<page> <title>Orthogonalité</title> <id>245321</id> <revision> <id>29700819</id> <timestamp>2008-05-18T16:03:41Z</timestamp> <contributor> <username>DumZiBoT</username> <id>280295</id> </contributor> <minor /> <comment>robot Modifie: [[es:Ortogonalidad (matemáticas)]]</comment> <text xml:space="preserve">[[Image:Heat eqn.gif|300px|right|thumb|L'[[équation de la chaleur|équation régissant la propagation de la chaleur]] se résout à l'aide de l'orthogonalité dans un [[espace vectoriel|espace]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] infinie.]] En [[mathématiques]], l''''orthogonalité''' est un concept d'[[algèbre linéaire]] associé à une [[forme bilinéaire]]. Un cas fréquent est celui où cette forme est un [[produit scalaire]]. Si un [[espace vectoriel|espace]] est munie d'une [[géométrie euclidienne]], il est naturellement équipé d'une distance, deux [[vecteur]]s sont '''orthogonaux''' si et seulement si leurs directions sont [[perpendiculaire]]s ou encore forment un [[angle droit]]. Depuis la [[Mathématiques de la Grèce antique|Grèce antique]], l'angle droit est à l'origine de la démonstration nombreux théorèmes. Ceux de [[théorème de Pythagore|Pythagore]] et de la [[triangle rectangle|médiane]] sont des exemples. Les grands et petits axes d'une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] sont orthogonaux, source de multiple propriétés. L''''orthogonalité''' généralise dans un premier temps l'idée d'angle droit à un espace de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension finie]] munis d'un produit scalaire. Les résultats découverts dans l'univers précédents prennent une nouvelle forme. Les axes principaux d'une surface [[quadrique]] sont orthogonaux, cette propriété permet leur classification. L'article [[théorème spectral]] montre de nombreuses applications, comme la résolution de l'équation du mouvement d'une [[corde vibrante]] modélisée par des petites masses en nombre fini et à égales distance ou la [[méthode des moindres carrés]] en [[statistiques]]. L''''orthogonalité''' s'applique encore si les nombres sous-jacents ne sont plus [[nombre réel|réels]]. L'usage des [[nombre complexe|nombres complexes]] amène à une autre géométrie, dite [[espace hermitien|hermitienne]]. En [[arithmétique]] l'utilisation de l'orthogonalité sur les nombres entiers permet à [[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736]]-[[1813 en science|1813]])</small> de trouver une nouvelle démonstration du [[théorème des deux carrés de Fermat]]. Les [[représentations d'un groupe fini]] font appel à des [[corps fini|ensembles de nombres finis]]. L'orthogonalité y joue un grand rôle. L'[[analyse fonctionnelle]] n'est pas en reste. Il est parfois possible de définir un produit scalaire sur un espace de fonctions à valeur réelles ou complexes de dimension infinie. L''''orthogonalité''' y est utilisée à travers la notion de [[base de Hilbert]], une généralisation de la [[base orthonormale]]. Elle permet de résoudre des équations comme celle [[équation de la chaleur|de la chaleur]] ou d'une [[Onde sur une corde vibrante|corde vibrante]] dans le cas général. Parfois, l'espace de fonctions ne dispose pas de produit scalaire. Le [[dual topologique]] permet alors de faire usage de l''''orthogonalité'''. Le [[espace dual|crochet de dualité]] est une forme bilinéaire qui s'applique sur le dual et et l'espace, il remplace le produit scalaire et permet d'obtenir des résultats un peu analogues aux configurations précédentes. == Géométrie d'Euclide == === Définitions === [[Image:Perpendicular-coloured.svg|200px|left|thumb|Deux segments perpendiculaires]] Une première approche intuitive associe l'orthogonalité à l'[[angle droit]]. Dans ce paragraphe ''E'' est plan équipé d'une [[géométrie euclidienne]], comme l'angle droit est défini à l'aide de deux droites, et que deux droites sont toujours coplanaire, il n'est pas utile d'aller plus loin. En revanche les résultats s'appliquent encore dans notre espace usuel de dimension trois. Le plan est formalisé soit par les ''cinq postulats d'Euclide''<ref>Deledicq André Traduction d'Euclide Peyrard 1804 ''les Eléments d'Euclide pour le collège et le Lycée'' Les éditions du Kangourou 1999</ref>, soit pour être parfaitement rigoureux par les vingt [[axiomes de Hilbert]]<ref>[[David Hilbert]] ''Grundlagen der Geometrie'' 1<sup>ière</sup> éd. 1899, B.G. Teubner, Leipzig [http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf version anglaise]</ref>. E possède des [[application (mathématiques)|transformations]] particulières, de ''E'' dans lui-même, appelées [[Isométrie affine|isométrie]]s. Elles conservent les distances. Ainsi, si ''A'' et ''B'' sont deux points de ''E'' et ψ une isométrie, la distance entre ψ(''A'') et ψ(''B'') est la même que celle entre ''A'' et ''B''. Dans un tel espace, les isométries sont les [[translation]]s, les [[Rotation affine|rotations]] et les [[Réflexion (mathématiques)|réflexions]] correspondant à l'image d'un miroir. {{Théorème|Définition 1| Deux [[droite sécante|droites sécantes]] et non confondues Δ<sub>1</sub> et Δ<sub>2</sub> forment un angle droit, ou encore sont '''orthogonales''' si et seulement s'il existe une rotation tel que l'image de Δ<sub>1</sub> (resp. Δ<sub>2</sub>) soit Δ<sub>2</sub> (resp. Δ<sub>1</sub>).}} La seule rotation utilisable pour cette définition est celle d'un quart de tour. Il serait possible de définir l'angle droit à l'aide d'une réflexion. Les droites Δ<sub>1</sub> et Δ<sub>2</sub> sont perpendiculaires si et seulement s'il existe une réflexion d'axe Δ<sub>1</sub> laisse globalement invariant Δ<sub>2</sub>. Il est aisé de remarquer que si une droite Δ<sub>2</sub> est perpendiculaire à une droite Δ<sub>1</sub> et si Δ<sub>2</sub> est [[Parallélisme (géométrie)|parallèle]] à une droite Δ<sub>3</sub>, alors les droites Δ<sub>1</sub> et Δ<sub>3</sub> forment un angle droit. La notion d'orthogonalité ne s'applique pas seulement à des droites mais, de manière plus générale à des ''directions''. Deux droites sont dites avoir même direction si et seulement si elles sont parallèles. {{Théorème|Définition 2| Deux directions δ<sub>1</sub> et δ<sub>2</sub> sont '''orthogonales''', ou encore forment un angle droit, si et seulement s'il existe une droite Δ<sub>1</sub> (resp. Δ<sub>2</sub>) de direction δ<sub>1</sub> (resp. δ<sub>2</sub>) tel que Δ<sub>1</sub> et Δ<sub>2</sub> soient perpendiculaires.}} Ces deux définitions permettent de nombreuses généralisations. Ainsi deux segments (resp. vecteurs) (resp. bipoints) sont orthogonaux si et seulement si leurs directions le sont. Une droite Δ est perpendiculaire à un plan si et seulement si toute droite du plan est orthogonale à Δ. === Propriétés === [[Image:Pythagorean.svg|thumb|250px|Une version géométrique du théorème.]] Pour la géométrie du triangle, la tradition consiste à utiliser le terme de ''perpendiculaire'' et non ''orthogonal'', dans ce contexte, les deux notions sont rigoureusement équivalentes. La propriété fondamentale de la géométrie d'Euclide est le [[théorème de Pythagore]]. Il s'exprime ainsi : {{Théorème|Théorème de Pythagore| Dans un [[triangle rectangle]], le carré de la longueur de l'[[hypoténuse]] (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.