Nombre complexe 2224 31831234 2008-07-23T20:11:52Z TXiKiBoT 195090 robot Ajoute: [[vls:Complexe getalln]] {{Voir homonymes|complexe}} Un '''nombre complexe''' est un objet [[mathématiques|mathématique]] servant à définir des solutions supplémentaires à certaines [[équation]]s (normalement insolubles) et avec lequel s'étendent les quatre opérations usuelles des [[Nombre réel|nombres réels]]. Les nombres complexes furent introduits au {{XVIe siècle}} par les mathématiciens italiens [[Jérôme Cardan]], [[Raphaël Bombelli]], [[Niccolo Fontana Tartaglia|Nicolo Fontana, dit Tartaglia]], et [[Ludovico Ferrari]] afin d'exprimer les solutions des [[Équation cubique|équations du troisième degré]] en toute généralité par les [[formules de Cardan]], en utilisant notamment des nombres de [[carré (algèbre)|carré]] [[Nombre négatif|négatif]], ainsi que les solutions des équations du quatrième degré ([[méthode de Ferrari]]). {{Wikiversity|Nombre complexe|les nombres complexes}} L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du [[nombre imaginaire]] <math>\scriptstyle{i}</math> satisfait les propriétés d'une structure de [[Corps (mathématiques)|corps commutatif]] qui contient le corps des réels. Il est appelé '''corps des nombres complexes''' et se note <math>\mathbb C</math>. Il est muni de l'application [[module d'un nombre complexe|module]] qui généralise la [[valeur absolue]] des nombres réels mais ne peut pas être [[relation d'ordre|ordonné totalement]] de façon [[Corps ordonné|compatible]] avec sa structure de corps. Ce n'est qu'à partir du {{XIXe siècle}} que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, vus comme des éléments ou des [[Transformation géométrique|transformations]] du [[Plan (mathématiques)|plan]], sous l'impulsion de l'abbé Buée et de [[Jean-Robert Argand]] (plan d'Argand), puis avec les travaux de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] et de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]. En algèbre, le [[théorème de d'Alembert-Gauss]] identifie le degré d'un [[polynôme]] complexe non nul au nombre de ses [[racine (mathématiques)|racines]] comptées avec leur [[Fonction polynôme#Ordre de multiplicité d'une racine|ordre de multiplicité]]. Le corps des nombres complexes est donc [[Clôture algébrique|algébriquement clos]].<br /> En analyse, l'[[Exponentielle#Fonction exponentielle dans le plan complexe|exponentielle complexe]] permet de simplifier l'étude des [[série de Fourier|séries de Fourier]] puis de définir la [[transformée de Fourier]]. La branche de l'[[analyse complexe]] concerne l'étude des fonctions [[Dérivée|dérivables]] au sens complexe, appelées fonctions [[Fonction holomorphe|holomorphes]].<br /> En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'[[Circuit RLC|oscillateurs électriques]] ou les phénomènes ondulatoires en [[électromagnétisme]]. [[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|thumb|300px|L'[[ensemble de Mandelbrot]] (en noir), illustration d'un système dynamique sur le plan complexe]] == Description == === Notations des nombres complexes === Les nombres complexes, notés habituellement <math>z</math>, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières : * forme cartésienne, ** algébrique : <math> z = x + iy \,</math> ** ou vectorielle : <math> z = ( x , y ) \,</math> * forme en coordonnées polaires : ** géométrique <math> z = \rho\cdot e^{i\theta} \,</math> ** ou vectorielle : <math> z = ( \rho , \theta ) = \rho_\angle \theta \,</math> ** ou trigonométrique : <math> z = \rho\cdot ( cos \theta + i\cdot sin \theta ) \,</math> ==== Forme cartésienne ==== [[Image:Complex_number_illustration.svg|thumb|right]] Un '''nombre complexe''' <math>\scriptstyle z</math> se présente en général en [[coordonnées cartésiennes]], comme une somme <math>a + bi \,</math>, où ''a'' et ''b'' sont des [[nombres réels]] quelconques et <math>\scriptstyle{i}</math> (l’[[unité imaginaire]]) est un nombre particulier tel que <math>\scriptstyle{i}^2 = -1</math>.<br /> Le réel ''a'' est appelé '''partie réelle''' de ''z'' et se note <math>\ \mathrm{Re}(z)</math> ou <math>\Re(z)</math>, le réel ''b'' est sa '''[[partie imaginaire]]''' et se note <math>\ \mathrm{Im}(z)</math> ou <math>\Im(z)</math>.<br /> Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.<br /> Un nombre complexe ''z'' est dit '''[[imaginaire pur]]''' ou '''totalement imaginaire''' si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme ''z = bi''. Un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel.<br /> Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur, mais la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs. L'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'[[associativité]], de [[commutativité]] et de [[distributivité]] que sur les nombres réels. Les règles de calcul s'écrivent donc : :*<math>(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \,</math> ; :*<math>(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \,</math>. En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante : <!-- À DÉPLACER EN FORMULAIRE de nouvelles égalités remarquables s'écrivent : :*<math>(a + bi)^2 = a^2 + 2 abi - b^2 \,</math> ; :*<math>(a - bi)^2 = a^2 - 2 abi - b^2 \,</math> ;--> <math>(a + bi) (a - bi) = a^2 + b^2 \,</math>. Puisque la somme ''a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>'' de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si ''a = b = 0''), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité : :<math>\frac{1}{a+bi} = \frac{a - bi}{a^2+b^2} \,</math> Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe <math>\scriptstyle a + bi \,</math>: :* son '''[[conjugué]]''' <math>\overline{a+bi}=a-bi\,</math> est aussi un nombre complexe ; :* son '''[[module d'un nombre complexe|module]]''' <math>\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2 + b^2}</math> est un nombre réel positif. L'application de conjugaison est un [[automorphisme]] [[involution|involutif]] : <math>(\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'})</math> , <math>(\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'})</math> et <math>(\bar{\bar{z}} = z)</math>.<br /> L'application module est une [[Valeur absolue#Valeur absolue dans un corps|valeur absolue]] car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive <math>\left(|z + z'| \le |z|+|z'|\right)</math> et multiplicative <math>\left(|z z'| = |z|\times |z'|\right)</math>. Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs sont les seuls complexes égaux à leur module.<br /> Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0. ==== Forme polaire ==== ===== Plan complexe ===== [[Image:Complex number.svg|thumb|Représentation géométrique d'un nombre complexe]] Dans un [[plan affine]] <math>\mathcal P</math> muni d'un [[repère (mathématiques)|repère]] orthonormé <math>(O; \vec{u}, \vec{v})</math>, l''''image''' d'un nombre complexe <math>z = a + bi\,</math> est le point ''M'' de coordonnées ''(a,b)'', son '''image vectorielle''' est le vecteur <math>\overrightarrow{OM}</math>. Le nombre ''z'' est appelé '''affixe''' du point ''M'' ou du vecteur <math>\overrightarrow{OM}</math> (affixe est féminin : une affixe). Le module <math>|z|\,</math> est alors la [[longueur]] du segment <math>\,\ [OM]</math>.<br /> Si ''z'' est différent de 0, son image est distincte de l'origine ''O'' du repère. On appelle alors '''[[Argument (mathématiques)|argument]]''' de ''z'' et on note <math>\mathrm{arg}(z)\,</math> n'importe quelle mesure <math>\theta\,</math> de l'[[angle]] <math>\left(\vec{u},\overrightarrow{OM}\right)</math>, bien définie à un multiple de <math>2\pi</math> près. Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de <math>2\pi</math>, les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de <math>\pi</math>.<br /> Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à <math>\frac{\pi}{2}</math> ou <math>-\frac{\pi}{2}</math> modulo <math>2\pi</math>, selon le signe de leur partie imaginaire. Le plan <math>\mathcal P</math>, muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et multiplication, est appelé '''plan complexe'''. Puisque tous les plans complexes sont [[canonique]]ment [[isomorphisme|isomorphes]], on parle du plan complexe sans préciser davantage. ===== Coordonnées polaires ===== Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux [[coordonnées polaires]] <math>(r, \theta)</math> de son image dans le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des coordonnées polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une '''forme trigonométrique''' <math>z = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta))\,</math> avec <math>\,r > 0</math>. La [[formule d'Euler]] <math>e^{i \theta}=\cos (\theta) + i \sin (\theta)\ </math> permet de compacter cette écriture sous une '''forme exponentielle''' <math>z = r e^{i\theta}\,</math>.<br /> Le conjugué s'écrit alors simplement <math>\bar{z} = r e^{-i\theta} = r(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))\,</math>. Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des propriétés multiplicatives de la fonction [[exponentielle]] : *<math>\left(r e^{i\theta}\right)\left(r' e^{i\theta'}\right) = (r r') e^{i(\theta + \theta')}\,</math>, *<math>\left(r e^{i\theta}\right)^{-1} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} = \frac{1}{r} \cos(-\theta) + i \frac{1}{r}\sin(-\theta)\,</math>. === Interprétation géométrique des opérations === Soit ''z'' et ''z' '' deux nombre complexes d'images respectives <math>M</math> et <math>M'</math>. * L'image <math>M''\,</math> de la somme <math>z+z'\,</math> est définie par la relation <math>\overrightarrow{OM''}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}</math>.<br /> L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une [[translation (géométrie)|translation]] selon le vecteur image. * Soit <math>\lambda</math> un nombre réel, l'image <math>M_1</math> du produit <math>\lambda z\,</math> est défini par la relation <math>\overrightarrow{OM_1}=\lambda \overrightarrow{OM}</math>.<br /> L'action du nombre réel <math>\lambda</math> par multiplication scalaire s'interprète géométriquement comme une [[homothétie]] de centre ''O'' et de rapport <math>\lambda</math> sur le plan complexe. * Si ''z'' est de module 1 et d'argument <math>\theta</math>, l'image <math>M''\,</math> du produit <math>zz'\,</math> est définie par les relations de longueurs <math>OM''=OM'\,</math> et d'angles <math>\left(\overrightarrow{OM'},\overrightarrow{OM''}\right) = \theta</math>.<br /> L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une [[rotation]] de centre l'origine et d'angle l'argument. * Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe ''z'' non nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une [[similitude (géométrie)|similitude directe]] de centre l'origine, de rapport <math>|z|\,</math> et d'angle <math>\mathrm{arg}(z)\,</math>. * L'image du conjugué <math>\bar{z}</math> de <math>z\,</math> est le [[symétrie (transformation géométrique)|symétrique]] de <math>M</math> par rapport à l'axe des abscisses. == Construction == {{article détaillé|Construction des nombres complexes}} Il existe plusieurs manières courantes de construire le corps des nombres complexes à partir de l'ensemble des nombres réels et de ses opérations arithmétiques élémentaires. Outre que les objets ainsi définis sont tous [[isomorphisme|isomorphes]], les constructions présentées ci-après mettent en lumière trois caractéristiques importantes : # Le corps des réels est clairement identifié comme un sous-ensemble du corps des complexes et les opérations d'addition et de multiplication sont préservées dans la nouvelle structure. Le nombre réel 1 reste [[Élément neutre|neutre]] pour la multiplication. # Il existe un nombre complexe <math>\scriptstyle i</math> [[Canonique (mathématiques)|canoniquement]] choisi dont le carré vaut <math>-1</math>, bien que son opposé vérifie aussi cette propriété. # Deux paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour décrire tous les nombres complexes, ce qui souligne la structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 avec une [[Base (algèbre linéaire)|base]] canonique. === Vecteur du plan euclidien === On peut définir un nombre complexe comme un vecteur du plan <math>\R^2</math> muni de sa base canonique. Chaque nombre complexe est donc représenté par un couple <math>(a,b)</math> de nombre réels.<br /> L'addition correspond à celle des vecteurs, c'est-à-dire l'addition des coordonnées terme à terme : :<math>(a, b) + (c, d) = \left(a + c, b + d\right) \,</math>. La multiplication est définie « arbitrairement » par : :<math>(a, b)\times (c, d) = \left(ac - bd, ad + bc\right) \,</math>. L'ensemble des réels s'identifie avec la droite <math>\R \times \{0\}</math> et l'élément <math>\scriptstyle i</math> est le deuxième vecteur de base <math>(0, 1)</math>. Le [[module d'un nombre complexe|module]] d'un nombre complexe correspond enfin à la [[Norme (mathématiques)#Calcul|norme euclidienne]] du vecteur associé et l'[[Argument (mathématiques)|argument]] est une mesure de l'angle formé par le vecteur associé avec le premier vecteur de base. Cette définition présente l'avantage de la simplicité, puisqu'elle exige peu de prérequis mathématiques. Elle est en outre adaptée à la [[#Plan complexe|représentation géométrique]] des nombres complexes. En revanche, l'[[associativité]] de la multiplication et l'existence d'un [[inverse]] sont fastidieuses à démontrer. === Matrice de similitude === Il est intéressant de définir un nombre complexe comme une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] de [[Similitude (géométrie)|similitude directe]] <math> \left( \begin{matrix} a & -b \\ b & a \\ \end{matrix} \right) </math> à coefficients réels, car les [[Matrice (mathématiques)#Espaces de matrices|opérations matricielles]] induisent précisément la structure algébrique voulue. En outre, le [[module d'un nombre complexe|module]] et l'[[Argument (mathématiques)|argument]] deviennent respectivement le rapport et une mesure de l'angle de la similitude.