Mouvement à force centrale
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2008-04-18T21:30:00Z
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En [[mécanique du point]], un '''mouvement à force centrale''' est le mouvement d'un [[point matériel]] <math>M\,</math> soumis uniquement à une [[force centrale]], c'est-à-dire une force toujours dirigée vers le même point noté <math>O\,</math>, appelé ''centre de force''.
Ce type de mouvement est une modélisation de certains phénomènes physiques : il n'est pas rigoureusement présent dans la nature, mais certains mouvements s'en rapprochent. Par exemple, on peut considérer que la [[Terre]] est soumise à une force centrale de la part du [[Soleil]]. Par ailleurs, lorsqu'on utilise une description [[physique classique|classique]] de l'[[atome]], on peut considérer que le mouvement des [[électron]]s est à force centrale autour du [[Noyau atomique|noyau]].
L'étude mathématique de ce type de mouvements permet d'obtenir quelques résultats généraux. On peut montrer par exemple que la [[trajectoire]] est contenue dans un plan, que la [[vitesse aréolaire]] est constante, etc.
==Historique==
Galilée, dès 1610, pressent l'utilité de ce mouvement pour obtenir une ''histoire de la mesure du temps'' : après observation des [[satellite galiléen|satellites médicéens]], il fait un ''[[appel d'offre]]'' en Europe pour le [[calcul des longitudes]], mais celui-ci fut mal reçu. [[Jean-Dominique Cassini (Cassini I)|Cassini I{{er}}]] avec ses [[éphéméride]]s de [[Io (lune)|Io]] ne sera guère plus persuasif (voir [[Ole Christensen Rømer|Olaüs Roemer]]). Ensuite, le problème de l'établissement des cartes maritimes lança la [[Grande Concurrence]], initiée par [[Galileo_Galilei|Galilée]] et [[Christiaan Huygens|Huygens]] ([[Horloge (constellation)|Horologium]] en [[1653]]), entre horloge céleste et chronomètre de marine.
Le problème du mouvement à force centrale fut résolut en premier par [[Isaac Newton]] en [[1687]].
Newton démontre en particulier que la [[trajectoire]] est contenue dans un plan passant par le centre de force et perpendiculaire au [[moment cinétique]], qui est alors constant. C'est d'ailleurs initialement dans le sens inverse que Newton l'a démontré : le moment cinétique étant démontré constant, cela implique que la trajectoire est plane.
Cette trajectoire est décrite selon la seconde [[Lois de Kepler|loi de Kepler]] dite aussi ''lois des aires'' : ''des aires égales sont balayées dans des temps égaux''.
[[Robert Hooke]] a résolu le cas particulier dit « de Hooke », où la force centrale est proportionnelle à la distance séparant le centre de force du point en mouvement (voir [[ellipse de Hooke]]).
[[Jacques Philippe Marie Binet|Jacques Binet]] exprima, au travers de [[Jacques_Philippe_Marie_Binet#Formules de Binet|ses formules]], la [[vitesse]] et l'[[accélération]] d'un point animé d'un mouvement à force centrale. Ces formules permettent, par exemple, d'obtenir les trajectoires elliptiques des planètes, redémontrant ainsi la [[Lois_de_Kepler, démonstration#Première partie de la première loi (1609)|première loi de Kepler]].
== Exemples ==
Quelques cas particuliers ont été étudiés mathématiquement :
* le cas d'une force de rappel élastique : voir [[ellipse de Hooke]],
* le cas des orbites bornées à énergie négative,
* les cas des forces proportionnelles à <math>r^p </math> pour p valant -5, -3, 0, 1/3, 3/2, 5/3, 7/3, 5/2, 4, 5 ou 7.
Des exemples dans la nature ont également été traités :
* le mouvement des planètes : voir [[lois de Kepler]],
* la [[Diffusion des ondes|diffusion]], comme la [[diffusion Rutherford]] qui se traite via la [[symétrie de Corinne]].
==Propriétés générales ==
Pour obtenir les principales caractéristiques d'un mouvement à force centrale, il n'est pas nécessaire que cette force <math>\vec F</math> [[dérivée|dérive]] d'une [[énergie potentielle]]<ref> Certaines forces ont un caractère "central" sans dériver d'une énergie potentielle : par exemple la force de tension du fil dans le [[pendule simple]].</ref> comme c'est le cas de plusieurs types de forces comme la [[Loi de Coulomb (électrostatique)|force coulombienne]].
