théorique]] [[Catégorie:Physique quantique]] {{portail physique}}