Multiplicateur de Lagrange 222152 28697502 2008-04-16T12:17:55Z Alexalaville 182678 /* Écriture du problème */ {{ébauche|analyse}} {{voir homonymes|Théorème de Lagrange}} Le '''multiplicateur de Lagrange''' est une méthode permettant de trouver des points stationnaires (maximum, minimum...) d'une fonction [[dérivabilité|dérivable]] d'une ou plusieurs variables. Cette technique est utile entre autres pour résoudre les problèmes d'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation]] sous contrainte(s) (linéaire(s)). Supposons que le problème soit de trouver un [[Plus grand élément|extremum]] d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] de N variables, tout en imposant K contraintes sur les valeurs de celle-ci. La méthode consiste à introduire une inconnue scalaire supplémentaire - appelée ''multiplicateur de Lagrange'' - par contrainte; il y a donc K multiplicateurs. On forme ensuite une [[combinaison linéaire]] de la fonction et des contraintes, où les coefficients des contraintes sont les multiplicateurs de Lagrange. Le problème passe ainsi d'un problème d'optimisation avec contrainte à un problème non contraint, qui peut être résolu par une méthode adaptée ([[Méthode du gradient conjugué|gradient conjugué]], par exemple). [[Hugh Everett]] a généralisé la méthode aux fonctions non-dérivables, sous réserve de disposer d'un algorithme déterminant l'optimum (ou les optima) d'une fonction sans contrainte (dans la pratique, on doit se contenter d'[[heuristique]]s). ==Écriture du problème== Soit le problème d'optimisation : <math>\mathrm{Min}\ F(X)</math> où <math>X = \{x_1, x_2, \ldots x_n\}</math> soumis à des contraintes d'égalité <math>g_k(X) = 0 \qquad k = 1, 2, ... m</math><ref>Si le nombre m de contraintes est supérieur au nombre n de variables, le problème est surcontraint et n'admet en général pas de solution.</ref> On définit alors la fonction <math> \displaystyle H(X, \lambda) </math> comme : :<math>H(X, \lambda) = F(X) + \sum_{k=1}^m \lambda_k g_k (X)</math> On cherche maintenant l'extremum de <math> H(X, \lambda) </math> : :<math>\frac{\partial H(X, \lambda)}{\partial x_i} = 0,</math><br> ce qui est équivalent à : :<math>\frac{\partial F(X)}{\partial x_i} = - \sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial g_k(X)}{\partial x_i}.</math><br> Autrement dit, la méthode des multiplicateurs de Lagrange stipule qu'on atteint la valeur optimale de <math>F(X)</math> pour les valeurs <math>x_i</math> de <math>X</math> qui satisfont le système : <math> \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\partial F(X)}{\partial x_1} + \displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial g_k(X)}{\partial x_1} &=& 0 \\ \vdots \\ \dfrac{\partial F(X)}{\partial x_n} + \displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial g_k(X)}{\partial x_n} &=& 0 \\ g_1(X) &=& 0\\ \vdots\\ g_m(X) &=& 0\\ \end{matrix} \right . </math> Cette méthode peut être généralisée aux problèmes d'optimisation incluant des contraintes d'inégalités (ou non linéaires) en utilisant les [[conditions de Kuhn-Tucker]]. Mais également sur des fonctions discrètes à maximiser ou minimiser sous contraintes, moyennant un changement d'interprétation, en utilisant la méthode des ''multiplicateurs d'Everett'' (ou ''de Lagrange généralisés''), plus volontiers appelée ''méthode des pénalités''. == Exemples == ===Équation du mouvement=== L'application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange en [[mécanique