}} Ce résultat semble être l'un des tous premiers théorèmes connus de l'humanité. On en trouve probablement des traces à une période datant d'avant l'écriture<ref>Le professeur Alexander Thom montre que des [[Mégalithe]]s d'Europe du nord suivent un alignement associé à des [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] : A. Thom Megalithic Geometry in Standing Stones ''New Scientist'' 12 mars 1964 [http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html Megalithic triangles]</ref>. La première démonstration connue provient d'[[Euclide]] qui vivait autour de -300 av. J.C., elle est rédigée dans un texte nommé les [[Éléments d'Euclide|Éléments]]. La réciproque est aussi vraie. C'est à dire que si, avec les notations de la figure, la somme de l'aire des carré de coté ''a'' et ''b'' est égal à l'aire du carré de coté ''c'', alors le triangle est [[triangle rectangle|rectangle]]. Autrement dit, si ''A'', ''B'' et ''C'' sont trois points d'un plan, l'angle formé par les segments [''A'', ''B''] et [''A'', ''C''] est droit si et seulement si : <center><math> \text{d}(A,B)^2 +\text{d}(A,C)^2=\text{d}(B,C)^2\;</math></center> [[Image:Raute.png|200px|left|thumb|La figure du [[losange]] est un moyen de construire un angle droit.]] Dans cet article ''d''(''A'', ''B'') désigne la distance entre ''A'' et ''B''. Cette propriété permet de démontrer le [[théorème de la médiane]] attribué à [[Apollonius de Perga]]<ref>Cette attribution ne date pas d'hier. On la trouve par exemple dans : J.N. Haton de la Goupillière ''Mémoire sur une théorie nouvelle de la géométrie des masses'' Journal de l'Ecole Impériale de Polytechnique N° 36 T 21 p 77</ref>. Il stipule que si ''A'', ''B'' et ''C'' sont trois points du plan et si ''I'' est le milieu du segment [''B'', ''C''] alors : <center><math>\text{d}(A,B)^2 + \text{d}(A,C)^2 = 2\text{d}(B,I)^2 + 2\text{d}(A,I)^2\,</math></center> Le terme de [[Médiane (géométrie)|médiane]] désigne une droite passant par un sommet et le milieu du coté opposé d'un triangle. Si un triangle ''A'', ''B'', ''C'' est tel que la distance entre ''A'' et ''B'' est la même que celle entre ''B'' et ''C'', le triangle est dit ''isocèle''. Soit ''I'' le milieu de ''A'' et ''C'', alors le théorème de la médiane indique que : <center><math>2\text{d}(A,B)^2 = 2\text{d}(B,I)^2 + 2\text{d}(A,I)^2\,</math></center> La condition nécessaire et suffisante précédente indiquant qu'un angle est rectangle est remplie et l'angle ''AIB'' est droit. Ceci démontre que les deux diagonales d'un losange sont perpendiculaires. === Constructions à la règle et au compas === {{Article détaillé|construction à la règle et au compas}} [[Image:perpendiculaireconstructible.png|180px|right|thumb|Construction de deux droites perpendiculaires.]] Une première question consiste à savoir comment, à l'aide d'une règle et d'un compas, dessiner deux droites perpendiculaires. Une technique simple consiste à choisir deux points ''A'' et ''B'' sur la première droite Δ<sub>1</sub> et à dessiner deux cercles de même rayon ayant deux points d'intersections. La droite Δ<sub>1</sub>, passant par les deux points d'intersection, est perpendiculaire à la première. La figure est un losange, l'étude des propriétés du paragraphe précédent montre que les deux droites sont perpendiculaires. La figure de droite montre qu'il est inutile que les deux cercles soit de même rayon. En effet, avec les notations de la figure, soit ''D'' le deuxième point d'intersection des deux cercles et ''O'' le milieu de ''C'' et ''D''. Comme le triangle ''CAD'' est isocèle, la droite passant par ''A'' et ''O'' est perpendiculaire à celle passant par ''C'' et ''D''. Un raisonnement analogue montre que la droite passant par ''B'' et ''O'' possède les mêmes propriétés, elles sont donc les mêmes directions et un point commun ''O'', ce qui montre qu'elles sont confondues avec la droite Δ<sub>1</sub>. [[Image:thm mediane.png|thumb|200px|gauche|Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle]] Cette technique de construction d'un angle droit est ancienne. Elle date probablement de [[Å’nopide de Chios]]<ref>Cette attribution est l'Å“uvre de [[Proclos]], pour Heath : T. L. Heath ''A history of Greek mathematics Vol I'' Dover Publications; New Ed edition {{ISBN|0486240738}}</ref>, un mathématicien grec vivant cinq siècles avant J.C. Une autre solution est illustrée par la figure de gauche. Elle consiste à tracer un cercle et un triangle dont un coté est un diamètre et dont le sommet est un point du cercle. Un tel triangle est toujours rectangle. En effet, le théorème de la médiane montre que la somme des carrés des longueurs des segments [''A'', ''B''] et [''A'', ''C''] est égal à quatre fois le carré du [[Rayon (géométrie)|rayon]], c'est à dire le carré de la distance entre ''B'' et ''C''. De nombreuses constructions à la règle et au compas utilisent les propriétés de l'orthogonalité. Elle permet de couper un angle en deux, à l'aide de la [[bissectrice]]. A l'exception du [[triangle équilatéral]] qui n'en a pas besoin, le dessin à la règle et au compas des polygones réguliers constructibles utilise les propriétés de l'orthogonalité. === Orthogonalité et théorèmes géométriques === [[Image:Triangle cercleinscrit.png|right|180px|frame|Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.]] De nombreux théorèmes géométriques utilisent le théorème de Pythagore et donc l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés. Le fait que les trois bissectrices d'un triangles soient concourantes et soit le centre du [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercle inscrit]] dans le triangles provient de la propriété d'orthogonalité de la bissectrice déjà rencontrée pour construire deux droites perpendiculaires. [[Image:Triangle droiteEuler.png|250px|thumb|left|Droite et cercle d'Euler d'un triangle.]] De même, les trois [[hauteurs d'un triangle]] d'un triangles sont concourantes. Le point d'intersection s'appelle l'[[orthocentre]]. Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au coté opposé. Un autre résultat précise que les trois médianes sont aussi concourantes. Le point d'intersection est le [[centre de gravité]]. Ce qui signifie que si un triangle est matérialisé en un solide homogène, il est en équilibre sur une pointe posée exactement sur ce point d'intersection. [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]] [[1783]])</small> trouve une [[Droite d'Euler|droite remarquable]]. Le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont alignés. Cette droite est le centre d'un cercle étonnant appelé [[cercle d'Euler]]. Il passe par neuf points remarquables du triangle. [[Karl Wilhelm Feuerbach]] <small>([[1800 en science|1800]] [[1834 en science|1834]])</small> établit [[Théorème de Feuerbach|son théorème]] affirmant que le cercle d'Euler est tangent aux trois [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercles exinscrits]] du triangle. Tous ces théorèmes utilisent les propriétés de l'orthogonalité pour pouvoir être démontrées. === Utilisations dans d'autres contextes === [[Image:coniques cone.png|thumb|right|250px|La définition moderne des [[conique]]s est celle d'Apollonius.]] L'utilisation de l'orthogonalité en dehors de la géométrie date de la plus haute antiquité. Les [[Babylone (royaume)|babyloniens]] utilisent un [[triangle rectangle]] isocèle de coté ''un'' pour calculer la [[racine de deux]]. L'orthogonalité d'un angle ainsi que la [[formule de Héron]] leur permettaient d'accéder à une remarquable approximation<ref>E. Robson D. Fowler [http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context], ''Historia Mathematica, 25, pp. 366-378'' 1998</ref>. Apollonius écrit un traité sur les coniques<ref name=Apollonius>[[Apollonius de Perge]] ''Les Coniques d’Apollonius de Perge'' trad. P. Ver Eecke, 1922, rééd. Blanchard, Paris, 1963</ref> qui fascinent de nombreuses générations<ref>[[Michel Chasles]] en parle longuement dans son livre : ''Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie'' Hayez Bruxelle 1837 p 19 [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k290445/f25.table Lire]</ref>. Il y démontre les propriétés [[Asymptote|asymptotiques]] des [[Hyperbole (mathématiques)|hyperboles]], des foyers et la base des propriétés des [[Polaire réciproque|polaires réciproques]]<ref name=Apollonius/>. L'antiquité n'est pas la seule période à utiliser