=== Planéité de la trajectoire ===
Le [[théorème du moment cinétique]] appliqué au centre de force ''O'' dans un référentiel galiléen donne:
:<math>\frac{\vec{dL_{O}}}{dt}=\vec{OM}\wedge \vec{F}=\vec{0}</math>, où <math>\vec L_{O}</math> est le [[moment cinétique]] au point ''O''.
Par conséquent, le moment cinétique est constant au cours du mouvement<ref>Fondamentalement, le fait que le [[moment cinétique]] soit constant vient de la [[symétrie]] centrale SO(3), voir [[théorème de Noether]].</ref>. Il s'en suit que le vecteur position <math>\vec{OM}</math> et la [[quantité de mouvement]] <math>\vec{p}</math> du point ''M'' sont à tout instant perpendiculaires à un vecteur de direction constante : la trajectoire est donc plane, entièrement contenue dans le plan perpendiculaire à <math>\vec{L_{O}}</math>.
Le mouvement peut donc être étudié uniquement dans ce plan sur lequel on choisit les [[coordonnées polaires]] ''r'' et <math>\theta </math> pour indiquer la position du point ''M''. On peut alors montrer que la [[Norme (mathématiques)|norme]] constante du moment cinétique vaut :
:<math>L = mr^{2}\dot{\theta}</math>.
Ceci implique directement que le signe de <math>\dot{\theta}</math> reste identique au cours du mouvement : le point ''M'' décrit toujours la trajectoire dans le même sens.
=== Loi des aires ===
On peut montrer que l'aire balayée par le vecteur position <math>\vec{r}</math> pendant un temps ''dt'' vaut <math>\frac{C}{2}dt</math> où ''C'' est une constante, appelée '''constante des aires''' donnée par :
:<math>C = \frac{L}{m} =r^2\dot\theta</math>.
Autrement dit, la ''vitesse aérolaire'' est une constante autour du mouvement.
Cette '''loi des aires''' fut énoncée de façon empirique pour la première fois en 1609 par [[Johannes Kepler]] d'après le mouvement des [[planète]]s autour du [[Soleil]] (Cf. [[lois de Kepler]]). C'est en réalité une propriété générale de tout mouvement à force centrale.
Elle implique notamment que <math>\theta=f(t)</math> est fonction strictement [[monotone]] du temps. Il existe donc une [[fonction réciproque]] <math>t=f^{-1}(\theta)</math>. C'est-à-dire que pour un angle donné, il est possible de déterminer le temps correspondant<ref>C'est [[empirique]]ment ce que fait un [[cadran solaire]] analemmatique.</ref>. La fonction réciproque de l'[[équation du temps de Kepler]] posa par exemple de beaux problèmes mathématiques à [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] et [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].
=== Expression de l'énergie cinétique, effet centrifuge ===
Le calcul de l'[[énergie cinétique]] du point matériel ''M'' donne son expression :
:<math>E_c=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}</math>.
qui se décompose en deux termes :
* le premier est celui d'une particule de masse ''m'' effectuant un mouvement unidimensionnel (selon la direction de r),
* le second est analogue à une [[énergie potentielle]] [[potentiel coulombien|coulombienne]] répulsive qui agit comme une force ''centrifuge''.
== Cas d'une force centrale conservative ==
Pour simplifier le problème, on peut choisir une force centrale conservative, c'est-à-dire qu'elle dérive d'une énergie potentielle<ref>Cette énergie potentiel ne dépend que de ''r'' car la force est centrale, et tend souvent vers 0 à l'infini.</ref> ''V'' par la formule :
:<math>\vec F=-\vec{grad}(V)</math>.
C'est le cas, par exemple, du mouvement des planètes autour du soleil.
=== Energie potentielle effective ===
D'après la loi de [[conservation de l'énergie]], l'énergie totale <math>E=E_c+V </math> est une constante. Compte tenu de l'expression précédente de l'[[énergie cinétique]], cette énergie totale se met sous la forme :
:<math>E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+U_{eff}(r)\quad</math> où <math>\quad U_{eff}(r)= V(r)+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}</math> est appelée l'''énergie potentielle effective''.
Le phénomène est donc analogue à un mouvement unidimensionnel d'une particule ''fictive'' de masse ''m'' dans un [[force conservative|potentiel]] <math>U_{eff}(r)</math>. Ce potentiel fait apparaître, en plus de ''V'', la ''force centrifuge'' introduite plus haut. Cela correspond donc à une compétition entre deux forces : par exemple, dans le cas du mouvement d'une planète, il y a compétition entre l'attraction vers le soleil, et la force centrifuge.
