Noyau de la chaleur
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2008-04-03T15:55:13Z
Badmood
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Le '''noyau de la chaleur''' est une [[fonction de Green]], ou solution élémentaire, de l'[[équation de la chaleur]].
== Expression et propriétés ==
=== Définitions générales ===
Soit <math>\Omega</math> un domaine compact de <math>\mathbb R^n</math> à bord <math>\partial \Omega</math>. Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif <math>\hat{H} = - \ \Delta</math>, où <math>\Delta</math> est le [[Laplacien]], muni de conditions aux limites sur le bord <math>\partial \Omega</math> du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui fixent complètement le problème.
L'opérateur positif <math>\hat{H} = - \ \Delta</math> est le générateur d'un [[semi-groupe]] continu dans <math>L^2(\Omega)</math>. On peut alors écrire pour toute fonction ''f'' de carré sommable :
<center>
<math>
e^{- \; t \; \hat{H}} \ f(x) \ = \ e^{+ \; t \; \Delta} \ f(x) \ = \ \int_{\Omega} dy \ K(x,y,t) \ f(y)
</math>
</center>
La fonction ''K(x,y,t)'' est appelée le « ''noyau de la chaleur'' ». En effet, la fonction :
<center>
<math>
f(x,t) \ = \ e^{+ \; t \; \Delta} \ f(x)
</math>
</center>
est clairement une solution de l'[[équation de la chaleur]] :
<center>
<math>
\frac{\partial f (x,t)}{\partial t} \ = \ \Delta \ f(x,t)
</math>
</center>
De plus, le semi-groupe tend vers l'identité lorsque le temps ''t'' tend vers zéro :
<center>
<math>
f(x,t) \ = \ \ e^{+ \; t \; \Delta} \ f(x) \ \to_{t \to 0^+} \ f(x)
</math>
</center>
de telle sorte que le noyau de la chaleur ''K'' doit avoir le comportement asymptotique :
<center>
<math>
K(x,y,t) \ \to_{t \to 0^+} \ \delta (x - y)
</math>
</center>
où <math>\delta (x)</math> est la [[distribution de Dirac]]. Ainsi, le noyau de la chaleur ''K(x,y,t)'' apparait comme étant une [[fonction de Green]], ou solution élémentaire, de l'équation de la chaleur.
=== Théorie spectrale ===
Lorsque le domaine <math>\Omega</math> est compact, l'opérateur positif <math>\hat{H} = - \ \Delta</math> possède un spectre discret de [[valeur propre|valeurs propres]] auxquels est associée une base orthonormée de vecteurs propres (on utilise ici les [[Notation bra-ket|notations de Dirac]]) :
<center>
<math>
\hat{H} \ | \psi_n \rangle \ = \ \lambda_n \ | \psi_n \rangle \, , \quad 0 \le \lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n \le \dots \le + \infty
</math>
</center>
On peut alors écrire en introduisant deux fois la relation de fermeture :
<center>
<math>
K(x,y,t) \ = \ \langle y | e^{- \; t \; \hat{H}} | x \rangle \ = \ \sum_{n,m=1}^{+ \infty} \ \langle y | \psi_m \rangle \ \langle \psi_m | e^{- \; t \; \hat{H}} | \psi_n \rangle \ \langle \psi_n | x \rangle
</math>
</center>
qui devient :
<center>
<math>
K(x,y,t) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \langle y | \psi_n \rangle \ \langle \psi_n | x \rangle \ e^{- \; t \; \ \lambda_n} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \overline{\psi_n}(y) \ \psi_n(x) \ e^{- \; t \; \lambda_n}
</math>
</center>
=== Trace du noyau de la chaleur ===
La [[trace]] du noyau de la chaleur est définie par<ref>En [[physique statistique]], c'est la [[fonction de partition]] canonique ''Z(t)'' du système pour la « température inverse » ''t''. </ref> :
<center>
<math>
\mathrm{Tr} \ e^{- \; t \; \hat{H}} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ e^{- \; t \; \lambda_n}
</math>
</center>
Les états propres étant orthonormés, on remarque que l'on peut écrire :
<center>
<math>
\int_{\Omega} dx \ K(x,x,t) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ e^{- \; t \; \lambda_n} \ \int_{\Omega} dx \ | \psi_n(x) |^2 \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ e^{- \; t \; \lambda_n}
</math>
</center>
On a donc la relation fondamentale :
<center>
<math>
\mathrm{Tr} \ e^{- \; t \; \hat{H}} \ = \ \int_{\Omega} dx \ K(x,x,t)
</math>
</center>
Cette relation est liée à de nombreuses « formules des traces » comme celle de [[formule des traces de Selberg|Selberg]] en géométrie hyperbolique, ou celle de [[formule des traces de Gutzwiller|Gutzwiller]] à l'approximation semi-classique.