des relations d'orthogonalité en géométrie. [[René Descartes]] <small>([[1596]] [[1650]])</small> généralise l'idée d'abscisses et d'ordonnées déjà présente chez Apollonius<ref>M. Housel Les coniques d'Apollonius ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'' Paris. Vol 3 1858 p 154 [http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=VERESS4-1201036521411&B=1&E=PDF&O=NUMM-16402 Lire]</ref> et utilise systématiquement l'angle droit pour définir ses [[repère cartésien|repères]]<ref>[[René Descartes]] ''La Géométrie'', Hollande p 1 1637 [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29040s/f8.table lire]</ref>, ce qui permet de calculer simplement la distance entre deux points dans le plan. Elle correspond à la somme des carrés des différences des coordonnées. Il utilise son repère pour établir les lois de l'optique<ref>[[René Descartes]] ''La Dioptrique'' Hollande 1637 [http://classiques.uqac.ca/classiques/Descartes/dioptrique/dioptrique.html lire]</ref> comme celles de la [[réfraction]] et de le [[Réflexion optique|reflexion]]. [[Isaac Newton]] <small>([[1643]] [[1727]])</small> utilise des propriétés d'orthogonalités (la traduction française utilise le mot ''perpendiculaire'') pour établir les principes du [[calcul différentiel]]. Les définitions de [[dérivée]] et d'[[intégrale]] pour cet auteur se fonde sur des raisonnements géométriques où l'orthogonalité joue un rôle majeur. Newton les utilise pour déterminer la trajectoires des planètes autour du soleil<ref>[[Isaac Newton]] '' 1687 [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29037w/f70.table lire]</ref>. Son formalisme correspond essentiellement à une logique analogue à celle d'Euclide, le recours au repère cartésien est rare. == Généralisation du concept == === Arithmétique === [[Image:Fermat deux carrés.jpg|thumb|200px|left|Un [[nombre premier]] est somme de deux carrés s'il se trouve sur un cercle dont le carré du rayon est entier. Cette remarque introduit l'orthogonalité dans l'[[arithmétique]].]] D'autres questions, bien éloignées de la géométrie du triangle sont finalement résolues avec l'orthogonalité. En [[1640]] [[Pierre de Fermat]] <small>([[1601]]-[[1665]])</small> se pose la question de savoir quels [[Théorème des deux carrés de Fermat|nombres premiers sont somme de deux carrés]]<ref>[[Pierre de Fermat]] ''Correspondance'' Marin de Mersenne 25 Décembre 1640</ref>. La question est d'apparence anodine, ''cinq'' et ''treize'' vérifient cette propriété, ''sept'' et ''onze'' non. Fermat devine juste en conjecturant que tout [[nombre premier]] impair dont le reste de la division par quatre est égal à ''un'' est somme de carré, mais comment le démontrer ? Plus d'un siècle et le talent d'Euler sont nécessaire pour en venir à bout<ref>Le résultat est annoncé dans une lettre d'Euler à [[Christian Goldbach]] le 12 avril [[1749]]</ref>. L'équation ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''p'' est enfin résolue, elle fait partie d'une interrogation plus vaste, dans quel cas l'équation ''x''<sup>2</sup> + ''n.y''<sup>2</sup> = ''p'' admet-elle une solution [[entier naturel|entière]]? De manière plus générale, dans quel cas l'équation suivante à coefficients entiers admet-elle une solution entière : <center><math>(1)\quad a.x^2+2b.xy+c.y^2=p\;</math></center> Une telle expression est appelée une [[forme quadratique]]. Lagrange propose une démarche originale, il remarque que, sous réserve de ''bonnes propriétés'' sur les coefficients ''a'', ''b'' et ''c'', la formule ''(1)'' représente le carré de la distance du point (''x'', ''y'') à l'origine. La question est alors de savoir dans quel cas il existe deux [[vecteur]]s à coefficients entiers orthogonaux et de ''longueur un''. Lagrange trouve la condition nécessaire et suffisante qui lui permet de conclure<ref>[[Joseph-Louis Lagrange]] Recherche d'arithmétique seconde partie ''Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin'' 1775 Oeuvres, vol III p 695, 795. Le théorème est démontrée sous le nom de ''Lemme VII'' p 782, 783</ref>. Ce raisonnement lui permet de résoudre l'équation ''x''<sup>2</sup> + ''n.y''<sup>2</sup> = ''p'' si ''n'' est égal à ''un'', ''deux'', ''trois'', ''quatre'' ou ''cinq''. Le cas général reste hors de portée. Il faut encore plus d'un siècle d'efforts et le talent de nombreux géomètres, souvent allemands pour en venir à bout<ref>On peut citer [[Carl Friedrich Gauss]], [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], [[Karl Weierstrass]], [[Leopold Kronecker]] et [[David Hilbert]]. cette histoire est analyser dans l'article suivant : F. Lemmermeyer ''The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae'' Springer Berlin Heidelberg 2007 {{ISBN|978-3-540-20441-1}} p 529 561 [http://www.math.uiuc.edu/Algebraic-Number-Theory/0354/dpgt.pdf lire]</ref>. L'[[arithmétique]] fait usage de l'orthogonalité, cependant, à la différence des grecs, les nombres associés ne sont plus les [[nombre réel|réels]] mais les entiers. La théorie voit un enrichissement à d'autres ensemble de nombres. === Dimension quelconque === [[Image:Ellipsoide.png|thumb|240 px|right|Comme toutes les [[quadrique]]s, un [[ellipsoïde]] possède des axes principaux orthogonaux. Cette propriété permet leur classification.]] Une autre question impose une nouvelle généralisation. Depuis Newton, la trajectoire des planètes, essentiellement sous l'influence du soleil est relativement bien connue. Cependant, les planètes s'attirent entre elles, créant de petites [[Théorie des perturbations|perturbations]] par rapport à l'approximation de Newton, appelées ''variations séculaires''. Lagrange cherche à démontrer que les variations du premier ordre ne peuvent déstabiliser le système<ref>[[Joseph-Louis Lagrange]] ''Théorie des variations séculaires des éléments des planètes'' Nouv. mém. de l’acad. des sciences de Berlin Vol 1 p 125 1783</ref>. [[Augustin Louis Cauchy]] <small>([[1789]] [[1857 en science|1857]])</small> découvre que cette question est aussi associée à une forme quadratique. Il remarque qu'une équation de type ''(1)'' généralisée à la dimension trois définit une surface [[quadrique]] comme l'[[ellipsoïde]] de la figure de droite. Trouver les bons vecteurs orthogonaux pour cette quadrique lui permet de les classifier toutes<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Sur les centres, les plans principaux et les axes principaux des surfaces du second degré'' Exer. de math.3 = Å’uvres (2)8, pp 8 35 [[1828 en science|1828]]</ref>. Cette méthode résout aussi la question de Lagrange dans le cas où seul trois planètes sont prises en compte<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires du mouvement des planètes'' Exer. de math. 4 = Å’uvres (2)9, pp 174 195 [[1829 en science|1829]]</ref>. La preuve de Cauchy est parcellaire, il existe plus de trois planètes. Pour résoudre le cas général, il faut pouvoir trouver autant de vecteurs orthogonaux qu'il existe de planètes. Cette question, consistant à trouver une ''bonne'' famille de vecteurs orthogonaux pour une forme quadratique est finalement résolue<ref>[[Karl Weierstrass]] ''Uber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem'' M’ber. Akad. der Wiss. Berlin [[1858 en science|1858]] traduction Frédéric Brechenmacher</ref> par [[Karl Weierstrass]] <small>([[1815 en science|1815]] - [[1897 en science|1897]])</small> en [[1858 en science|1858]]. Si l'avancée mathématique est certaine, la preuve de la stabilité du système solaire n'est toujours pas faite. l'astronome [[Urbain Le Verrier]] <small>([[1811 en science|1811]] - [[1877 en science|1877]])</small> montre que les termes d'ordre deux ne peuvent être négligés<ref>[[Jacques Laskar]] ''La stabilité du système solaire'' Seuil pp 184-187 1992 {{ISBN|2-02-015182-0}} [http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/preprints/prep.2003/th2002_laskar.pdf Lire]</ref>. Si les conséquences en astronomie restent douteuses, une chose est néanmoins établie. L'orthogonalité ne peut plus se limiter à la dimension trois, les services qu'elle rend sont appréciables en mathématiques comme en physique sur des espaces de dimension quelconque.