Paradoxe de Gibbs 248357 31022872 2008-06-26T10:01:35Z Tizeff 273783 /* Explication */ \approx tout de même... {{ébauche|thermodynamique}} Le '''paradoxe de Gibbs''' est un pseudo-paradoxe en thermodynamique et physique statistique. Il intervient lors du calcul de l'entropie de mélange de deux [[gaz parfaits]]. Il a été nommé d'après le physicien [[Willard Gibbs]], pour sa découverte en 1861. == Introduction == On suppose qu'on a une boîte divisée en deux parties par un mur mobile. Dans une partie se trouve le gaz parfait "A", et dans l'autre le gaz parfait "B", qui sont à la même température et même pression. On s'intéresse à l'évolution de l'entropie lorsqu'on retire la séparation, c'est à dire lorsque les deux gaz se mélangent. Selon que les gaz sont identiques ou pas, on s'attend à obtenir deux résultats différents : * ''gaz différents'' : le processus est irréversible, et d'après le [[deuxième principe de la thermodynamique]], l'entropie doit augmenter. * ''gaz identiques'' : le processus est réversible, et l'entropie doit rester constante. On peut résoudre ce paradoxe en considérant que les particules d'un même gaz sont indiscernables, ce qui a son importance dans le calcul de l'entropie. == Calcul de l'entropie == On peut calculer l'entropie d'un gaz parfait de la manière suivante <ref> Il y a une formule similaire dans : {{Livre Diu etal}}. </ref> : :<math>S(T,V,N) = Nk \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N s</math> <math>s</math> est une constante dépendante du type de gaz. === Gaz différents === :<math>\begin{cases} V_1, p, T, N_1 \\V_2, p, T, N_2 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} V, p, T, N_1 \\V, p, T, N_2 \end{cases} </math> où <math>V= V_1 + V_2</math> et en considérant les pressions partielles <math>p_i = X_i \cdot p^{0}~</math>. L'entropie du système est la somme des entropies des deux gaz : <math>S_i(T,V,N)= S_{1i}(T,V,N) +S_{2i}(T,V,N)</math> Avant : :<math>S_i(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V_1)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) + \Big( N_2 k \big[\ln(V_2)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big)</math> Après : :<math> S_f(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) + \Big( N_2 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big) </math> On obtient alors la variation d'entropie suivante : :<math>\Delta S = (S_{1f} + S_{2f}) - (S_{1i} + S_{2i}) = k\big[N_1 \ln\Big(\frac{V}{V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{V_2}\Big)\big] > 0</math> === Gaz identiques === On trouve la variation d'entropie : :<math>\Delta S = S_f - (S_{1i} + S_{2i}) = k\bigg[N_1 \ln\Big(\frac{V}{V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{V_2}\Big)\bigg] > 0</math> On trouve le même résultat que précédemment, ce qui n'est pas logique ! On devrait trouver <math>\Delta S =0</math>. == Explication == Le problème se trouve dans le mauvais décompte des [[Micro-état|états microscopiques]] Ω d'un gaz. En effet, on considère l'[[ensemble microcanonique]], et il faut apporter une correction à Ω, dû à l'[[particules indiscernables|indiscernabilité]] des particules du gaz. :<math> \Omega \rightarrow \tilde \Omega = \frac{\Omega}{N!} </math> Le facteur <math> N! </math> provient du fait que lorsqu'on permute 2 particules ''identiques'' d'un état microscopique, on obtient le même état microscopique (les particules sont indiscernables !). C'est pourquoi, il faut diviser par <math> N! </math> (qui représente toutes les permutations possibles) pour correctement compter le nombre d'états microscopiques. :<math> S \rightarrow \tilde S = S - k\ln(N!) \approx S - kN \ln(N) </math><ref>Comme souvent en physique statistique, on utilise ici la [[formule de Stirling]] qui montre que <math>\ln(N!)\approx N\ln(N)</math> au premier ordre.</ref> === Gaz différents === Dans ce cas, on trouve toujours : : <math>\Delta \tilde S \ge 0</math> car :<math>\Delta \tilde S = \Delta S - k \big[ N_1 \ln(N_1) - N_2 \ln(N_2) \big] = k\bigg[N_1 \ln\Big(\frac{V}{N_1 V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{N_2 V_2}\Big)\bigg] > 0</math> === Gaz identiques === Dans le cas, où les gaz sont identiques, on obtient bien : : <math>\Delta \tilde S = 0</math> {{boîte déroulante|titre=Calcul|contenu= On calcul avec <math> \tilde \Omega = \frac{\Omega}{N!} </math> : :<math>\Delta \tilde S = \Delta S - k \big[ (N_1 + N_2) \ln(N_1 + N_2) - N_1 \ln(N_1) - N_2 \ln(N_2) \big] </math> :<math>\Delta \tilde S = k \bigg[ N_1 \ln \Big( \frac{V}{V_1} \frac{N_1}{N_1 + N_2} \Big) + N_2 \ln \Big( \frac{V}{V_2} \frac{N_2}{N_1 + N_2} \Big) \bigg] </math> Grâce à l'équation d'état des gaz parfaits, on obtient : :<math>pV = (N_1 + N_2)kT</math> : <math>pV_i=N_ikT</math> soit <math>\frac{V}{N_1 + N_2} = \frac{V_i}{N_i}</math> d'où : <math>\Delta \tilde S = 0</math> }} == Notes == <references/> == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Deuxième principe de la thermodynamique]] * [[Entropie]] * [[Démon de Maxwell]] * [[Particules_indiscernables]] === Bibliographie === * {{Livre Diu etal}}. {{portail physique}} [[catégorie:Thermodynamique]] [[catégorie:Physique statistique]] [[de:Gibbssches Paradoxon]] [[en:Gibbs paradox]] [[es:Paradoja de Gibbs]] [[it:Paradosso di Gibbs]] [[ja:ギブズのパラドックス]] [[ko:깁스 역설]] [[ru:Парадокс Гиббса]] [[zh:吉布斯悖论]]