Nombre
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2008-06-30T08:24:19Z
MelancholieBot
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{{Nombre|float=right}}
Un '''nombre''' est un [[concept]] permettant d'évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de [[grandeur]]s, mais aussi d'ordonner des éléments par une numérotation. La complexité de cette notion est telle que certains dictionnaires s'avouent impuissants à la définir<ref>Le ''Petit Robert de la langue française'' et le ''Trésor de la Langue Française Informatisé'' rapportent que « le nombre est une des notions fondamentales de l'entendement […] qu'on ne peut définir. » Le ''Petit Larousse illustré'' soutient que le nombre « ne peut faire l'objet d'une définition stricte ».</ref>.
En [[mathématiques]], cette difficulté est partiellement résolue par la proposition : « un nombre est un élément d'un ensemble de nombres »<ref>Stella Baruk, ''Dictionnaire de mathématiques élémentaires'', Éditions du Seuil, 1992.</ref>.
Ces [[ensemble]]s ou classes de nombres étendent la notion fondamentale de nombre [[entier naturel]] de diverses manières pour définir des [[opération (mathématiques)|opérations]], résoudre des [[équation]]s, donner un sens à certaines approximations ou appréhender l'[[infini]].
Le nombre est à distinguer de son écriture, composée d'un ou plusieurs [[chiffre]]s et dépendante du [[système de numération]] employé.
{{article détaillé|amorce=La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article|Nombre grammatical}}
== Notions à distinguer ==
; Chiffre
Un [[chiffre]] est un caractère utilisé à l'écriture d'un nombre ou d'un numéro. L'erreur la plus fréquente est de confondre le chiffre avec le nombre. Les chiffres généralement utilisés pour l'écriture des nombres sont : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Mais il en existe d'autres, utilisés dans des cas particuliers, comme les chiffres romains, I, V, X, L, C, D, M, qui sont utilisés pour la numérotation des pages de préfaces de livres, sur les pierres tombales, ...
; Nombre
Les nombres sont utilisés pour résoudre des problèmes faisant intervenir des valeurs. Mais attention, un nombre n'est pas une quantité. C'est un [[objet]] [[Mathématiques|mathématique]] qui répond à des lois précises.
; Nombre cardinal
Un [[nombre cardinal]] est un type de nombre particulier utilisé pour le dénombrement des ensembles. Il ne faut pas les confondre avec les [[adjectif numéral|adjectifs numéraux cardinaux]].
; Nombre ordinal
Un [[nombre ordinal]] est un type de nombre particulier utilisé pour marquer l'ordre des éléments d'un ensemble. Il ne faut pas les confondre avec les [[adjectif numéral|adjectifs numéraux ordinaux]]. L'énumération avec les nombres ordinaux commence par « 0 », tandis qu'avec les adjectifs numéraux ordinaux elle commence par premier ou « 1 ».
; Numéro
Un [[numéro]] est simplement une combinaison de chiffres qui ne respecte pas nécessairement une énumération et joue généralement le rôle d'une étiquette numérique.
== Types de nombres ==
{{Numération}}
Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les [[entier naturel|entiers naturels]] : 0, 1, 2, 3, … éléments de l'ensemble <math>\N</math>, et utilisés pour le [[dénombrement]].
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des [[nombre entier|nombres entiers relatifs]] <math>\mathbb{Z}</math>. Il existe également l'ensemble des [[développement décimal|nombres décimaux]] noté <math>\mathbb{D}</math>. Si d appartient à <math>\mathbb{D}</math>, alors <math>d = a\cdot 10^p</math> où a appartient à <math>\mathbb{Z}</math> et p appartient à <math>\mathbb{Z}</math>.
La division d'un entier relatif par un entier relatif non nul forme un nombre rationnel. L'ensemble de tous les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] est noté <math>\mathbb{Q}\,</math>. Il résulte de la réunion de l'ensemble des nombres à [[développement décimal]] fini (les nombres décimaux) et de celui des nombres périodiques.
Si, dans l'ensemble, outre les éléments de <math>\mathbb{Q}</math>, on inclut tous les [[développement décimal|développements décimaux]] infinis et non périodiques, on obtient l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]], noté <math>\R</math>. Tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]]. <math>\R</math> est la réunion de l'ensemble des [[nombre algébrique|nombres algébriques]] (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des [[nombre transcendant|nombres transcendants]].
Les nombres réels peuvent être étendus aux [[nombre complexe|nombres complexes]], dont l'ensemble est noté <math>\mathbb{C}</math>, qui est un [[corps algébriquement clos]] dans lequel chaque [[polynôme]] à coefficients complexes peut être complètement factorisé.
Nous avons donc une hiérarchie d'ensembles :
:<math>\N\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{D}\sub\mathbb{Q}\sub\R\sub\mathbb{C}</math>
Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux [[quaternion]]s, mais la multiplication des quaternions n'est plus [[Commutativité|commutative]]. Les [[octonion]]s, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'[[associativité]] est perdue. Les [[sédénion]]s étendent à leur tour l'ensemble des octonions.
En fait, les seules [[algèbre]]s de division associatives à dimension finie sur <math>\R</math> sont les nombres réels, les nombres complexes et les quaternions.