<br/> Il faut cependant vérifier que l'ensemble de ces matrices est [[stable]] par produit : :<math>\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac-bd&-ad-bc\\ad+bc&ac-bd\end{pmatrix},</math> ce qui justifie au passage la [[commutativité]] du produit et assure l'isomorphisme entre cette structure et [[#Vecteur du plan euclidien|celle définie précédemment]].<br /> L'ensemble des réels s'identifie alors à l'ensemble des matrices diagonales de la forme <math> \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{matrix} \right) </math>, l'unité étant représentée par la matrice identité. L'élément <math>\scriptstyle i</math> désigne classiquement la matrice <math>\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix}\right)</math>.<br /> Le [[Déterminant (mathématiques)#Déterminant d'une matrice|déterminant]] correspond au carré du [[Module d'un nombre complexe|module]], ce qui entraîne que toutes les éléments non nuls sont inversibles et la [[Matrice inversible#Méthode des cofacteurs|méthode des cofacteurs]] démontre la stabilité par inverse. Ce point de vue fournit une construction naturelle qui peut être adaptée pour obtenir l'algèbre réelle des [[quaternion]]s. Il donne en outre une interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes comme composition de [[Similitude (géométrie)|similitudes]] du plan. La conjugaison est enfin représentée par la transposition de matrices. === Classe d'équivalence de polynômes === Un nombre complexe peut enfin être vu comme un [[polynôme]] réel d'indéterminée <math>i</math>, où le carré <math>i^2</math> est identifié avec le polynôme constant de valeur <math>-1</math>, donc avec les identifications <math>i^3 = -i</math> ; <math>i^4 = 1</math>…<br /> Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'[[espace quotient]] <math>\R[X]/(X^2 + 1)</math>, dans lequel deux polynômes appartiennent à la même [[classe d'équivalence]] si et seulement s'ils ont le même reste de [[division euclidienne]] par <math>X^2 + 1</math>.<br /> Le caractère [[Polynôme#Divisibilité|irréductible]] du polynôme <math>X^2 + 1</math> assure directement la structure de corps. Les réels sont représentés par les polynômes constants et le degré 2 du polynôme diviseur est la dimension de l'ensemble comme espace vectoriel réel. Cette conception très sophistiquée en apparence est peut-être celle qui décrit le mieux l'invention des nombres complexes, loin de la géométrie, à partir d'un seul générateur algébrique et d'une seule relation. Le formalisme (plus récent) du quotient d'un [[anneau (mathématiques)|anneau]] [[anneau euclidien|euclidien]] (ici l'anneau des polynômes réels à une indéterminée) par un de ses [[idéal|idéaux irréductibles]] est à la base de la construction des [[extension algébrique|extensions algébriques]] de corps. == Structure du corps des complexes == Les racines carrées d'un nombre complexe s'écrivent facilement lorsque celui-ci est sous forme trigonométrique : celles de <math>z = r e^{i\theta}</math> sont <math>z_1 = \sqrt{r} e^{i\frac{\theta}{2}}</math> et <math>z_2 = \sqrt{r} e^{i\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)}</math> et sont opposées l'une de l'autre.