<ref>L'analyse des prolégomènes du théorème de Weierstrass provient de l'article : F. Brechenmacher ''L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes'' Chapitre extrait d'une thèse de doctorat sous la direction de J. Dhombre [http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.2931.pdf lire]</ref> === Forme bilinéaire === La généralisation n'est néanmoins pas encore totale. Vers la fin du {{XIXe siècle}} [[Ferdinand Georg Frobenius]] <small>([[1849 en science|1849]] [[1917 en science|1917]])</small> découvre une nouvelle méthode pour étudier les [[groupe fini|groupes finis]]. Il les [[représentations d'un groupe fini|représente]] par un groupe d'[[application linéaire|applications linéaires]]. Il démontre que, pour un groupe donné, chaque représentation est construite à partir d'un nombre fini de [[représentation irréductible|briques élémentaires]]<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Darstellung der Endlichen Gruppen durch linear Substitutionen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1897 </ref>. Pour chacune de ces briques élémentaires, il considère une fonction, qui à chaque élément du groupe associe la [[Trace (algèbre)|trace]] de l'application linéaire associée. Cette application s'appelle le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère]] de la représentation. Les caractères des briques élémentaires sont tous orthogonaux entre eux<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen'' Zürich 1896</ref>. Cette propriété permet de déterminer simplement quelles briques élémentaires sont utilisées pour une représentation donnée. Elle est un des fondements de la théorie. Cette orthogonalité s'exprime à l'aide d'une [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]], absolument équivalente à une forme quadratique. Les groupes apparaissent comme un sous-ensemble de ''rotations'' dans l'espace. Si les ensembles de nombres choisis sont finis, le groupe des rotations est nécessairement fini. Cette méthode permet de construire des [[groupe simple|groupes simples]], briques élémentaires pour la construction de tout groupe fini. Ces ensembles de nombres ne sont plus ordonnés, l'équivalent de la distance ne peut donc être toujours positive. Frobenius n'est de loin pas le premier à s'intéresser à cette configuration. Euler étudiait déjà en arithmétique un problème analogue à celui de Fermat : ''x''<sup>2</sup> - ''n.y''<sup>2</sup> = 1 avec une forme quadratique pas toujours positive<ref>Cette équation porte le nom de [[équation de Pell-Fermat|Pell-Fermat]]. Son histoire est étudiée dans la référence suivante :[[André Weil]] ''Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre'' Birkhäuser Boston 1987 {{ISBN|0817631410}}</ref>. [[James Joseph Sylvester]] <small>([[1814 en science|1814]] [[1897 en science|1897]])</small> trouve en [[1852 en science|1852]] une [[Loi d'inertie de Sylvester|loi portant son nom]] qui indique que toutes les [[base (algèbre linéaire)|bases]] orthogonales contiennent le même nombre de vecteurs ayant une ''distance'' positive et le même nombre ayant une ''distance'' négative<ref>[[James Joseph Sylvester]] A démonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of sum of positive and negative square ''Philosophical magazine'' IV 1852 p 138-142 [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/sylv/inertia.pdf lire]</ref>. Le concept d'orthogonalité s'applique alors à une forme bilinéaire, qui ne correspond plus nécessairement à une distance euclidienne. En effet, au sens propre, une distance est toujours positive. Le formalisme moderne est plus tardif que la découverte des théorèmes fondamentaux. Les mathématiciens les découvrent souvent bien avant qu'une présentation simple et didactique soit disponible. Par exemple, le [[produit scalaire]] est une forme bilinéaire correspondant à une géométrie euclidienne. Sa définition est l'Å“uvre d'[[Hermann Weyl]] <small>([[1885 en science|1885]] [[1955 en science|1955]])</small> et date de [[1918 en science|1918]]<ref>[[Hermann Weyl]] ''Temps, espace, matière'' A. Blanchard 1979 {{ISBN|2853670333}}</ref>. Avec ce formalisme, les termes ''angle droit'' et ''perpendiculaire'' ne sont plus utilisés. === Définitions formelles === Soit (.|.) une [[forme bilinéaire]] définie sur ''E''x''F'' deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] sur un [[corps (mathématiques)|corps]] ''K''. {{Théorème|Définition 1| Soit ''M'' (resp. ''N'') une [[sous-ensemble|partie]] de ''E'' (resp. ''F''). L'orthogonal de ''M'' (resp. ''N'') correspond à l'ensemble des vecteurs ''y'' (resp. ''x'') de ''F'' (resp. ''E'') vérifiant la propriété suivante : <center><math>\forall m \in M \quad (m|y)=0\quad \text{et}\quad \forall n\in N \quad (x|n)=0</math><ref>Cette définition correspond par exemple à celle de {{Brezis}} p 22</ref></center>}} L'orthogonal de ''M'' (resp. ''N'') désigne ainsi l'ensemble des vecteurs de ''E'' (resp. ''F'') ''perpendiculaires'' à tous les éléments de ''M'' (resp. ''N''). Néanmoins, dans le contexte général de cette définition les termes de ''perpendiculaires'' et ''angle droit'' ne sont plus utilisés. {{Théorème|Définition 2| Deux vecteurs ''x'' et ''y'' de ''E'' et ''F'' sont dit orthogonaux pour la forme bilinéaire <math>\scriptstyle {(.|.)}</math> si et seulement si leur image par la forme bilinéaire est nulle : <center><math>(x|y) = 0\;</math></center>}} D'une manière plus générale, on dit qu'un ensemble ''M'' est orthogonal à un ensemble ''N'' si, pour tout élément ''m'' de ''M'' et tout élément ''n'' de ''M'', l'image (''m'' | ''n'') est nulle. L'orthogonal d'un ensemble ''M'' est souvent noté <math>\scriptstyle M^{\bot}</math> et la proposition ''x'' est orthogonal à ''y'' s'écrit <math>\scriptstyle {x\perp y}</math>. == Dimension finie == === Espace euclidien === Un [[espace euclidien]] ''E'' est un espace vectoriel réel de dimension finie, ici noté ''n'' et muni d'un produit scalaire (.|.). Au lieu de point, on parle en général de vecteur. La distance ''d'' entre deux vecteurs ''x'' et ''y'' est donnée par la formule suivante : <center><math>d(x,y) =\sqrt{(x-y|x-y)}</math></center> Si Φ est une [[sous-ensemble|partie]] de ''E'', alors l'orthogonal de Φ est un [[sous-espace vectoriel]] de ''E'' et plus précisément : {{Théorème|proposition 1| L'orthogonal de Φ est un sous-espace vectoriel [[sous-espace supplémentaire|supplémentaire]] de l'espace vectoriel engendré par Φ. L'orthogonal de <math>\scriptstyle \Phi^{\bot}</math> est l'espace vectoriel engendré par Φ.