=== Fonctions spectrales ===
On définit la ''fonction de comptage'' des valeurs propres :
<center>
<math>
\mathcal{N} (\lambda) \ = \ \mathrm{Tr} \ \theta ( \hat{H} - \lambda ) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \theta ( \lambda_n - \lambda )
</math>
</center>
où <math>\theta(x)</math> est la [[Fonction de Heaviside|distribution de Heaviside]]. La fonction de comptage est une fonction en escalier positive croissante qui donne le nombre total de valeurs propres inférieures ou égales à <math>\lambda</math>. Sa dérivée est la ''densité spectrale'' de valeurs propres :
<center>
<math>
\rho (\lambda) \ = \ \mathrm{Tr} \ \delta ( \hat{H} - \lambda ) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \delta ( \lambda_n - \lambda )
</math>
</center>
La trace du noyau de la chaleur est reliée à ces fonctions par une [[transformation de Laplace]] :
<center>
<math>
\mathrm{Tr} \ e^{- \; t \; \hat{H}} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ e^{- \; t \; \lambda_n} \ = \ \int_0^{+\infty} e^{- \; t \; \lambda} \ \rho(\lambda) \ d \lambda \ = \ \int_0^{+\infty} e^{- \; t \; \lambda} \ d \mathcal{N} (\lambda)
</math>
</center>
=== Fonction zeta spectrale ===
On suppose ici que le fondamental <math>\lambda_1 \ne 0</math>. Par analogie avec la [[fonction zeta de Riemann]], on introduit la fonction zeta spectrale par la [[Série de Dirichlet|série de type Dirichlet]] :
<center>
<math>
\zeta (s) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \frac{1}{\lambda_n^s}
</math>
</center>
qui converge pour <math>\Re \mathrm{e} \left[ \, s \, \right] </math> suffisamment grand. Cette fonction zeta est reliée à la trace du noyau de la chaleur par une [[Transformation de Mellin|transformée de type Mellin]] :
<center>
<math>
\zeta (s) \ = \ \frac{1}{\Gamma(s)} \ \int_0^{+\infty} dt \ t^{s-1} \ \mathrm{Tr} \ e^{- \; t \; \hat{H}}
</math>
</center>
La fonction zeta est notamment utilisée pour régulariser les [[déterminant]]s d'opérateurs qui apparaissent lors de calculs d'[[intégrale de chemin|intégrales de chemins]] en [[théorie quantique des champs]]. En effet, le déterminant de l'opérateur '''H''' est défini par :
<center>
<math>
\mathrm{det} \ \hat{H} \ = \ \prod_{n=1}^{+\infty} \ \lambda_n
</math>
</center>
Avec l'identité :
<center>
<math>
\ln \ \mathrm{det} \ \hat{H} \ = \ \ln \ \left( \prod_{n=1}^{+\infty} \ \lambda_n \right) \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \ \ln \lambda_n \ = \ \mathrm{Tr} \ \ln \ \hat{H}
</math>
</center>
on démontre facilement la relation formelle :
<center>
<math>
\mathrm{det} \ \hat{H} \ = \ \exp \, \left[ \, - \ \zeta'(0) \, \right]
</math>
</center>
où la dérivée de la fonction zeta est évaluée en ''s'' = 0.
