Paradoxe des deux enfants 723175 29194668 2008-05-02T11:45:49Z Alecs.bot 265428 robot Ajoute: [[fa:پارادوکس جنسیت]] Le '''[[paradoxe]] des deux enfants''' est l'un des plus connus des problèmes de la [[théorie des probabilités]]. ==Énoncé== <blockquote> « Sachant qu'une famille a deux enfants et que l'un d'eux est un garçon, quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon aussi ? » </blockquote> Cet énoncé manque de rigueur au point d'être ambigu et on peut lui donner deux interprétations différentes qui n'ont pas la même réponse : 1/3 pour l'une et 1/2 pour l'autre : #Soit un groupe de parents de deux enfants. Je demande à tous ceux qui ont au moins un fils de former un sous-groupe. Si je demande à un des parents du sous-groupe si son autre enfant est aussi un garçon, quelle est la probabilité qu'il réponde oui ? Réponse : 1/3. #:'''Explication''' : Dans le groupe de parents, nous avons 1/4 de parents de fille-fille (FF), 1/4 de fille-garçon (FG), 1/4 de garçon-fille (GF) et 1/4 de garçon-garçon (GG). Donc 3/4 des parents (FG, GF et GG) vont dans le sous-groupe. Seul 1/3 des parents du sous-groupe a aussi un garçon pour autre enfant, soit deux garçons (GG). Notons que 3/4 × 1/3 = 1/4 et on retrouve la part de GG dans le total. #J'arrive chez une connaissance dont je sais seulement qu'elle a deux enfants. Un enfant m'ouvre la porte, c'est un garçon. Quelle est la probabilité que le second enfant soit un garçon ? Réponse : 1/2. #:'''Explication''' : Avant d'ouvrir la porte, je sais que la famille contient FF, FG, GF ou GG. Après avoir ouvert la porte, je sais qu'elle contient GF ou GG et la probabilité que le second enfant soit G est 1/2. Si c'est une fille qui avait ouvert, alors je saurai que la famille contient FF ou FG. #:En revanche, s'il existait une coutume exigeant qu'un fils ouvre la porte, pour autant qu'il y ait un fils, alors la probabilité que le second enfant soit aussi un fils serait de 1/3. En effet, dans ce cas, après qu'un garçon m'aura ouvert la porte, alors je saurai que je suis dans le cas FG, GF ou GG car une fille ne peut ouvrir que dans le cas FF. Dans le cas FG, la fille doit céder sa place au garçon, ce qui influe sur les probabilités. ==Défauts de l'énoncé== On ne peut pas répondre car la procédure par laquelle l'information est obtenue n'est pas précisée. De façon générale, si A et B sont deux [[événement (mathématiques)|événement]]s (définis sans ambiguïté) d'un espace probabilisé (lui aussi non ambigu), il n'y a pas d'ambiguïté pour déterminer la probabilité conditionnelle de A sachant B. En revanche, si A est un événement et B une [[assertion]], on ne peut pas répondre à un exercice de la forme « On sait B ; quelle est la probabilité de A ? » Dans les cas les plus simples, on peut tenter de replacer cette question dans le cadre « probabilité conditionnelle de A sachant B » en interprétant l'assertion B comme un événement B. Il faut aussi noter que le tirage aléatoire est celui de la famille comportant deux enfants, et qu'on révèle ensuite que l'un des enfants est un garçon (pour mieux faire comprendre qu'on n'est pas dans la situation "un garçon ouvre la porte", on devrait plutôt dire "les enfants ne sont pas deux filles"). Ce n'est pas la même chose que de dire qu'on tire au hasard un garçon issu d'une famille à deux enfants. ===Hypothèses implicites=== Pour résoudre ce problème, nous faisons l'hypothèse que la probabilité d'avoir un garçon est de 50%. Dans la réalité, ce n'est pas tout à fait le cas. Nous faisons aussi l'hypothèse que les naissances sont des événements indépendants, ce qui n'est pas tout à fait vrai, ne serait-ce que dans le cas des [[jumeaux monozygotes]]. ===Formalisation avec deux événements=== *Soit A l'évènement : les deux enfants sont des garçons *Soit B l'évènement : l'un des deux est un garçon Formellement, on a l'égalité suivante : P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) La probabilité de A sachant B multipliée par celle de B est égale à la probabilité de B sachant A multipliée par celle de A. Donc P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) (voir [[Théorème de Bayes]]) Or P(B|A) = 1 car si les deux sont des garçons, alors l'un des deux est un garçon (toujours vrai) P(A) = 1/4 (idem démo ci-dessus) P(B) = 3/4 (idem démo ci-dessus) Ainsi P(A|B) = 1 × 1/4 / 3/4 = 1/3 La probabilité que les deux soient des garçons, sachant que l'un des deux en est un, est de 1/3. ==Voir aussi== ===Article connexes=== *[[Liste de paradoxes]] *[[Paradoxe probabiliste]] *[[Paradoxe des trois pièces de monnaie]] *[[Paradoxe des prisonniers]] [[Catégorie:Paradoxe probabiliste|Enfants]] [[en:Boy or Girl paradox]] [[fa:پارادوکس جنسیت]] [[it:Paradosso dei due bambini]]