=== Cas d'un champ attractif ===
Dans le cas d'un champ ''attractif'', le potentiel effectif ''U<sub>eff</sub>(r)'' présente un [[puits de potentiel]] : il est fortement répulsif à courte distance d'après la "barrière centrifuge", et attractif à longue distance. Et comme <math>r^2</math> est toujours positif, on a nécessairement l'inégalité suivante :
:<math>E \ge U_{min}</math>,
où <math>U_{min} </math> est la valeur minimale prise par le potentiel effectif (à la distance ''r<sub>m</sub>'').
Le mouvement est alors différent selon les valeurs de ''E<sub>m</sub>''.
* Si <math>E \ge 0</math>, le corps peut s'éloigner à l'infini (''mouvement non-borné'')<ref>Cela exclut tout potentiel attractif qui ne tend pas vers une constante à l'infini.</ref>.
* Si <math> U_{min} < E \le 0</math>, le ''mouvement est borné'' entre les positions ''r<sub>min</sub>'' et ''r<sub>max</sub>''. Le mouvement ''radial'' (selon ''r'') est alors [[périodique]] : il présente une [[oscillation]] entre ''r<sub>min</sub>'' et ''r<sub>max</sub>''.
* Si <math>E=U_{min} </math>, la trajectoire est ''circulaire'' de rayon ''r<sub>m</sub>'' quelle que soit ''V(r)''.
* Si <math>E < U_{min} </math>, le mouvement est impossible. En fait, dans le cas du champ coulombien attracteur, cette situation correspondrait à une énergie mécanique initiale insuffisante pour "satelliser" la particule.
=== Expressions générales des équations horaire et polaire===
Le mouvement à force centrale ''conservative'' possède trois [[degré de liberté|degrés de liberté]] : les coordonnées ''r'' et <math>\theta </math> dans le plan du mouvement, et le temps ''t''. De plus il existe deux constantes du mouvement : le [[moment cinétique]] <math>\vec{L_{O}}</math> et l'[[énergie mécanique]] <math>E</math>. Le problème possède alors une solution exacte qu'il est possible d'obtenir<ref>Voir [[Lev Landau|Landau]] et Lifchitz, ''Physique théorique T1: Mécanique'', 5<sup>ème</sup> édition Française, Ellipses-Marketing, 1994.</ref>.
La solution peut s'écrire, soit par une ''équation horaire'' (''r(t)''), soit par une ''équation polaire'' (''r(θ)''). En effet, la loi des aires vue plus haut montre qu'il est possible d'interchanger ''t'' et ''θ''. On étudie brièvement ces deux possibilités :
* En exprimant la conservation de l'énergie, on obtient une [[équation différentielle de Newton]] qui a pour solution :
::<math>t-t_{0}=\int_{r\left (t_{0}\right )}^{r}{\frac{dr'}{\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r' \right ) \right )}}}\,</math>.
:Par inversion il est possible d'obtenir la forme analytique de ''r(t)''. On peut alors utiliser cette valeur pour calculer <math>\theta(t)</math> grâce à la constante des aires. Finalement, les lois horaires ''r(t)'' et ''θ(t)'' donnent l'équation paramétrée de la trajectoire en [[coordonnées polaires]].
*Si l'on ne cherche que la [[cinématique|trajectoire]], et pas l'évolution du mouvement dans le temps, on peut éliminer le temps ''t'' pour le remplacer par ''θ'' en utilisant la loi des aires. On obtient alors une autre équation différentielle de Newton dont l'on peut aussi trouver la solution :
::<math>\theta-\theta_{0} =\int_{r\left (\theta_{0} \right )}^{r}{\frac{Cdr'}{r'^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r' \right ) \right )}}}</math>.
:On obtient ainsi l'''équation polaire'' <math>r(\theta) </math>, c’est-à-dire l'équation de la trajectoire en [[coordonnées polaires]].
Ces expressions intégrales peuvent être très complexes à évaluer directement. Dans certains cas, notamment celui du [[problème à deux corps]], des techniques de résolutions plus simples que celle de l'évaluation explicite de l'intégrale peuvent être utilisées.
