Paradoxe de Gibbs
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2008-06-26T10:01:35Z
Tizeff
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/* Explication */ \approx tout de même...
{{ébauche|thermodynamique}}
Le '''paradoxe de Gibbs''' est un pseudo-paradoxe en thermodynamique et physique statistique. Il intervient lors du calcul de l'entropie de mélange de deux [[gaz parfaits]]. Il a été nommé d'après le physicien [[Willard Gibbs]], pour sa découverte en 1861.
== Introduction ==
On suppose qu'on a une boîte divisée en deux parties par un mur mobile. Dans une partie se trouve le gaz parfait "A", et dans l'autre le gaz parfait "B", qui sont à la même température et même pression. On s'intéresse à l'évolution de l'entropie lorsqu'on retire la séparation, c'est à dire lorsque les deux gaz se mélangent. Selon que les gaz sont identiques ou pas, on s'attend à obtenir deux résultats différents :
* ''gaz différents'' : le processus est irréversible, et d'après le [[deuxième principe de la thermodynamique]], l'entropie doit augmenter.
* ''gaz identiques'' : le processus est réversible, et l'entropie doit rester constante.
On peut résoudre ce paradoxe en considérant que les particules d'un même gaz sont indiscernables, ce qui a son importance dans le calcul de l'entropie.
== Calcul de l'entropie ==
On peut calculer l'entropie d'un gaz parfait de la manière suivante <ref> Il y a une formule similaire dans : {{Livre Diu etal}}. </ref> :
:<math>S(T,V,N) = Nk \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N s</math>
<math>s</math> est une constante dépendante du type de gaz.
=== Gaz différents ===
:<math>\begin{cases} V_1, p, T, N_1 \\V_2, p, T, N_2 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} V, p, T, N_1 \\V, p, T, N_2 \end{cases} </math>
où <math>V= V_1 + V_2</math> et en considérant les pressions partielles <math>p_i = X_i \cdot p^{0}~</math>.
L'entropie du système est la somme des entropies des deux gaz :
<math>S_i(T,V,N)= S_{1i}(T,V,N) +S_{2i}(T,V,N)</math>
Avant :
:<math>S_i(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V_1)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) + \Big( N_2 k \big[\ln(V_2)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big)</math>
Après :
:<math> S_f(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) + \Big( N_2 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big) </math>
On obtient alors la variation d'entropie suivante :
:<math>\Delta S = (S_{1f} + S_{2f}) - (S_{1i} + S_{2i}) = k\big[N_1 \ln\Big(\frac{V}{V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{V_2}\Big)\big] > 0</math>
=== Gaz identiques ===
On trouve la variation d'entropie :
:<math>\Delta S = S_f - (S_{1i} + S_{2i}) = k\bigg[N_1 \ln\Big(\frac{V}{V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{V_2}\Big)\bigg] > 0</math>
On trouve le même résultat que précédemment, ce qui n'est pas logique ! On devrait trouver <math>\Delta S =0</math>.
== Explication ==
Le problème se trouve dans le mauvais décompte des [[Micro-état|états microscopiques]] Ω d'un gaz. En effet, on considère l'[[ensemble microcanonique]], et il faut apporter une correction à Ω, dû à l'[[particules indiscernables|indiscernabilité]] des particules du gaz.
:<math> \Omega \rightarrow \tilde \Omega = \frac{\Omega}{N!} </math>
Le facteur <math> N! </math> provient du fait que lorsqu'on permute 2 particules ''identiques'' d'un état microscopique, on obtient le même état microscopique (les particules sont indiscernables !). C'est pourquoi, il faut diviser par <math> N! </math> (qui représente toutes les permutations possibles) pour correctement compter le nombre d'états microscopiques.
:<math> S \rightarrow \tilde S = S - k\ln(N!) \approx S - kN \ln(N) </math><ref>Comme souvent en physique statistique, on utilise ici la [[formule de Stirling]] qui montre que <math>\ln(N!)\approx N\ln(N)</math> au premier ordre.</ref>
=== Gaz différents ===
Dans ce cas, on trouve toujours :
: <math>\Delta \tilde S \ge 0</math>
car
:<math>\Delta \tilde S = \Delta S - k \big[ N_1 \ln(N_1) - N_2 \ln(N_2) \big] = k\bigg[N_1 \ln\Big(\frac{V}{N_1 V_1}\Big) + N_2 \ln\Big(\frac{V}{N_2 V_2}\Big)\bigg] > 0</math>
=== Gaz identiques ===
Dans le cas, où les gaz sont identiques, on obtient bien :
: <math>\Delta \tilde S = 0</math>
{{boîte déroulante|titre=Calcul|contenu=
On calcul avec <math> \tilde \Omega = \frac{\Omega}{N!} </math> :
:<math>\Delta \tilde S = \Delta S - k \big[ (N_1 + N_2) \ln(N_1 + N_2) - N_1 \ln(N_1) - N_2 \ln(N_2) \big] </math>
:<math>\Delta \tilde S = k \bigg[ N_1 \ln \Big( \frac{V}{V_1} \frac{N_1}{N_1 + N_2} \Big) + N_2 \ln \Big( \frac{V}{V_2} \frac{N_2}{N_1 + N_2} \Big) \bigg] </math>
Grâce à l'équation d'état des gaz parfaits, on obtient :
:<math>pV = (N_1 + N_2)kT</math>
: <math>pV_i=N_ikT</math>
soit <math>\frac{V}{N_1 + N_2} = \frac{V_i}{N_i}</math>
d'où
: <math>\Delta \tilde S = 0</math>
}}
== Notes ==
<references/>
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Deuxième principe de la thermodynamique]]
* [[Entropie]]
* [[Démon de Maxwell]]
* [[Particules_indiscernables]]
=== Bibliographie ===
* {{Livre Diu etal}}.
{{portail physique}}
[[catégorie:Thermodynamique]]
[[catégorie:Physique statistique]]
[[de:Gibbssches Paradoxon]]
[[en:Gibbs paradox]]
[[es:Paradoja de Gibbs]]
[[it:Paradosso di Gibbs]]
[[ja:ギブズのパラドックス]]
[[ko:깁스 역설]]
[[ru:Парадокс Гиббса]]
[[zh:吉布斯悖论]]