}} Cette proposition est une conséquence des propriétés sur l'orthogonalité démontrées dans l'article ''[[Forme bilinéaire]]''. Cette propriété apporte un intérêt à la notion de [[Projecteur (mathématiques)|projecteur]] parallèlement à son orthogonal. Une telle application est nommée [[projection orthogonale]]. On en déduit aussi que l'orthogonal du vecteur nul est l'espace entier et l'orthogonal de l'espace entier est le vecteur nul. Soient Φ<sub>1</sub> et Φ<sub>2</sub> deux parties parties de ''E'', alors : {{Théorème|proposition 2| Les relations d'orthogonalités suivantes sont vérifiées, si Vect(''A'') désigne l'espace vectoriel engendré par une partie ''A'' de ''E'' : <center><math>\text{Vect}(\Phi_1) \subset \text{Vect}(\Phi_2) \Rightarrow \Phi_2^{\bot} \subset\Phi_1^{\bot} ,\quad \Phi_1^{\bot}\cap\Phi_2^{\bot}=(\Phi_1 + \Phi_2)^{\bot}\quad \text{et}\quad \Phi_1^{\bot}+\Phi_2^{\bot}=(\Phi_1 \cap \Phi_2)^{\bot}</math></center>}} Ces relations sont démontrées dans l'article ''[[Forme bilinéaire]]''. L'orthogonal d'un vecteur non nul est un hyperplan et tout sous-espace vectoriel ''F'' différent de ''E'' s'exprime comme intersection d'[[hyperplan]]s. Plus précisément, tout sous-espace vectoriel de codimension ''p'', si ''p'' est un entier strictement positif, est l'intersection de ''p'' hyperplans. Comme tout hyperplan s'exprime comme l'orthogonal d'un vecteur, la deuxième propriété de la proposition ''2'' indique donc l'existence de ''p'' vecteurs (''v''<sub>i</sub>) pour ''i'' variant de 1 à ''p'' tel que : <center><math>F= \{x \in E\; / \;\forall i \in [1,p]\;(a_i|x)=0\}</math></center> Enfin, le [[Procédé de Gram-Schmidt|procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt]] montre l'existence d'une [[base (algèbre linéaire)|base]] orthogonale. Si (e<sub>i</sub>), pour ''i'' variant de 1 à ''n'', est une base orthogonale, alors tout vecteur ''x'' de ''E'' s'exprime comme une combinaison linéaire de la base à l'aide du produit scalaire et la norme de ''x'' comme une somme de carrés de produits scalaire de ''x'' avec les éléments de la base : <center><math>x= \sum_{i=1}^n \frac{(e_i|x)}{(e_i|e_i)}.e_i\quad \text{et}\quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(e_i|x)^2}{(e_i|e_i)}</math></center> Ces propriétés se déduisent de celles démontrées dans l'article ''[[Inégalité de Bessel]]''. Il traite aussi du cas où la famille n'est pas génératrice. === Espace hermitien === {{Article détaillé|Espace hermitien}} [[Charles Hermite]] <small>([[1822 en science|1822]] [[1901 en science|1901]])</small> généralise l'approche euclidienne sur les espaces [[nombre complexe|complexes]] qui portent maintenant son nom. Les conditions nécessaires et suffisantes d'orthogonalité précédentes ne s'appliquent plus. Si ''x'' et ''y'' sont deux vecteurs d'un espace hermitien ''H'', on dispose de la relation suivante : <center><math>x\perp y\Leftrightarrow \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = 0 \quad \text{et}\quad \|x+i.y\|^2 - \|x-i.y\|^2 = 0\quad </math></center> En revanche, toutes les propriétés décrites dans le paragraphe ''Espace euclidien'' restent valables. === Forme bilinéaire symétrique === Dans le cas d'une [[forme bilinéaire symétrique]] (.|.), il peut exister un sous-espace vectoriel orthogonal à l'espace entier ''E''. {{Théorème|Définition| Le '''noyau''' d'une forme bilinéaire symétrique est le sous-espace des vecteurs orthogonaux à l'espace entier ''E''. Une forme bilinéaire ayant un noyau non réduit au vecteur nul est dite '''dégénérée'''.}} L'orthogonal du vecteur nul est l'espace entier et l'orthogonal de l'espace entier est le noyau. De plus, tout orthogonal d'une famille Φ contient le noyau. Soit ''N'' le noyau de la forme (.|.) et ''M'' un supplémentaire du noyau dans ''E''. La restriction de (.|.) à ''M'' est non dégénérée. Sur cette restriction, les propositions ''1'' et ''2'' du paragraphe ''Espace euclidien'' restent valides. Ces résultats sont démontrés dans l'article ''[[Forme bilinéaire]]''. La [[réduction de Gauss]] montre l'existence de base orthogonal pour (.|.). Cette réduction s'applique aux formes quadratiques, cependant ''réduire'' une forme quadratique, c'est à dire trouver une base orthogonale pour cette forme quadratique revient à trouver une base orthogonale pour sa [[Identité de polarisation|forme polaire]]. Sylvester va plus loin dans son analyse. [[loi d'inertie de Sylvester|Sa loi]] stipule qu'il existe un couple d'entier (''q'', ''r'') tel que, pour toute base orthogonale (''e''<sub>i</sub>), L'expression (''e''<sub>i</sub> | ''e''<sub>i</sub>) est strictement positive exactement ''q'' fois, strictement négative exactement ''r'' et que le noyau de la forme bilinéaire est de dimension ''n'' - ''q'' - ''r''. Ici ''n'' désigne la dimension de ''E''. Le théorème de Weierstrass montre comment s'expriment les relations d'orthogonalités si deux formes bilinéaires symétriques dont l'une est définie positive sont en présence : {{Théorème|Théorème spectral en dimension finie| Soit ''E'' un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels (resp. des complexes) et Φ, Ψ deux formes bilinéaires symétriques (resp. [[forme sesquilinéaire|sesquilinéaire]]) de ''E'' tel que Φ soit définie positive. Alors il existe une base ''B'' de ''E'' [[base orthonormale|orthonormale]] pour Φ et orthogonale pour Ψ. Dans cette base, les coefficients de la matrice associée à Ψ sont tous réels.}} Ce théorème est démontré dans l'article ''[[Endomorphisme autoadjoint]]''. Il existe un équivalent de forme bilinéaire symétrique pour les espaces complexes, ce sont les formes [[forme sesquilinéaire|sesquilinéaires]]. Tous les résultats de ce paragraphe s'appliquent aussi à ces formes. === Cas général === Si la forme bilinéaire n'est pas symétrique, il existe encore un cas où il est possible de parler d'orthogonalité au sens précédent, celui des formes réflexives. {{Théorème|Définition| La forme bilinéaire est dite '''réflexive''' si et seulement si la propriété suivante est vérifiée: <center><math>\forall x,y\in E \quad (x|y)=0\Leftrightarrow (y|x)=0</math></center>}} La configuration est alors la même que celle de la forme bilinéaire symétrique. Sur un supplémentaire du noyau, la forme est non dégénérée et les propositions ''1'' et ''2'' du paragraphe sur les espaces euclidiens s'appliquent. Dans le cas général l'orthogonal du vecteur nul est l'espace entier et l'orthogonal de l'espace entier est le noyau. Enfin, tous les orthogonaux contiennent le noyau. Dans le cas général, il devient nécessaire de parler d'orthogonalité à gauche et à droite. Soit Φ une famille de vecteur, l'orthogonal à gauche de Φ est défini par l'ensemble suivant : <center><math>\{x\in E\;/\;\forall \varphi \in \Phi\quad (x|\varphi)=0\}</math></center> Si la forme bilinéaire est définie sur un produit ''E''x''F'' de deux espaces vectoriel, alors l'ambigüité n'existe pas. L'orthogonal d'une famille d'éléments de ''E'' est un sous-espace vectoriel de ''F'' et réciproquement. La [[codimension]] des noyaux à droite et à gauche sont les mêmes. Si ''M''<sub>1</sub> (resp. ''M''<sub>2</sub>) est un supplémentaire du noyau à gauche ''N''<sub>1</sub> (resp. à droite ''N''<sub>2</sub>), alors tout vecteur ''x'' (resp. ''y'') de l'espace de gauche (resp. de droite) s'exprime de manière unique comme somme d'un vecteur ''x''<sub>1</sub> (resp. ''y''<sub>1</sub>) du supplémentaire du noyau et d'un vecteur du noyau. La restriction de la forme bilinéaire à ''M''<sub>1</sub>x''M''<sub>2</sub> est non dégénérée et : <center><math>(x|y)=(x_1|y_1)\;</math></center> Plus de détails sur les orthogonaux dans cette configuration sont donnés dans l'article ''[[Forme bilinéaire]]''. == Dimension infinie == === Motivation === [[Image:Joseph Fourier.jpg|200px|right|thumb|[[Joseph Fourier]] utilise pour la première fois l'orthogonalité en dimension infinie pour résoudre l'[[équation de la chaleur]].]] En dimension finie, l'orthogonalité rend d'innombrables services. Il est tentant de généraliser sa définition aux espaces de dimensions quelconques et en particulier infini. Sous un formalisme un peu différent, c'est ainsi que [[Joseph Fourier]] <small>([[1768]] [[1830 en science|1830]])</small> résout l'[[équation de la chaleur]]<ref>[[Joseph Fourier]] ''Théorie analytique de la chaleur'' Firmin Didot Père et Fils Paris 1822. Réédition Jacques Gabay 1988 {{ISBN|2876470462}}</ref>. A deux fonctions ''f'' et ''g'', on associe le produit scalaire : <center><math>(f|g)=\int f(t)g(t)dt</math></center> Certain problèmes issues de la physique, comme l'équation de la chaleur ou celle de la [[Onde sur une corde vibrante|corde vibrante]] s'exprime comme un [[Opérateur (mathématiques)|opérateur linéaire]] disposant de bonnes propriétés vis-à -vis de son [[adjoint d'un