<br /> L'existence de deux racines carrées, dans le corps des nombres complexes, pour tout nombre complexe non nul (y compris pour tout réel strictement négatif) est une propriété qui n'est pas vérifiée par restriction au corps des réels, puisqu'aucun réel strictement négatif ne peut s'obtenir comme le carré d'un nombre ''réel''. {{article détaillé|Racine de nombre complexe}} Plus généralement, tout [[polynôme]] à coefficients complexes (donc, en particulier, tout polynôme à coefficients [[nombre entier|entiers]] ou [[nombre rationnel|rationnels]]), non constant, admet au moins une racine (ce qui implique qu’il en admet autant que son degré, en les comptant avec leurs multiplicités). On dit que le corps des complexes est '''algébriquement clos'''. Ce résultat est connu en France sous le nom de [[Théorème de d'Alembert-Gauss]], dans d'autres pays sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre. :''Article principal&nbsp;: [[Théorème de d'Alembert-Gauss]]'' En fait, le corps des complexes est la [[clôture algébrique]] du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos. Du point de vue de la [[théorie de Galois]], on peut considérer les automorphismes du corps des complexes : l'identité et la conjugaison sont ses seuls automorphismes continus (on peut remplacer l'hypothèse « continu » par, au choix, « mesurable » ou « tel que l'image de tout réel est un réel »). En supposant l'axiome du choix on peut construire des automorphismes « exotiques » de ce corps: voir [[automorphismes de corps non continus de C]]. == Développements en mathématiques == === Analyse complexe === :''Article principal&nbsp;: [[Analyse complexe]].'' Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique. Cependant, étendre les définitions de l'analyse au champ des nombres complexes s'avère tout aussi fécond. Par exemple la définition usuelle de la dérivée&nbsp;: <math>\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> (avec usage de la multiplication et de la soustraction complexes) permet d'obtenir une nouvelle notion de fonction dérivable, de variable complexe à valeurs complexes appelée '''[[fonction holomorphe]]'''. Cette notion s'avère plus restrictive que son pendant réel, notamment, toute fonction holomorphe voit sa dérivée être holomorphe, et même, toute fonction holomorphe est [[fonction analytique|analytique]], c'est-à-dire admet un [[série entière|développement en série entière]] en chacun des points de son domaine d'holomorphie. En théorie de l'intégration, en utilisant la notion d'intégrale le long d'un chemin, on obtient le [[théorème intégral de Cauchy]], qui assure que l'intégrale d'une fonction holomorphe, sur un domaine vérifiant certaines propriétés topologiques, le long d'un chemin fermé, est nulle. Cette propriété cruciale permet d'obtenir la notion de primitive d'une fonction holomorphe, toujours sur un domaine adapté. Certaines de ces conditions topologiques peuvent être abandonnées, grâce à la notion de [[point singulier]], aboutissant au [[théorème des résidus]]. ===Dynamique holomorphe=== {{article détaillé|Dynamique holomorphe}} La dynamique holomorphe à une variable consiste en l'étude du comportement des itérés d'une fonction holomorphe <math>f</math> définie sur une [[surface de Riemann]]. On distingue deux types de points sur ces surfaces : ceux où la famille des itérés est [[famille normale|normale]], en ces points la dynamique est assez simple (bassins d'attractions de cycles de points périodiques), dont l'ensemble est appelé [[ensemble de Fatou]] de <math>f</math>, puis ceux où le comportement est [[système dynamique|chaotique]] et dont l'ensemble est appelé [[ensemble de Julia]] de <math>f</math>. Les propriétés de ces itérés sont particulièrement bien connues dans le cadre de la [[sphère de Riemann]] : classification complète des composantes connexes de l'ensemble de Fatou selon les propriétés de <math>f</math>, propriétés de l'ensemble de Julia, étude des [[espaces à paramètres]] de polynômes... On étudie aussi la dynamique holomorphe à plusieurs variables, par exemple dans les espaces projectifs complexes où apparaissent de nouvelles difficultés par rapport à une variable telles que la présence d'ensembles de points où <math>f</math> n'est pas définie. ===Équations différentielles dans le champ complexe=== L'étude des [[Équation différentielle#Équation différentielle holomorphe|équations différentielles holomorphes]] a les mêmes résultats de base que celle des équations sur des fonctions de variable réelle, et notamment le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]], qui donne l'existence et l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy ; ou les résultats d'algèbre linéaire sur les espaces de solutions des équations différentielles linéaires. Cependant, l'étude des équations aux points singuliers est nettement plus féconde que les simples études de raccord du cas réel : la topologie du plan complexe au voisinage d'un point singulier fait qu'il y a une infinité de manière de l'approcher, et l'étude des raccords des solutions obtenues avec toutes