== Extension aux variétés riemanniennes compactes ==
Toutes les définitions précédentes s'étendent assez naturellement au cas de l'[[opérateur de Laplace-Beltrami]] sur une [[variété riemannienne]] ''[[espace compact|compact]]e'', qui possède alors également un spectre discret. Sur une variété ''compacte'', la fonction constante est normalisable à l'unité, de telle sorte que l'état fondamental est associé à la valeur propre nulle, qui est non dégénérée.
Il est alors commode de poser : <math>\lambda_0 = 0</math>, et on a :
<center>
<math>
\hat{H} \ | \psi_n \rangle \ = \ \lambda_n \ | \psi_n \rangle \, , \quad 0 = \lambda_0 \ < \lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n \le \dots \le + \infty
</math>
</center>
On peut également associer à ce spectre une fonction zeta à la condition de supprimer la valeur propre nulle « à la main ».
== Développement asymtotique du noyau de la chaleur ==
Le terme diagonal du noyau de la chaleur admet un [[développement asymptotique]] en temps petit.
=== Variété riemannienne compacte sans bord ===
Pour une variété riemannienne ''M'' compacte de dimension ''d'' sans bord, on a le développement de Minakshisundaram-Pleijel<ref>Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel ; ''Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds'', Canadian Journal of Mathematics '''1''' (1949), 242--256.</ref> (1949) :
<center>
<math>
K(x,x,t) \ \sim \ \frac{1}{t^{d/2}} \ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x) \ t^n \qquad ( t \to 0^+)
</math>
</center>
où les coefficients <math>a_n(x)</math> sont des fonctions lisses sur ''M'', qui dépendent de la [[tenseur métrique|métrique]] et de ses dérivées en ''x''. Par intégration sur tous les points ''x'', on en déduit que la [[trace]] du noyau de la chaleur admet également un développement asymptotique en temps petit :
<center>
<math>
\mathrm{Tr} \ e^{- \; t \; \hat{H}} \ \sim \ \frac{1}{t^{d/2}} \ \sum_{n=0}^{+\infty} A_n \ t^n \qquad ( t \to 0^+)
</math>
</center>
où les constantes <math>A_n</math> sont définis par :
<center>
<math>
A_n \ = \ \int_M a_n(x) \ d\mu(x)
</math>
</center>
pour le [[Mesure (mathématiques)|mesure]] induite par la métrique. Ces constantes font apparaitre certaines caractéristiques géométriques globales de ''M'' ; par exemple, la constante <math>A_0</math> est proportionnelle à l'hypervolume de la variété : <math>\mathrm{mes} \, (M)</math>, où :
<center>
<math>
\mathrm{mes} \, (M) \ = \ \int_M \ d\mu(x)
</math>
</center>
=== Variétés à bord ===
L'existence d'un tel développement asymptotique peut être étendu aux variétés à bord suffisamment réguliers. L'opérateur de Laplace-Beltrami doit alors être muni de conditions aux limites appropriées.
=== Spectre & géométrie ===
{{Article détaillé|Géométrie spectrale}}
Le développement de la trace du noyau de la chaleur est relié à celui de la fonction de comptage des valeurs propres (ou sa dérivée, la densité spectrale).
== Articles liés ==
* [[Laplacien]]
* [[Opérateur de Laplace-Beltrami]].
* [[Géométrie spectrale]]
* [[Formule sommatoire de Poisson]]
* [[Formule des traces de Selberg]]
* [[Formule des traces de Gutzwiller]]
* [[Chaos quantique]]
* [[Régularisation zeta]]
== Bibliographie ==
=== Ouvrages de références ===
* Marcel Berger, Paul Gauduchon & Edmond Mazet ; ''Le spectre d'une variété Riemanienne'', Lecture Notes in Mathematics '''194''', Springer-Verlag (1971).