endomorphisme|adjoint]]. Si la configuration est particulièrement favorable, par exemple si l'opérateur est [[opérateur compact|compact]] et [[endomorphisme autoadjoint|autoadjoint]], un résultat analogue à celui de la dimension finie apparaît. Il existe une base de [[Valeur propre (synthèse)|vecteurs propres]] orthogonaux et de norme ''un''. Le mot [[base de Hilbert|base]] prend ici une signification un peu différente de celle de la dimension finie. La famille est toujours libre, cependant ce n'est plus une [[combinaison linéaire]] qui représente un vecteur mais une [[Série (mathématiques)|série]] dont le carré de la norme de chaque vecteur est [[convergence absolue|absolument convergente]]. Puisqu'en dimension infinie les combinaisons linéaires deviennent des séries, un nouvel outil devient indispensable, la [[topologie]], permettant de donner un sens à la limite, c'est à dire à l'équivalent des combinaisons linéaires. Dans le cas général, cette limite n'est garantie d'exister que si l'espace est [[espace complet|complet]]. Pour cette raison, le cadre le plus simple pour étudier l'orthogonalité en dimension finie est celui d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire tel que la distance associée confère à l'espace la complétude. Plusieurs mathématiciens sont initiateurs de l'étude de la géométrie d'un espace vectoriel de cette nature, on peut citer [[Erhard Schmidt]] <small>([[1876 en science|1876]] [[1959 en science|1959]])</small> ou encore [[Ivar Fredholm]] <small>([[1866 en science|1866]] [[1927 en science|1927]])</small>. [[David Hilbert]] <small>([[1862 en science|1862]] [[1943 en science|1943]])</small> est néanmoins celui qui lui donne son nom<ref>[[Hermann Weyl]] David Hilbert and His Mathematical Work ''Bulletin of the American Mathematical Society'' 60 1944 p 612-654</ref>. [[John von Neumann]] <small>([[1903 en science|1903]] [[1957 en science|1957]])</small> donne la définition moderne du concept<ref>[[John von Neumann]] ''Zur Algebra der Funktionaloperatonen'' Mathematische Annalen N° 102 1930, pp. 370-427</ref>. Il existe certaines configurations où l'espace fonctionnel ne peut être équipé d'un produit scalaire. Une autre technique permet de bénéficier des propriétés d'orthogonalités, provenant de l'[[espace dual]]. En général n'est considéré que le [[dual topologique]], c'est à dire celui ne contenant que les formes linéaires bornées. Une fois encore l'hypothèse de la complétude de l'espace vectoriel ''E'' est fort utile. [[Stefan Banach]] <small>([[1892 en science|1892]] [[1945 en science|1945]])</small> propose la première formulation axiomatique moderne<ref>[[Stefan Banach]] Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales ''Fundamenta Matematicae'' 1922 [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or215.pdf Lire]</ref>. Son livre de [[1932 en science|1932]] sur la question<ref>[[Stefan Banach]] ''Theorie Des Operations Lineaires'' Chelsea Pub Co 2<sup>nd</sup> Ed 1999 {{ISBN|0828401101}} [http://banach.univ.gda.pl/e-operations.html Lire]</ref> est encore une référence. Un [[espace de Banach]] est un [[espace vectoriel normé]] [[espace complet|complet]]. === Espace de Hilbert === === Espace de Banach === Dans ce paragraphe ''E'' désigne un espace de Banach et ''E''<sup>*</sup> son [[dual topologique]], l'unique dont il est question ici. Ainsi le ''produit scalaire'' est remplacé par une forme bilinéaire souvent noté avec le ''crochet de dualité'' <.,.> utilisé dans ce paragraphe. Cette forme, encore parfois appelée ''produit scalaire'', est l'unique étudiée ici. En effet, toute forme bilinéaire d'un espace ''E'' dans un espace ''F'' est la composée d'un [[opérateur (mathématiques)|opérateur linéaire]] ''a'' de ''F'' dans le dual de ''E'' et du crochet de dualité. Les propriétés d'une telle forme bilinéaire sont les conséquences de celle de ''a'' et de son [[Opérateur adjoint|adjoint]]. La définition de l'orthogonalité est l'application de la définition générale. Ainsi, l'orthogonal d'une partie Ψ<sup>*</sup> du dual est le sous-espace vectoriel de ''E'' composé des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de Ψ<sup>*</sup>. On remarque qu'une autre définition aurait pu être utilisée, l'ensemble des éléments du [[espace bidual|bidual]] orthogonaux à Ψ<sup>*</sup>. Il existe une isométrie canonique entre ''E'' et le bidual, qui à ''x'' associe ''x''<sup>**</sup> définie par : <center><math>\forall y^* \in E^*\quad x^{**}(y^*)=\langle y^*,x\rangle</math></center> Dire que ''E'' est un [[espace réflexif]] revient à dire que l'isométrie est surjective et qu'il est possible d'identifier ''E'' avec le bidual. Dans toute la suite du paragraphe, l'orthogonal d'une partie de ''E''<sup>*</sup> désigne toujours un sous-espace vectoriel de ''E'', même si l'espace n'est pas réflexif.<ref>Les propositions ainsi que les démonstrations suivantes sont largement inspirées du {{Brezis}} p 23-26</ref> {{Théorème|Proposition 1| Soit ''F'' un sous espace vectoriel de ''E'', l'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math> est l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de ''F''. Soit ''G''<sup>*</sup> un sous-espace vectoriel de ''E''<sup>*</sup> l'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> contient l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. Si ''E'' est réflexif, alors l'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> est égal à l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. <center><math> (F^{\bot})^{\bot} = \overline F \quad\text{et}\quad (G^{*\bot})^{\bot} \supset \overline {G^*}</math></center>}} La ''proposition 2'' pour les espaces euclidiens prend une forme légèrement différente : {{Théorème|proposition 2| Soit ''F''<sub>1</sub> et ''F''<sub>2</sub> deux sous-espaces vectoriels [[Fermé (topologie)|fermés]] de ''E'' alors : <center><math>F_1\cap F_2= \Big(F_1^{\bot}+F_2^{\bot}\Big)^{\bot},\quad F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot} = (F_1+F_2)^{\bot} </math></center> <center><math>(F_1\cap F_2)^{\bot}\supset \overline{F_1^{\bot}+F_2^{\bot}},\quad \Big(F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot}\Big)^{\bot} = \overline {F_1+F_2}</math></center> }} Si ''F''<sub>1</sub> + ''F''<sub>2</sub> est un sous-espace fermé, alors la situation est proche de la configuration euclidienne. Le résultat suivant est plus profond, en conséquence, il est plus subtile à démontrer : {{Théorème|proposition 3| Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : :* <math>F_1 + F_2\;</math> est un sous-espace fermé de ''E''. :* <math>F_1^{\bot} + F_2^{\bot}</math> est un sous-espace fermé de ''E''<sup>*</sup>. :* <math>F_1 + F_2=(F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot})^{\bot}</math>. :* <math>F_1^{\bot} + F_2^{\bot}=(F_1 \cap F_2)^{\bot}</math>. }} {{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstrations}} :* '''L'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math> est l'adhérence de ''F'' :''' Remarquons dans un premier temps qu'un orthogonal est un sous espace fermé. Soit (''x''<sub>n</sub>) une suite de l'orthogonal d'une famille Φ<sup>*</sup> convergeant vers ''x''. Soit ''x''<sup>*</sup> un élément de Φ<sup>*</sup> : <center><math>\forall n \in \mathbb N\quad \langle x^*,y_n\rangle = 0</math></center> Un passage à la limite montre que ''y'' est aussi élément de l'orthogonal de Φ<sup>*</sup>. L'adhérence de ''F'' est donc contenu dans l'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math>. Réciproquement raisonnons par l'absurde. Soit ''x'' un élément de l'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math> qui ne soit pas dans l'adhérence de ''F''. Définissons ''S'' comme la [[somme directe]] de l'espace vectoriel engendré par ''x'' et ''F''. Considérons la forme linéaire ''y''<sub>1</sub><sup>*</sup> qui à