les méthodes d'approche amène à la notion de [[monodromie]]. Cette notion est ensuite utilisée dans un cadre plus général : la [[théorie de Galois différentielle]]. === Analyse de Fourier === voir [[ Analyse harmonique]] === Nombres hypercomplexes === {{article détaillé|Nombre hypercomplexe}} === En topologie === *En identifiant l'espace vectoriel <math>\R^{2n}</math> avec l'espace vectoriel <math>\mathbb{C}^n</math>, la multiplication par <math>\scriptstyle{i}</math> définit une application sans [[point fixe]] sur les [[sphère]]s de dimension impaire. *L'adjonction d'un point « [[point à l'infini|à l'infini]] » au plan complexe définit la [[sphère de Riemann]] homéomorphe à la sphère usuelle S<sup>2</sup>, qui peut être vue comme le premier [[espace projectif]] complexe.<br /> La projection de la sphère S<sup>3</sup>, vue comme sphère unité de l'espace <math>\mathbb{C}^2</math>, sur la sphère de Riemann par quotient de l'action du [[cercle unité]] S<sup>1</sup> constitue alors la [[fibration de Hopf]]. *Les espaces projectifs complexes de dimension paire engendrent rationnellement l'anneau de [[cobordisme]] orienté<ref>J. W. Milnor, J. D. Stasheff, ''Characteristic classes'', Annals of Math. Studies '''76''', Priceton University Press (1974)</ref>. ==Emplois en physique et ingénierie== ===Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier=== La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des [[électromagnétisme|ondes électromagnétiques]], ou en [[électronique]] et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples, R+jLw ou R-j/Cw). Dans le domaine de l'électronique, le i représentant l'imaginaire en mathématiques, se note j. On peut tracer alors le diagramme de Fresnel et ce, quelle que soit l'expression. En fait, on se sert du fait que <math>\mathbb{C}</math> contient <math>\mathbb{R}</math> pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre vaut ''r'' cos(θ), il faut deux réels, ''r'' et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’UN nombre, ce qui est bien plus simple. En [[électromagnétisme]] toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations. On utilise également les complexes pour l’[[Série de Fourier|analyse de Fourier]], très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal. ===Mécanique des fluides dans le plan=== En [[mécanique des fluides]] (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en ''v<sub>x</sub>'' et ''v<sub>y</sub>''. Or, on montre que : <div align=center> <math>V_x = \frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}</math> <br /> <math>V_y = \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}</math> </div> Satisfaire à ces conditions (conditions de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]-[[Bernhard Riemann|Riemann]]) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle que <div align=center> <math>f(z) = \phi + i \psi \,</math> où <math>z=x+iy \,</math> </div> Ceci permet encore d’écrire : <div align=center> <math>\frac{df}{dz}=\frac{\partial\phi}{\partial x} + i \frac{\partial\psi}{\partial x} = V_x -i V_y \,</math> </div> On appelle ''f''(''z'') le ''potentiel complexe'', et sa dérivée par rapport à ''z'', la ''vitesse complexe''. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de ''f'', grâce à des résultats simples d’analyse complexe. ===Mécanique quantique=== Autre simplification pour physiciens : la [[mécanique quantique]] nécessite les nombres complexes. Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir [[Postulats de la mécanique quantique]]). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites). Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension ''imaginaire'' pourrait donc fort bien correspondre aussi à une « réalité physique&nbsp;» et non pas représenter seulement une commodité d’écriture. Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (voir [[Fractale]], [[Complexité de Kolmogorov]], [[Compression]], [[Entropie de Shannon]] et même [[Neume|Notation neumatique]] en musique. ==Historique== {{à vérifier}} La première allusion aux [[Racine (mathématiques)|racines]] des [[nombre négatif|nombres négatifs]] apparaît avec les travaux du [[mathématicien]] [[Grèce antique|grec]] et inventeur [[Héron d'Alexandrie]] au {{Ier siècle av. J.-C.