Les éléments des [[corps de fonctions algébriques]] de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres.
<math>1+\cfrac{2}{
3+\cfrac{4}{
5+\cfrac{6}{7+\dotsb}}} =
\frac{1}{\sqrt e - 1}
</math>
== Histoire ==
Les nombres sont apparus dans cet ordre :
* Les [[entier naturel|entiers naturels]],
* Les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs,
* Le [[0 (nombre)|zéro]],
* Les [[entier relatif|entiers relatifs]],
* Les [[nombre rationnel|nombres rationnels]],
* Les [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]] et les [[nombre réel|nombres réels]],
* Les [[nombre complexe|nombres complexes]],
* Les [[nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]] ([[quaternion]]s),
* Les [[nombre p-adique|nombres p-adiques]],
* Les [[nombre transcendant|nombres réels transcendants]] et les [[nombre algébrique|nombres réels algébriques]],
* Les [[nombre transfini|nombres transfinis]], constitués des [[nombre ordinal|ordinaux]] et [[nombre cardinal|cardinaux]]
* Les [[nombre hyperréel|nombres hyperréels]],
* Les [[nombre réel calculable|nombres réels calculables]],
* Les [[nombre surréel et pseudo-réel|nombres surréels et pseudo-réels]].
Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées.
La compréhension des limites des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] et de la nécessité des [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]] fut particulièrement douloureuse pour les [[École pythagoricienne|pythagoricien]]s ; on dit même que cela scella la fin de cette École.
Les [[nombre complexe|nombres complexes]] se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les [[Équation polynomiale|équations polynomiales]] (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres à part entière.
Les [[nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]] furent inventés par [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] ([[quaternion]]s) puis par [[Arthur Cayley|Cayley]] ([[octonion]]s) et les [[sédénion]]s par la [[construction de Cayley-Dickson]]. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une [[Base (algèbre linéaire)|base]] à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les [[biquaternion]]s.
L'apparition des [[nombre p-adique|nombres p-adiques]] est liée à la notion de [[valeur absolue]], et sont très utilisés en [[théorie des nombres]].
Les [[nombre hyperréel|nombres hyperréels]] furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par [[Abraham Robinson]] permit le développement de l'[[analyse non-standard]]. Les [[nombre pseudo-réel|nombres pseudo-réels]] sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyperréels, mais la construction est différente.
Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'[[addition]], la [[soustraction]], la [[multiplication]] et la [[division]] sont généralisées dans la branche des [[mathématiques]] appelée [[algèbre abstraite]] dans laquelle on obtient les [[groupe (mathématiques)|groupe]]s, les [[anneau (mathématiques)|anneaux]] et les [[corps (mathématiques)|corps]].
==Voir aussi==
* [[Numération]] ;
* [[Construction du nombre chez l'enfant]]
* [[Système de numération]] ;
* [[Mathématiques]] ;
* [[Fraction (mathématiques)|Fraction]] ;
* Les dix premiers nombres entiers ou chiffres, qui servent à former tous les nombres dans la [[nombre décimal|numérotation décimale]] : [[0 (nombre)|zéro]], [[1 (nombre)|un]], [[2 (nombre)|deux]], [[3 (nombre)|trois]], [[4 (nombre)|quatre]], [[5 (nombre)|cinq]], [[6 (nombre)|six]], [[7 (nombre)|sept]], [[8 (nombre)|huit]], [[9 (nombre)|neuf]] ;
* [[Nombre premier]] ;
* [[Gogol (nombre)|Gogol]] ;
* [[Nombres en français]] ;
* [[Nom des grands nombres]] ;
* [[Nombres dans le monde]] ;
* [[Liste des nombres]] ;
* [[Liste des grands nombres]] ;
* [[Suite d'entiers]] ;
* Les [[ordinal|nombres ordinaux]] et [[Nombre cardinal|cardinaux]] ;
* [[Table des diviseurs]]
* [[Nombre grammatical]].
== Notes et références ==
{{références}}
== Liens externes ==
{{wiktionnaire|nombre}}
* [http://www.radio-canada.ca/tv/decouverte/3_chif/ Dossier sur l’histoire des chiffres sur Radio Canada]
* Jean-Pierre Dedieu, [http://www.mip.ups-tlse.fr/~dedieu/Book-20-04-04.pdf ''Les mots des nombres''], 7 février 2007.
== Bibliographie==
* John H. Conway, Richard K. Guy, ''Le Livre des Nombres'', Paris, Eyrolles, [[1998]], ISBN 2-212-03638-8
* Heinz-Dieter Ebbinghaus, et al. , ''Numbers'', New York, Springer, 1991, ISBN 0-387-97497-0
* Paul Benoît, Karine Chemla, Jim Ritter (éds), Histoire de fractions, fractions d'histoire, Basel, Birkhäuser, 1992
* [[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres'', Éditions Robert Laffont, collection "Bouquins"
* ''Le mystère des nombres'', Hors-série Science et Avenir (2004)
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Numération]]
[[Catégorie:Nombre|*]]
[[ar:عدد]]
[[ast:Númberu]]
[[az:Ədəd]]
[[be-x-old:Лік]]
[[bg:Число]]
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[[br:Niver]]
[[ca:Nombre]]
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[[ht:Nonm]]
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