=== Possibilités d'orbites fermées ===
Dans le cas d'un mouvement borné, le mouvement ''radial'' (''r(t)'') est périodique, de période ''T<sub>r</sub>''. D'après le paragraphe précédent, l'équation horaire donne l'expression suivante :
:<math>T_{r}=2\int_{r_{min}}^{r_{max}}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r \right ) \right )}}}\,</math>,
où <math>r_{min} </math> et <math>r_{max} </math> sont les rayons minimum et maximum accessibles.
Cela ne signifie pas que le mouvement global est périodique, donc que la trajectoire est une courbe ''fermée''. En effet il faudrait pour cela qu'au bout d'un nombre entier ''n'' de périodes radiales ''T<sub>r</sub>'', l'angle ''θ'' ait effectué un nombre entier ''p'' de tours complets. On dit aussi que la ''période angulaire'' ''T<sub>ang</sub>'' doit être commensurable avec la ''période radiale'' ''T<sub>r</sub>''<ref> On a alors ''dégénerescence du mouvement, voir Landau, ''op. cit.'', paragraphe 52.</ref>.
Or la variation <math>\Delta\theta</math> de l'angle polaire ''θ'' pendant la période radiale ''T<sub>r</sub>'' s'exprime par :
:<math>\Delta\theta =2\int_{r_{min}}^{r_{max}}{\frac{Cdr}{r^{2}\sqrt{\frac{2}{m}\left (E_{m}-U_{eff}\left (r \right ) \right )}}}</math>.
D'après ce qui précède, la trajectoire sera fermée si et seulement si on a <math>\Delta\theta=2\pi\frac{p}{n}</math>. Ceci n'est vérifié, pour les champs conservatifs, que par deux types de forces centrales : la force en 1/r² (de type coulombien) et la force de [[rappel élastique]] (ce résultat constitue le [[théorème de Bertrand]]).
;Remarques techniques :
* L'existence de trajectoires fermées est associée à une [[symétrie]], ce qui se manifeste par l'existence d'une constante du mouvement additionnelle. Par exemple, pour le champ coulombien, il s'agit du [[vecteur de Runge-Lenz]].
* En [[mécanique quantique]], les champs présentant classiquement des orbites fermées exhibent une [[dégénérescence]] ''accidentelle'' de leurs [[niveau d'énergie|niveaux d'énergie]]. Par exemple, pour le champ coulombien, alors que la théorie générale prévoit des niveau ''E<sub>n,l</sub>'', on obtient des niveau ''E<sub>n</sub>'' ne dépendant que d'un seul nombre quantique. L'origine est une symétrie additionnelle du champ coulombien vis-à-vis des rotations de l'espace à 4 dimensions (groupe ''O(4)'')<ref> Voir Landau et Lifchitz, ''Physique théorique T3: Mécanique quantique'', Mir, Moscou, 1988.</ref>.
*Soit P la [[Projection_(géométrie)|projection]] de O sur la tangente à la trajectoire de ''M''. La trajectoire de ''P'' est appelée la ''[[podaire]]'' de O. L'inverse de la podaire donne, à une rotation près, ce que l'on appelle l'[[hodographe]]. Réciproquement, l'[[antipodaire]] de l'inverse de la podaire redonne la trajectoire. Ainsi, l'orbite de l'espace des phases, dont la projection sur (O, x, y) est la trajectoire et dont la projection sur l'espace des vitesses (O, Vx, Vy) est l'hodographe, est donc très particulier. Newton accordant une attention toute particulière aux podaires et antipodaires. À cette époque, tout le monde savait que l'inverse d'un cercle était un cercle et l'antipodaire d'un cercle une ellipse. À une trajectoire elliptique de Kepler correspondait donc un hodographe circulaire. D'une manière ou d'une autre, les [[lois de Kepler]] ont été démontrées via cet hodographe circulaire. Plusieurs scientifiques pourraient être à l'origine de cette découverte : Newton dans ses brouillons perdus, comme il l'affirme en août [[1684]] à [[Edmond_Halley|Halley]], [[Jakob Hermann|Hermann]] ([[1678]] - [[1733]]) dont on voit la démonstration dans la troisième édition des ''[[Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica|Principia]]'', etc.
== Notes et références ==
<references />
== Voir aussi ==
*[[Force centrale]]
*[[Principia et Calculus]]
*[[Exégèse des Principia]]
*[[Mouvement central discret]]
*[[Mouvement keplerien]]
*[[Equation du centre]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Mécanique du point]]