}}, quand il s'intéresse au volume du tronc impossible d'une [[pyramide]],<ref>http://people.bath.ac.uk/aab20/complexnumbers.html</ref> et ce malgré le fait qu'à l'[[Époque hellénistique|époque hellénistique]] les nombres négatifs soient inconcevables. Les nombres complexes apparaissent plus clairement au {{XVIe siècle}}, quand est établie une formule de calcul pour les racines polynomiales des [[Équation cubique|équations cubiques]] et [[Équation quartique|quartiques]] [[Polynôme|polynomiales]] par les mathématiciens italiens [[Niccolo Fontana Tartaglia]] et [[Gerolamo Cardano]]. On réalise très tôt que ces formules, même si l'on ne s'intéresse qu'aux solutions réelles, nécessitent parfois de manipuler la racine carrée de nombres négatifs. Par exemple, la formule cubique de Tartaglia donne la solution suivante à l'équation ''x''³&nbsp;&minus;&nbsp;''x''&nbsp;=&nbsp;0: :<math>\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{-1}^{1/3}+\frac{1}{\sqrt{-1}^{1/3}}\right).</math> Le calcul formel avec les nombres complexes montre que l'équation ''z''³&nbsp;=&nbsp;''i'' a pour solution &minus;''i'', <math>{\scriptstyle\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i</math> et <math>{\scriptstyle\frac{-\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i</math>. En substituant ces résultats dans <math>{\scriptstyle\sqrt{-1}^{1/3}}</math> et en simplifiant, on obtient 0, 1 et &minus;1 comme solutions de ''x''³&nbsp;&minus;&nbsp;''x''&nbsp;=&nbsp;0. Ces méthodes de calcul sont obtenues alors que la notion de nombre négatif n'est pas encore validée à l'époque. L'appellation ''[[nombre imaginaire]]'' pour ces quantités est introduit, tant leur réalité est contestable, par [[René Descartes]] en [[1637]]. Une source de confusion supplémentaire réside dans le fait que l’équation <math>\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math> combinée avec l'identité algébrique <math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math> (valide avec des réels positifs ''a'' et ''b'') aboutit au résultat absurde <math>-1=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt 1=1</math>. L’utilisation incorrecte de cette identité (et de l’identité liée <math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math>) dans le cas où à la fois ''a'' et ''b'' sont négatifs tient notamment [[Leonhard Euler]] en échec. C’est cette difficulté qui mène les mathématiciens de l’époque à convenir d’utiliser le symbole spécial ''i'' à la place de <math>\sqrt{-1}</math> pour se préserver de cette erreur. Au {{XVIIIe siècle}}, en [[1730]], [[Abraham de Moivre]] énonce la formule bien connue qui porte son nom ([[formule de De Moivre]]) : :<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,</math> Peu de temps après, en [[1748]], Euler donne, quant à lui, la formule suivante ([[formule d'Euler]]) : :<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,</math> Ce n'est qu'en [[1799]] que l'existence des nombres complexes est complètement admise avec l’interprétation géométrique décrite par [[Caspar Wessel]]. Plusieurs années après, [[Carl Friedrich Gauss]] la redécouvre et la popularise et c'est alors que cette théorie prend un essor considérable. Il a noté cependant que l’idée d’une représentation graphique des nombres complexes est déjà mentionnée, en [[1685]], dans l’ouvrage de [[John Wallis]] ''De Algebra tractatus''. Un mémoire de Wessel, clair et complet, apparaît dans les minutes de l’Académie de [[Copenhague]] en 1799. Il y reconsidère la sphère et fournit une théorie des [[quaternion]]s à partir de laquelle il développe une théorie complète sur la trigonométrie sphérique. Dans un publication de 1806, l’Abbé Buée reprend l’idée, suggérée par Wallis, que <math>\pm\sqrt{-1}</math> pourrait représenter 1 et -1 sur une ligne perpendiculaire à l’axe réel ; [[Jean-Robert Argand]] publie sur le même sujet au même moment. En [[1831]], Gauss établit une théorie relativement peu connue, et en [[1832]] publie son mémoire principal sur le sujet. On peut aussi mentionner le petit traité de [[Mourey]] ([[1828]]), dans lequel les fondements de la théorie des nombres directionnels sont posés. L’acceptation générale de la théorie doit aussi beaucoup aux travaux de [[Augustin Louis Cauchy]] et [[Niels Henrik Abel]], ce dernier étant spécialement connu comme le premier à avoir fait, avec succès, un usage massif des nombres complexes. Les plupart des termes communément utilisés dans la théorie sont dus aux fondateurs : *Argand appele <math>\cos \phi + i\sin \phi</math> le ''facteur direction'', et <math>r = \sqrt{a^2+b^2}</math> le ''module'' ; *Cauchy ([[1828]]) appelle <math>\cos \phi + i\sin \phi</math> l'''expression