tout vecteur ''λ.x'' + ''f'' de ''S'' associe λ. C'est une forme linéaire continue. La forme géométrique du [[théorème de Hahn-Banach]] montre l'existence d'une forme linéaire continue ''y''<sup>*</sup> qui prolonge ''y''<sub>1</sub><sup>*</sup> sur ''E''. Cette forme linéaire est nulle sur ''F'' et a pour image de ''x'' le scalaire ''un''. la forme ''y''<sup>*</sup> est élément de l'orthogonal de ''F'', mais n'est pas orthogonal à ''x'', en conséquence ''x'' n'est pas dans l'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math>. Cette contradiction montre que tout élément de l'orthogonal de <math>\scriptstyle {F^{\bot}}</math> est élément de l'adhérence de ''F'' et conclut la démonstration. :* '''L'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> contient l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. Si ''E'' est réflexif, alors l'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> est égal à l'adhérence de ''G''<sup>*</sup> :''' Montrons que <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> contient l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. Soit (''y''<sub>n</sub><sup>*</sup>) une suite de ''G''<sup>*</sup> convergeant vers une limite ''y''<sup>*</sup>. Soit ''x'' un élément de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math>, alors : <center><math>\forall n \in\mathbb N\quad \langle y_n^*,x\rangle=0</math></center> Un passage à la limite montre que ''y'' est orthogonal à ''x'' et donc orthogonal à <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math>. Ceci montre que l'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> contient l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. Réciproquement, supposons ''E'' réflexif. On raisonne par l'absurde comme précédemment. Soit ''y''<sup>*</sup> un élément de l'orthogonal de <math>\scriptstyle {G^{*\bot}}</math> qui ne soit pas dans l'adhérence de ''G''<sup>*</sup>. Définissons ''S''<sup>*</sup> comme la [[somme directe]] de l'espace vectoriel engendré par ''y''<sup>*</sup> et ''F''<sup>*</sup>. Considérons la forme linéaire ''x''<sub>1</sub><sup>**</sup> qui à tout vecteur ''λ.y''<sup>*</sup> + ''f''<sup>*</sup> de ''S''<sup>*</sup> associe λ. C'est une forme linéaire continue. La forme géométrique du [[théorème de Hahn-Banach]] montre l'existence d'une forme linéaire continue ''x''<sup>**</sup> qui prolonge ''x''<sub>1</sub><sup>**</sup> sur ''E''<sup>**</sup>. Comme ''E'' est réflexif, il existe un vecteur ''x'' de ''E'' tel que la forme linéaire sur ''E''<sup>*</sup> associée à ''x'' soit égal à ''x''<sup>**</sup>. La fin du raisonnement est analogue au précédent. :* '''Proposition 2 :''' : <math>F_1\cap F_2= \Big(F_1^{\bot}+F_2^{\bot}\Big)^{\bot}</math> Soit ''x'' un élément de l'intersection, il est orthogonal à tout élément de <math>\scriptstyle {F_1^{\bot}}</math> et de <math>\scriptstyle {F_2^{\bot}}</math> dont à tout élément de la somme. En conséquence l'intersection est incluse dans l'orthogonal de la somme. Réciproquement, la somme des orthogonaux de ''F''<sub>1</sub> et ''F''<sub>2</sub> contient tout élément de l'orthogonal de l'intersection de ''F''<sub>1</sub> et ''F''<sub>2</sub>. Comme l'intersection de deux fermés est un fermé, la proposition 1 permet de conclure que : <center><math>(F_1\cap F_2)^{\bot}\subset F_1^{\bot}+F_2^{\bot} \Rightarrow F_1\cap F_2=\Big((F_1\cap F_2)^{\bot} \Big)^{\bot}\supset \Big(F_1^{\bot}+F_2^{\bot}\Big)^{\bot}</math></center> Ce qui termine la démonstration. :<math>(F_1\cap F_2)^{\bot}\supset \overline{F_1^{\bot}+F_2^{\bot}} </math> C'est une conséquence de la proposition précédente et de la proposition 1. :<math>F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot} = (F_1+F_2)^{\bot} </math> Considérons un élément de l'intersection, il est par définition orthogonal à tout élément de ''F''<sub>1</sub> et de ''F''<sub>2</sub>. L'intersection est donc incluse dans l'orthogonal de la somme. Réciproquement soit un élément de l'orthogonal de la somme. Il est, par définition orthogonal aux élément de ''F''<sub>1</sub> et de ''F''<sub>2</sub>, ce qui termine la démonstration. :<math>\Big(F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot}\Big)^{\bot} = \overline {F_1+F_2}</math> C'est une conséquence de la proposition précédente et de la proposition 1. :* '''Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : ''' ::* <math>(1)\quad F_1 + F_2\;</math> est un sous-espace fermé de ''E''. ::* <math>(2)\quad F_1^{\bot} + F_2^{\bot}</math> est un sous-espace fermé de ''E''<sup>*</sup>. ::* <math>(3)\quad F_1 + F_2=(F_1^{\bot} \cap F_2^{\bot})^{\bot}</math>. ::* <math>(4)\quad F_1^{\bot} + F_2^{\bot}=(F_1 \cap F_2)^{\bot}</math>. :''(1)'' est équivalent à ''(3)'' : Cette proposition est une conséquence directe de la proposition précédente. :''(4)'' implique ''(2)'' : Si ''(4)'' est vraie, alors la somme est égal à un orthogonal, comme tout orthogonal est fermé, la somme est fermée. :''(1)'' implique ''(4)'' Réciproquement, si ''(2)'' est vraie, une proposition précédente montre que la somme des orthogonaux est incluse dans l'orthogonal de l'intersection. Soit ''y''<sup>*</sup> un élément de l'orthogonal de l'intersection. Soit ''G'' la somme de ''F''<sub>1</sub> et de ''F''<sub>2</sub>. Tout élément ''x'' de ''G'' est somme d'un élément ''x''<sub>1</sub> de ''F''<sub>1</sub> et d'un élément ''x''<sub>2</sub> de ''F''<sub>2</sub>. Soit ''z''<sub>2</sub><sup>*</sup> l'application qui à ''x'' associe < ''y''<sup>*</sup> , ''x''<sub>1</sub>>. Comme ''y''<sup>*</sup> est la forme linéaire nulle sur l'intersection de ''F''<sub>1</sub> et ''F''<sub>2</sub>, l'image de ''x'' par ''z''<sub>2</sub><sup>*</sup> est bien définie. La forme ''z''<sub>2</sub><sup>*</sup> est clairement liénaire. De plus, un corollaire du [[théorème de Banach-Schauder]], dit de ''l'application ouverte'' montre qu'il existe une constante ''C'' strictement positive telle que ''(la démonstration du corollaire est donnée dans l'article associée)'': <center><math>\exists x_1 \in F_1,\;\exists x_2 \in F_2\quad x=x_1+x_2\quad \text{et}\quad \|x_1\|\le C\|x\|,\;\|x_2\|\le C\|x\| </math></center> Cette propriété montre la continuité de ''z''<sub>2</sub><sup>*</sup>. Le [[théorème de Hahn-Banach]] sous sa forme géométrique montre qu'il est possible de prolonger ''z''<sub>2</sub><sup>*</sup> en une forme linéaire continue ''y''<sub>2</sub><sup>*</sup> sur ''E''. Définissons ''y''<sub>1</sub><sup>*</sup> comme la différence ''y''<sup>*</sup> - ''y''<sub>2</sub><sup>*</sup>. La forme ''y''<sub>1</sub><sup>*</sup> est nulle sur ''F''<sub>1</sub> et ''y''<sub>2</sub><sup>*</sup> est nulle sur ''F''<sub>2</sub>. Ce qui montre que ''y''<sup>*</sup> est bien élément de la somme des orthogonaux. :*''(2)'' implique ''(1)'' : {{Boîte déroulante fin}} === Applications === [[Image:Gibbs phenomenon 10.png|thumb|200px|left|Décomposition d'une fonction créneau sur des [[signal sinusoïdal|sinusoïdes]]. Seuls les dix premières sinusoïdes sont utilisées, proposant ainsi une approximation.]] [[Image:Gibbs phenomenon 50.jpg|thumb|200px|right|Avec 50 termes, la décomposition de la fonction créneau devient plus précise.]] La première application historique de l'orthogonalité en dimension infinie a pour objectif de résoudre une [[équation aux dérivées partielles]]. La nature offre de nombreux exemples où l'équation se traduit par un [[Opérateur (mathématiques)|opérateur linéaire]]. Tel est le cas, par exemple pour l'[[équation d'onde]] qui régit les [[onde sur une corde vibrante|mouvements d'une corde vibrante]]. Cette équation se résout simplement si la position initiale de la corde est une [[Signal sinusoïdal|sinusoïde]] de période la longueur de la corde divisée par un entier. Ces cas particuliers possèdent deux propriétés importantes. L'espace vectoriel approxime aussi précisément