classique]] fait apparaître le sens de ces multiplicateurs. Les équations du mouvement peuvent s'exprimer à l'aide du formalisme [[lagrangien]], c'est-à-dire à partir de la fonction de Lagrange, et des équations d'Euler-Lagrange. On considère une [[masse]] ponctuelle, qui se déplace sur un cercle ayant pour rayon <math>R</math>. Le [[lagrangien]] en [[coordonnées polaires]] est donné par : :<math> L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)</math><br> avec la condition <math>g = r-R=0</math><br> On obtient la fonction : :<math>L^\prime=L+\lambda g</math> De l'équation d'Euler-Lagrange<ref>on s'intéresse ici qu'a la composante radiale, car la contrainte ne dépend que de cette coordonnée.</ref>, :<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L^\prime}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L^\prime}{\partial r} = 0</math>,<br> on trouve alors : :<math>m \ddot{r} - m r \dot{\varphi}^2 - \lambda =0</math><br> avec <math> \ddot{r}=0</math> et <math>r=R</math>. :<math>\lambda = -mR \dot{\varphi}^2</math> Le terme <math>\lambda g</math> correspondant à la [[force centripète]] exprimé en coordonnées polaires, lorsque le mouvement d'une [[masse]] ponctuelle est ''limitée'' à se déplacer sur un [[cercle]]. ===Calcul d'un volume=== Supposons que l'on veuille déterminer le rayon '''''R''''' et la hauteur '''''H''''' d'un cylindre qui minimisent la surface '''''S''''' de celui-ci, tout en ayant un volume '''''V''''' imposé. Le problème peut se formaliser de la manière suivante : On cherche à minimiser la fonction <math> S(R,H)=2\times \pi\times R\times (R+H)</math><br> avec la condition <math> g(R,H)=\pi\times R^2\times H-V=0</math><br> Ayant une seule contrainte, on ajoute un seul multiplicateur de Lagrange : :<math> L(R,H,\lambda)=S(R,H)+\lambda\times g(R,H) </math> Le problème revient maintenant à minimiser le Lagrangien <math> L(R,H,\lambda)=2\times\pi\times R\times H+2\times\pi\times R^2+\lambda\times(\pi\times R^2\times H-V) </math> On cherche donc à annuler le [[Gradient]] du Lagrangien, soit : <math>\nabla L=0</math>, ce qui nous amène au système : <math> \left\{ \begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial R} &=& 2.\pi.H+4.\pi.R+2.\pi.\lambda.H.R &=& 0 &(1)&\\ \\ \frac{\partial L}{\partial H} &=& 2.\pi.R+\lambda.\pi.R^2 &=& 0 &(2)&\\ \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &=& \pi.R^2.H-V &=& 0 &(3)&\\ \end{matrix} \right . </math> L'équation ''(2)'' nous donne : <math>R=-\frac{2}{\lambda}</math><br> L'équation ''(1)'' nous donne : <math>H=-\frac{4}{\lambda}</math><br> L'équation ''(3)'' nous donne enfin : <math>\lambda=-2\times\left(\frac{2.\pi}{V}\right)^{1/3}</math> Si le volume imposé est <math>V=1m^3</math>, l'optimum de la fonction '''''S''''' est : <math> \left\{ \begin{matrix} R\approx 0,542(m)\\ \\ H\approx 1,084(m)\\ \end{matrix} \right . </math> Et la fonction vaut <math>S\approx 5,536m^2</math> en ce point. ==Notes== {{Références|colonnes=1}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Optimisation]] [[Catégorie:Lagrange]] [[bg:Оператор на Лагранж]] [[ca:Multiplicadors de Lagrange]] [[de:Lagrange-Multiplikator]] [[en:Lagrange multipliers]] [[es:Multiplicadores de Lagrange]] [[fi:Lagrangen kertoimet]] [[he:כופלי לגראנז']] [[it:Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]] [[ja:ラグランジュの未定乗数法]] [[pl:Mnożniki Lagrange'a]] [[ro:Multiplicatorul Lagrange]] [[ru:Метод множителей Лагранжа]] [[sv:Lagrangemultiplikator]] [[zh:拉格朗日乘数]]