réduite'' ; *Gauss utilise ''i'' pour <math>\sqrt{-1}</math>, introduit le terme ''nombre complexe'' pour <math>a+bi</math> et appelle <math>a^2+b^2</math> la ''norme'' ; *[[Hermann Hankel|Hankel]] (1867) appelle <math>\cos \phi + i \sin \phi</math> ''coefficient directionnel'' ; *[[Karl Weierstrass|Weierstrass]], quant à lui, emploie ''valeur absolue'' pour ''module''. Après Cauchy et Gauss suivront nombre de contributeurs. Parmi ceux-ci : * [[Ernst Kummer|Kummer]] (1844) ; * [[Leopold Kronecker|Kronecker]] (1845), * [[Scheffler]] (1845, 1851, 1880) ; * [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] (1835, 1852) ; * [[George Peacock|Peacock]] (1845) ; * [[Augustus De Morgan|De Morgan]] (1849) ; * [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] à qui l'on doit de nombreuses publications sur les applications géométriques des nombres complexes ; * [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] pour avoir étendu la théorie des nombres complexes et y incluant les [[nombre premier|nombres premiers]], la notion de [[congruence]], de [[Réciprocité (mathématiques)|réciprocité]], etc., comme dans le cas des [[nombre réel|nombres réels]]. Un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] ou un [[corps (mathématiques)|corps]] est un ensemble de nombres stable par [[addition]], [[soustraction]] et [[Produit (mathématiques)|multiplication]] (et division dans le cas d'un corps. Gauss étudie les nombres complexes de la forme <math>a + bi</math>, où ''a'' et ''b'' sont entiers, ou rationnels. Son élève, [[Ferdinand Eisenstein]], étudie les nombres de la forme <math>a + b\omega</math>, où <math>\omega</math> est une racine complexe de <math>x^3 - 1 = 0</math>. D’autres corps, dits [[corps cyclotomique|cyclotomique]], sont obtenus à partir des [[Racine de l'unité|racines de l’unité]] <math>x^k - 1 = 0</math> pour <math>k</math> entier positif quelconque. Cette généralisation est largement due à Kummer, qui invente aussi les [[nombre idéal|nombres idéaux]]. Enfin, parmi les derniers contributeurs (après [[1884]]) de la théorie générale : *[[Karl Weierstrass|Weierstrass]] ; *[[Hermann Schwarz|Schwarz]] ; *[[Richard Dedekind|Dedekind]] ; *[[Otto Hölder|Hölder]] ; *l'abbé [[Berloty]] ; *[[Henri Poincaré|Poincaré]] ; *[[Eduard Study]] ; *[[Alexander MacFarlane|MacFarlane]]. Une définition formelle correcte, utilisant des paires de nombres réels, a été donnée au {{XIXe siècle}}. ==Voir aussi== {{Wikibooks|AL Nombres complexes}} {{Nombre}} ===Articles connexes=== * [[Construction des nombres complexes]] * [[Fonction holomorphe]] * [[Racine de nombre complexe]] * [[Trigonométrie complexe]] * [[Nombre complexe fendu|Nombres complexes fendus]] * [[Sphère de Riemann]] * [[Unité imaginaire]] === Références === <references/> === Liens externes === * [http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagComp.htm Nombres complexes] * [http://share.devstude.net/index.php/Les_Nombres_Complexes ShareAn Partage de connaissances, fiches et astuces faciles sur les nombres complexes] {{portail mathématiques}} [[catégorie:Type de nombre|Complexe]] [[Catégorie:Nombre hypercomplexe]] [[Catégorie:Analyse complexe]] <!--interwiki--> {{Lien AdQ|lmo}} [[af:Komplekse getal]] [[ar:عدد عقدي]] [[bg:Комплексно число]] [[bn:জটিল সংখ্যা]] [[bs:Kompleksan broj]] [[ca:Nombre complex]] [[cs:Komplexní číslo]] [[da:Komplekse tal]] [[de:Komplexe Zahl]] [[el:Μιγαδικός αριθμός]] [[eml:Nómmer cumplês]] [[en:Complex number]] [[eo:Kompleksa nombro]] [[es:Número complejo]] [[et:Kompleksarv]] [[eu:Zenbaki konplexu]] [[fa:عدد مختلط]] [[fi:Kompleksiluku]] [[fy:Kompleks getal]] [[he:מספר מרוכב]] [[hr:Kompleksni broj]] [[hu:Komplex számok]] [[is:Tvinntölur]] [[it:Numero complesso]] [[ja:複素数]] [[ka:კომპლექსური რიცხვი]] [[km:ចំនួនកុំផ្លិច]] [[ko:복소수]] [[la:Numerus complexus]] [[lmo:Nümar cumpless]] [[lt:Kompleksinis skaičius]] [[ms:Nombor kompleks]] [[nl:Complex getal]] [[nn:Komplekse tal]] [[no:Komplekst tall]] [[pl:Liczby zespolone]] [[pt:Número complexo]] [[ro:Număr complex]] [[ru:Комплексное число]] [[scn:Nùmmuru cumplessu]] [[simple:Complex number]] [[sk:Komplexné číslo]] [[sl:Kompleksno število]] [[sr:Комплексан број]] [[sv:Komplexa tal]] [[ta:சிக்கலெண்]] [[te:సంకీర్ణ సంఖ్యలు]] [[th:จำนวนเชิงซ้อน]] [[tr:Karmaşık sayı]] [[uk:Комплексні числа]] [[ur:مختلط عدد]] [[vi:Trường số phức]] [[vls:Complexe getalln]] [[yo:Nọ́mbà tósòro]] [[zh:複數 (數學)]] [[zh-classical:複數]] [[zh-min-nan:Ho̍k-cha̍p-sò͘]] [[zh-yue:複數]]