que souhaité toutes les positions initiales que peut prendre la corde (elle est supposée ne pas rompre, ce qui signifie que la position initiale est représentée par une fonction continue). De plus cette famille sinsoïdale est orthogonale, l'[[inégalité de Bessel]] permet de déterminer une [[combinaison linéaire]] qui approxime aussi précisément que souhaité la position initiale ou propose une série convergente vers cette position. Les figures de droite et de gauche illustrent deux approximations de la fonction créneau. La linéarité de l'opérateur permet d'évaluer la trajectoire de la corde par combinaison linéaire ou série. Cette technique, consistant à décomposer une fonction sur une famille orthogonale est à l'origine d'une vaste branche des mathématiques, appelée [[analyse harmonique]]. Pour cette raison, de nombreuses familles orthogonales ont été construites. Les [[polynômes orthogonaux]], comme ceux de [[polynôme de Legendre|Legendre]], [[Polynôme d'Hermite|d'Hermite]] ou [[Polynôme de Laguerre|de Laguerre]] sont de cette nature. Ils correspondent à trois produits scalaires différents. [[Image:HAtomOrbitals.png|thumb|right|270px|Orbites stables d'un électron de l'atome d'hydrogène. Ces orbites correspondent à des vecteurs propres orthogonaux.]] Le théorème de Weierstrass possède son équivalent sur un Hilbert. L'opérateur doit non seulement être [[endomorphisme autoadjoint|autoadjoint]] mais aussi [[opérateur compact|compact]]. Cette configuration correspond à une [[équation intégrale|équations intégrales]] étudiée par Hilbert et Schmidt. Comme en dimension finie, il existe une base de vecteurs propres orthogonaux. Cette équation intégrale possède une signification profonde en physique, elle représente par exemple les [[équations de Maxwell]]. La bonne propriété topologique de compacité n'est pas toujours présente. L'[[équation de Schrödinger]] est un exemple d'opérateur autoadjoint non compact, il n'est d'ailleurs pas continu. S'il existe toujours des vecteurs propres et s'ils sont toujours orthogonaux, ils ne forment plus une base de l'espace des solutions. Une fois encore, il est nécessaire d'élargir les définitions pour que les concepts restent opérationnels. Une valeur λ est dite [[valeur spectrale|spectrale]] pour l'opérateur ''a'' si ''a'' -λ.''Id'' n'est pas inversible. Il se peut que ''a'' -λ.''Id'' soit injectif et non surjectif. Dans ce cas, il n'existe pas de vecteur propre. Une autre théorie devient nécessaire, appelée [[théorie spectrale]]. La physique ne se contente pas des espaces de Hilbert. Un phénomène peut être suffisamment ''discontinu'' pour ''sortir'' du Hilbert, il est parfois modélisé par un [[Fonction δ de Dirac|pic de Dirac]], une espèce de fonction valant ''zéro'' partout sauf en un point ou elle vaudrait l'infini. Elle représente par exemple une probabilité de présence nulle partout sauf en un point où la position est certaine. Pour ''enrichir'' l'espace fonctionnel, il devient nécessaire d'utiliser des Banach et la [[théorie des distributions]]. Le produit scalaire devient le crochet de dualité. Si la physique est à l'origine de la généralisation de l'orthogonalité aux dimensions infinies, elle n'est de loin pas la seule cliente. La théorie des représentations s'étend aux [[groupe topologique|groupes continus]]. Les caractères deviennent des fonctions du groupe à valeur dans les nombres complexes. A l'aide d'une [[mesure de Haar|mesure]], comparable à l'intégrale sur les réels, un produit scalaire est défini. Les relations d'orthogonalités du cas fini se généralisent. Une fois encore, la décomposition en briques élémentaires est donnée par des relations d'orthogonalités entre les caractères. Cette approche consistant à décomposer une fonction sur une famille orthogonale est de même nature que celle utilisée pour étudier les mouvements d'une corde vibrante. Si le groupe choisi est celui des nombres complexes de [[module d'un nombre complexe|module]] ''un'', les résultats obtenus sont identiques. on retrouve par un autre chemin la théorie de l'analyse harmonique. Il devient possible de la généraliser à bien d'autres groupes. == Informatique == Le [[jeu d'instructions]] d'un [[ordinateur]] est dit ''orthogonal'' lorsque (presque) toutes les instructions peuvent s'appliquer à tous les types de données. Un jeu d'instruction orthogonal simplifie la tâche du [[compilateur]] puisqu'il y a moins de cas particuliers à traiter : les opérations peuvent être appliquées telles quelles à n'importe quel type de donnée. Un exemple typique est le [[VAX]] ou le [[PDP-10]]. == Notes et références == ===Notes=== <div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;"> <references /></div> === Liens internes === {{Algèbre bilinéaire}} === Liens externes === * {{fr}} [http://tanopah.jo.free.fr/seconde/ges3alpha.php Orthogonalité dans l'espace] par J. Onillon 2003. Ce site couvre le paragraphe intitulé ''géométrie d'Euclide''. * {{fr}} [http://melusine.eu.org/syracuse/exemples/nivaud/html/gespace/node9.html Géométrie dans l'espace en seconde] par D. Nivaud 2001 * {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/c/g/node17.php3 Orthogonalité] Les Mathématiques.net par C.Antonini, J.F. Quint, P. Borgnat, J. Bérard, E. Lebeau, E. Souche, A. Chateau, O. Teytaud 2001. * {{fr}} [http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~morame/SYM03/DiagHT/node32.html Orthogonalité, orthogonalisation de Gram-Schmidt] par L'Université de Nantes A. Morame 2006 * {{fr}} [http://www.iecn.u-nancy.fr/~mortajin/chapitre4.pdf Compléments d'algèbre bilinéaire] Mortajine A. Latif de l'Université Henri Poincaré-Nancy 1 2007 === Références === ==== Ouvrages mathématiques ==== * F. Casiro, A. Deledick ''Pythagore et Thalès'' Les éditions du Kangourou 1998 {{ISBN|2-87694-040-X}} {{Commentaire biblio|Un ouvrage didactique sur les bases de la géométrie avec quelques éléments relatifs à l'histoire. Il couvre l'orthogonalité pour la géométrie d'Euclide}} * Y. Sortais ''La Géométrie du triangle. Exercices résolus'' Hermann 1997, {{ISBN|270561429X}} {{Commentaire biblio|Ce livre s'adresse essentiellement aux élèves de la seconde à la terminale, ainsi qu'à leur professeur. Il propose des exercices sur le [[théorème de Thalès]], la [[projection orthogonale]], l'[[homothétie]], la [[symétrie]] et la [[rotation]], le [[Barycentre (géométrie euclidienne)|calcul barycentrique]], le [[produit scalaire]], ou encore la notion d'[[angle]].}} * Y. Ladegaillerie ''Géométrie pour le CAPES de mathématiques'' Ellipses Marketing 2002 {{ISBN|2729811486}} {{Commentaire biblio|Ce livre traite de géométrie élémentaire au programme du CAPES. Il contient plus de 600 figures géométriques et couvre la géométrie affine euclidienne ainsi que l'algèbre linéaire élémentaire.}} * {{Lang1}} {{Commentaire biblio|Ce livre couvre de manière extensive l'orthogonalité en dimension finie. Il est d'un niveau soutenu pour la dimension finie.}} * {{Brezis}} {{Commentaire biblio|Haïm Brezis propose une introduction à l'analyse fonctionnelle. Le livre présente à la fois l'aspect théorique et les applications.}} * B. Beauzamy ''Introduction to Banach spaces and their geometry'' Elsevier Science 1985 {{ISBN|0444878785}} {{Commentaire biblio| Un livre spécialisé sur les espaces de Banach. S'il est relativement exhaustif, son niveau est soutenu.}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Algèbre bilinéaire]] [[Catégorie:Espace vectoriel normé]] [[bg:ОртогоналноÑÑ‚]] [[ca:Ortogonal]] [[cs:Ortogonalita]] [[da:Ortogonal]] [[de:Orthogonalität]] [[en:Orthogonality]] [[eo:Ortogonalo]] [[es:Ortogonalidad (matemáticas)]] [[he:××•×¨×ª×•×’×•× ×œ×™×•×ª]] [[ja:直交]] [[nl:Orthogonaal]] [[pl:Ortogonalność]] [[ro:Ortogonalitate]] [[ru:ОртогональноÑть]] [[sr:ОртогоналноÑÑ‚]] [[sv:Ortogonalitet]] [[zh:æ£äº¤]]</text> </revision> </page>