Nombres premiers jumeaux 2858425 31565343 2008-07-14T11:21:59Z Tcharvin 40266 /* Conjecture des nombres premiers jumeaux */ Modification pour lien vers article détaillé sur la conjecture de De Polignac En [[mathématiques]], deux '''nombres premiers jumeaux''' sont deux [[Nombre premier|nombres premiers]] qui ne diffèrent que de [[2 (nombre)|deux]]. Hormis pour la paire ([[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]]), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Parmi les nombres premiers jumeaux, on trouve [[5 (nombre)|5]] et [[7 (nombre)|7]], [[11 (nombre)|11]] et [[13 (nombre)|13]] ou 821 et 823. Le question qui se pose naturellement est la répartition des nombres premiers jumeaux. De nombreux chercheurs en [[théorie des nombres]] pensent qu'il en existe une infinité. Cette conjecture s'appelle la '''conjecture des nombres premiers jumeaux''' et s'énonce de la manière suivante : {{énoncé|Conjecture des nombres premiers|Il existe une infinité de nombres premiers ''p'' tels que ''p'' + 2 soit aussi premier.}} À ce jour <ref> 2007</ref>, cette conjecture n'est pas encore démontrée. == Nombres premiers jumeaux == === Définition === Soit <math>(p, q)</math> un couple de [[Entier naturel|nombres entiers]] tel que <math>p</math> et <math>q</math> soient tous les deux des [[Nombre premier|nombres premiers]] et <math>p < q</math>. On dit que <math>(p, q)</math> forme un couple de nombres premiers jumeaux si <math>q = p + 2</math>. === Liste des premiers nombres premiers jumeaux === L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 : {| class="wikitable" |- | ([[3 (nombre)|3]], [[5 (nombre)|5]]) | ([[5 (nombre)|5]], [[7 (nombre)|7]]) | ([[11 (nombre)|11]], [[13 (nombre)|13]]) | ([[17 (nombre)|17]], [[19 (nombre)|19]]) | ([[29 (nombre)|29]], [[31 (nombre)|31]]) |- {{ligne grise}} | ([[41 (nombre)|41]], [[43 (nombre)|43]]) | ([[59 (nombre)|59]], [[61 (nombre)|61]]) | ([[71 (nombre)|71]], [[73 (nombre)|73]]) | ([[101 (nombre)|101]], [[103 (nombre)|103]]) | ([[107 (nombre)|107]], [[109 (nombre)|109]]) |- | ([[137 (nombre)|137]], [[139 (nombre)|139]]) | ([[149 (nombre)|149]], [[151 (nombre)|151]]) | ([[179 (nombre)|179]], [[181 (nombre)|181]]) | ([[191 (nombre)|191]], [[193 (nombre)|193]]) | ([[197 (nombre)|197]], [[199 (nombre)|199]]) |- {{ligne grise}} | ([[227 (nombre)|227]], [[229 (nombre)|229]]) | ([[239 (nombre)|239]], [[241 (nombre)|241]]) | ([[269 (nombre)|269]], [[271 (nombre)|271]]) | ([[281 (nombre)|281]], [[283 (nombre)|283]]) | ([[311 (nombre)|311]], 313) |- | (347, 349 ) | (419 , 421 ) | (431 , 433 ) | (461 , 463 ) | (521 , 523 ) |-{{ligne grise}} | (569 , 571 | (599 , 601 ) | (617 , 619 ) | (641 , 643 ) | (659 , 661 ) |- | (809 , 811 ) | (821 , 823) | (827 , 829 ) | (857 , 859 ) | (881 , 883 ) |} === Quelques propriétés === * Le couple <math>(2, 3)</math> est le seul couple de nombres premiers consécutifs (bien que ne concernant pas les nombres premiers, 2 et 3 constituent aussi les seuls couples de base^puissance consécutifs (3^2 - 2^3 = 1) selon le [[Théorème de Catalan|théorème de Catalan]] conjecturé par Eugène Charles Catalan en 1844 et démontré en 2002 par Preda Mihăilescu!) * En omettant le couple <math>(2, 3)</math>, 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux [[Nombre impair|nombres impairs]] consécutifs. * Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple <math>(3,5)</math>) est de la forme <math>(6n - 1, 6n + 1)</math> pour un certain entier <math>n</math>. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux. * Il est possible de démontrer que, pour tout entier <math>m \ge 2</math>, le couple <math>(m, m + 2)</math> est constitué de nombres premiers jumeaux [[Équivalence logique|si et seulement si]] <math>4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2)</math>. Cette caractérisation [[Arithmétique modulaire|modulaire]] et [[factorielle]] des nombres premiers jumeaux a été découverte par P. A. Clement en [[1949]]<ref>{{en}} P.A. Clement, ''Congruences for sets of primes'', ''American Mathematical Monthly'' n° 56 (1949), pp. 23-25</ref>. * La [[Série (mathématiques)|série]] des [[inverse]]s de nombres premiers jumeaux est convergente vers la [[constante de Brun]], au contraire de la série des inverses de nombres premiers. Cette propriété fut démontrée par [[Viggo Brun]] en 1919<ref>Viggo Brun, ''La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie'', Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128</ref>. === Record === Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, ''Twin Prime Search'' et ''PrimeGrid'', ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-à-dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier<ref>{{en}} {{pdf}} ''Twin Prime Search'', communiqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007 [http://www.twinprimesearch.org/official.pdf]</ref>. Le couple record est 2003663613 × 2<sup>195000</sup>±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale. == Conjecture des nombres premiers jumeaux == La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Bien que la plupart des chercheurs en [[théorie des nombres]] pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers. En [[1849]], [[Alphonse de Polignac]] émit une conjecture plus générale : la [[conjecture de De Polignac]] dont le cas ''n'' = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux. Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]]-[[John Edensor Littlewood|Littlewood]], qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du [[théorème des nombres premiers]]. === Résultats partiels === En [[1940]], [[Paul Erdős]] démontra l'existence d'une constante ''c'' < 1 et d'une infinité de nombres premiers ''p'' tels que : :<math>p' - p < c \ln(p)</math> où ''p''' désigne le nombre premier suivant immédiatement ''p''. Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en [[1986]], Maier montra qu'une constante ''c'' < 0,25 pouvait être atteinte. En [[2003]], Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout ''c'' > 0, il existe une infinité de nombres premiers '' p'' tels que ''p''' - ''p'' < ''c'' ln(''p''). En [[1966]], J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers ''p'' tels que ''p'' + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit '''2-presque-premier'''). Son approche fut celle de la [[théorie du crible]], qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la [[conjecture de Goldbach]]. === La conjecture de Hardy-Littlewood === Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de '''conjecture de [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] - [[John Edensor Littlewood|Littlewood]]''', en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le [[théorème des nombres premiers]]. Soit π<sub>2</sub>(''x'') le nombre de nombres premiers ''p'' ≤ ''x'' tels que ''p'' + 2 soit aussi premier. On note ''C''<sub>2</sub> le nombre obtenu de la façon suivante : :<math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,6601618158468695739278121100145 ...</math> (ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers ''p'' ≥ 3). ''C''<sub>2</sub> est appelé ''constante des nombres premiers jumeaux''<ref> Cette constante est parfois appelée constante de Shah-Wilson et son double nommée constante des nombres premiers jumeaux d'après [http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimesConstant.html Weisstein, Eric W. "Twin Primes Constant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource]</ref> Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante : :<math>\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}</math> (ce qui signifie que le quotient des deux expressions [[limite (mathématiques)|tend vers]] 1 quand ''x'' tend vers l'infini). Comme le second membre à une limite infinie quand ''x'' tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini. Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(''t'') est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée ''conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood''<ref>d'après [http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html Weisstein, Eric W. "Twin Prime Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.] </ref> utilisée dans les recherches sur la [[conjecture de Goldbach]]. == Notes et références == <references/> == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Conjecture de Dubner]] * [[Constante de Brun]] * [[Nombre premier]] * [[Nombre premier de Chen]] * [[Nombres premiers cousins]] * [[Nombres premiers sexy]] === Liens externes === * {{en}} [http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/twin.html ''Twin Primes''] (Chris Caldwell) * {{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html ''Introduction to Twin Primes and Brun's Constant''] (Xavier Gourdon, Pascal Sebah) * {{en}} [http://www.primegrid.com/ Site de Primegrid]. Projet de [[calcul réparti]] utilisant [[BOINC]] afin de rechercher des nombres premiers jumeaux. {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Nombre premier|Jumeaux]] [[ar:حدسية التوأمين الأولية]] [[ca:Nombres primers bessons]] [[cs:Prvočíselná dvojice]] [[da:Primtalstvillinger]] [[de:Primzahlzwilling]] [[el:Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]] [[en:Twin prime]] [[eo:Ĝemela primo]] [[es:Números primos gemelos]] [[fi:Alkulukupari]] [[he:ראשוניים תאומים]] [[hu:Ikerprím]] [[it:Numeri primi gemelli]] [[ja:双子素数]] [[ko:쌍둥이 소수]] [[ksh:Primzalzwilling]] [[nds:Primtalltweeschen]] [[nl:Priemtweeling]] [[no:Tvillingprimtall]] [[pl:Liczby bliźniacze]] [[pt:Números primos gémeos]] [[ru:Простые числа-близнецы]] [[sl:Praštevilski dvojček]] [[sv:Primtalstvilling]] [[tr:İkiz Asallar Sanısı]] [[zh:孪生素数]]