Nombre rationnel
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2008-06-23T16:03:02Z
Sylvie Martin
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la barre a l'air d'être en dessous...
En [[mathématiques]], un '''nombre rationnel''' est un [[nombre]] qui peut s'exprimer comme le [[quotient]] de deux [[entier relatif|entiers relatifs]]. Les nombres rationnels non entiers (parfois appelés [[fraction]]s) sont souvent notés ''a''/''b'', où ''a'' et ''b'' sont deux entiers relatifs (avec ''b'' non nul). On appelle ''a'' le [[numérateur]] et ''b'' le [[dénominateur]].
Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manière différente, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand ''a'' et ''b'' n'ont pas de [[diviseur]]s communs (ils sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]]). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur [[positif]]. On parle alors de [[fraction irréductible]].
Le [[développement décimal]] d'un nombre rationnel est toujours [[périodicité|périodique]] au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de [[zéro]]s assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle [[Base (arithmétique)|base]]. Réciproquement, si un nombre possède une développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.
Un [[nombre réel]] qui n'est pas rationnel est dit [[irrationnel]]. L'ensemble des nombres rationnels est un [[corps (mathématiques)|corps]], noté <math>\mathbb{Q}</math>, que l'on peut noter formellement:
:<math> \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}\,|\, (m,n) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}-\{0\} \right\},</math>
où <math>\mathbb{Z}</math> est l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] des entiers.
== Développement décimal ==
Comme tous les [[nombre réel|réels]], les rationnels admettent une représentation en [[développement décimal]] '''illimité'''. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être '''périodique'''. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence '''finie''' de chiffres se répétant '''continuellement'''. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ».
Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et ''a fortiori'' d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent.
Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée.
Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière '''rigoureuse''' :
:<math>1 = 1,\underline{0}... = 0,\underline{9}... = 0,99999...</math>
:<math>\frac{1}{3} = 0,\underline{3}... = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{3}{10^n} \right)</math>
Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins mal commode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par la [[fraction continue]]. Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationnalité de [[e (nombre)|e]] la base du [[logarithme népérien]] et de [[Pi|π]].
Ainsi, le nombre <math>0,12\,122\,1222\,12222...\,</math> (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.
== Arithmétique des rationnels ==
{{article détaillé|Fraction (mathématiques)#Opérations sur les fractions}}
Deux nombres rationnels ''a''/''b'' et ''c''/''d'' sont égaux [[si et seulement si]] ''ad''=''bc''.
L'[[addition]] est donnée par:
:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
La [[multiplication]] par:
:<math>\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
L'[[opposé]] et l'[[inverse]] par
:<math> - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{et}\quad
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ si } a \neq 0. </math>
On en déduit que le quotient est donné par:
:<math>\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.</math>
== Fraction égyptienne ==
{{article détaillé|Fraction égyptienne}}
Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme somme d'inverses distincts d'entiers naturels. Par exemple, on a :
:<math>\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}.</math>
== Construction formelle ==
{{article détaillé|Construction des nombres rationnels}}
On peut voir un entier rationnel comme la [[classe d'équivalence]] d'une [[couple (mathématiques)|paire]] ordonnée d'entiers, par la relation d'équivalence suivante:
:<math>\forall \left(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right) \in \mathbb{Q}^2,\ \frac{a}{b}\,\mathcal{R}\,\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=bc.</math>
On note alors <math>\mathbb{Q}=\mathbb{Z}/\mathcal{R}</math>, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est le [[ensemble quotient|quotient]] de l'anneau des entiers par la relation d'équivalence.
On peut ensuite [[injection|injecter]] les entiers dans les rationnels, et définir des [[loi de composition interne|lois de composition interne]] pour se donner une structure de corps.
Cette construction est valable à partir de n'importe quel [[anneau intègre]], on parle alors de [[corps des fractions]].
== Propriétés ==
[[Image:Diagonal argument.svg|thumb|right|240px|La dénombrabilité des rationnels strictement positifs]]
L'ensemble <math>\mathbb{Q}</math>, munis des lois d'addition et de multiplication données plus haut, forme un [[corps (mathématiques)|corps]], le [[corps des fractions]] des entiers <math>\mathbb{Z}</math>.
Les rationnels sont le plus petit corps de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle. Tout autre corps de caractéristique nulle contient une copie de <math>\mathbb{Q}</math>.
La [[clôture algébrique]] de <math>\mathbb{Q}</math>, c'est-à-dire le corps des racines des [[polynôme]]s à coefficients rationnels est l'ensemble des [[nombre algébrique|nombres algébriques]].
L'ensemble des rationnels est [[ensemble dénombrable|dénombrable]]. Or par l'[[argument de la diagonale de Cantor]], nous savons que le corps des [[nombre réel|nombres réels]] ne l'est pas. On dit alors que les nombres réels sont [[Ensemble négligeable|presque tous]] irrationnels, au sens de la [[mesure de Lebesgue]]. On dit que <math>\mathbb{Q}</math> est un [[ensemble négligeable]].
== Topologie ==
Muni de la [[valeur absolue]], l'ensemble <math>\mathbb{Q}</math> est un [[espace métrique]]. Cet ensemble est [[ensemble dense|dense]] dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire que l'[[adhérence]] de <math>\mathbb{Q}</math> est <math>\mathbb{R}</math>. Les nombres rationnels ne forment donc pas un [[espace complet]].
== Nombre ''p''-adique ==
On peut munir <math>\mathbb{Q}</math> d'une autre métrique.
Soit <math>p</math> un [[Nombre premier|nombre premier]] et notons, pour tout entier non nul <math>a</math>:
:<math>|a|_p = p^{-n},</math>
où <math>p^n</math> est la plus grande puissance de <math>p</math> [[diviseur|divisant]] <math>a</math>.
Arbitrairement, on pose <math>|0|_p = 0</math>. Puis pour chaque nombre rationnel <math>a/b</math>, on pose :<math>\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}</math>.
Alors <math>d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p</math> définit un espace métrique.
L'espace métrique <math>\left(\mathbb{Q}, d_p\right)</math> n'est pas complet, et sa complétion est le [[nombre p-adique|corps des nombres ''p''-adique]] <math>\mathbb{Q}_p</math>. Le [[théorème d'Ostrowski]] montre que toute valeur absolue non triviale sur <math>\mathbb{Q}</math> est équivalente, soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue ''p''-adique.
== Voir aussi ==
{{Nombre}}
=== Liens externes ===
* Le logiciel [http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/fraction.html ''PC Fraction''] calcule des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc.
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Type de nombre|Rationnel]]
[[Catégorie:Théorie des corps]]
[[Catégorie:Fraction]]
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[[ar:عدد كسري]]
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