* Isaac Chavel ; ''Eigenvalues in Riemannian Geometry'', Pure and Applied Mathematics '''115''', Academic Press (2{{e}} édition-1984), ISBN 0121706400.
=== Quelques articles ===
* S Minakshisundaram & A Pleijel ; ''Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds'', Canadian Journal of Mathematics '''1''' (1949), 242--256.
* H. P. McKean & I. M. Singer ; ''Curvature and the eigenvalues of the Laplacian'', Journal of Differential Geometry '''1 (1)''' (1967), 43-69.
* Peter B. Gilkey ; ''The spectral geometry of a Riemannian manifold'', Journal of Differential Geometry '''10(4)''' (1975), 601-618.
* Yves Colin de Verdière ; ''Propriétés asymptotiques de l'équation de la chaleur sur une variété compacte, d'après P. Gilkey'', Séminaire Bourbaki (Novembre 1973).
* Yves Colin de Verdière ; ''Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques (I)'', Compositio Mathematica '''27 (1)''' (1973), p 83-106. [http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=nc&id=CM_1973__27_1_83_0&format=complete Numdam].
* Yves Colin de Verdière ; ''Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques (II)'', Compositio Mathematica, '''27 (2)''' (1973), p 159-184. [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1973__27_2_159_0 Numdam].
* Maria Teresa Arede ; ''Géométrie du noyau de la chaleur sur les variétés'', Thèse de troisième cycle, Université de Marseille (1983).
* Teresa Arede ; ''Manifolds for which the heat kernel is given in terms of geodesic lengths'', Letters in Mathematical Physics '''9 (2)''' (1985), 121-131.
* Peter B Gilkey ; ''Heat Equation Asymptotics'', Proc. Symp. Pure and Applied Math. V54 (1993), 317-336.
* Klaus Kirsten ; ''Spectral functions in mathematics and physics'', Chapman & Hall/CRC , Boca Raton, FL (2002), ISBN 1-58488-259-X.
* Peter B. Gilkey ; ''Asymptotic formulae in spectral geometry'', Studies in Advanced Mathematics, vol. 43, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL (2004), ISBN 1-58488-358-8
=== Bibliothèque virtuelle ===
* Claude Bardos & Olivier Laffite ; ''Une synthèse de résultats anciens et récents sur le comportement asymptotique des valeurs propres du Laplacien sur une variété riemannienne'', (1998). [http://www.cmla.ens-cachan.fr/Cmla/Publications/1998/CMLA9804.ps.gz PostScript].
* M. van den Berg, S. Desjardins & P B Gilkey ; ''Heat content asymptotics of Riemannian manifolds'', dans : ''Differential Geometry and its Applications'', O. Kowalski & D. Krupka (éditeurs), proceedings of 5th international conference 1992 on differential geometry and its applications at Silesian University (1993), ISBN 80-901581-0-2, p. 61-64. [http://www.emis.de/proceedings/5ICDGA/II/gilkey.ps PostScript].
* D. V. Vassilevich ; ''Heat kernel expansion: user's manual'', Physics Report '''388''' (2003), 279-360. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0306138 hep-th/0306138].
* Tamás Hausel ; ''Eigenvalues and the Heat Kernel'', [http://www.ma.utexas.edu/~hausel/m392cr/young.pdf pdf].
* Arlo Caine ; ''The heat kernel on a Riemannian manifold'', [http://math.arizona.edu/~caine/pdf/Heat_Kernel.pdf pdf].
* Daniel Grieser ; ''Notes on the heat kernel on manifolds with boundary'', [http://www.mathematik.uni-oldenburg.de/personen/grieser/wwwlehre/heat.pdf pdf].
== Notes ==
<references />
{{Portail|mathématiques|physique}}
[[Catégorie:Physique mathématique]]