Paradoxe des prisonniers 769617 30747502 2008-06-18T04:23:50Z Chicobot 211899 robot Modifie: [[en:Three Prisoners problem]] Le '''[[paradoxe]] des (trois) prisonniers'''<ref name="Pearl"> J. Pearl. ''Probabilistic reasoning in intelligent systems : networks of plausible inference.'' Morgan Kaufmann, San Mateo, 1988.</ref> proposé par J. Pearl est un simple calcul de [[probabilité]]s. Il ne doit pas être confondu avec le [[dilemme du prisonnier]] inventé par Merrill M. Flood et Melvin Dresher en 1950 et qui relève de la [[théorie des jeux]]. == Énoncé == <blockquote> Trois prisonniers sont dans une cellule. Ils savent que deux vont être condamnés à mort et un gracié, mais ils ne savent pas qui. L'un d'entre eux va voir le gardien et lui demande : « Je sais bien que tu ne peux rien me dire, mais tu peux au moins me montrer un de mes compagnons qui sera exécuté ». Le gardien réfléchit, se dit que de toutes manières au moins l'un des deux autres prisonniers sera condamné, et s'exécute. Le prisonnier lui répond alors : « Merci, avant, j'avais une chance sur trois d'être gracié, et maintenant, j'ai une chance sur deux. » </blockquote> Note: Évidemment, quiconque a en main la décision de grâce sait avec certitude qui est déjà gracié. Le problème se situe au point de vue du prisonnier. A-t-il raison de croire que sa probabilité d'être exécuté a varié? == Interprétations == On supposera équiprobables les chances des prisonniers. On exclut également le mensonge ou une forme de préférence dans la réponse du gardien. Désignons par ''r'' le prisonnier qui répond (le raisonneur), ''d'' le prisonnier désigné et ''t'' le troisième, et notons ''G'' le prisonnier qui est gracié. La valeur 1/2 correspond alors (ou semble correspondre) à la probabilité : <center><math> P( G=r | G\not=d ) = 1 / 2 </math>.</center> Cette probabilité prend bien en compte la réponse du gardien ''G ≠ d''. Mais, en réalité le raisonneur occulte ici une information importante : sa propre demande. Le raisonnement serait valable si sa demande avait été : « Peux-tu désigner l'un de nous trois qui sera condamné ? » Mais tel n'est pas le cas. Compte-tenu de l'ensemble des informations dont on dispose à la fin du dialogue, les chances de survie du raisonneur sont, non pas ''P''('' G=r | G≠d ''), mais ''P''('' G=r | I=d '') où ''I'' est la réponse du gardien à la demande du raisonneur. Un calcul de [[Probabilité conditionnelle|probabilités conditionnelles]] donne <center><math> P( G=r | I=d ) = {P( G=r )P( I=d | G=r ) \over P( I=d )} </math> ;</center> où par ailleurs <center><math> P( I=d ) = P( G=r )P( I=d | G=r ) + P( G=t )\, </math>.</center> Suivant les suppositions <center><math> P( I=d | G=r ) = 1/2 \quad\hbox{ et }\quad P( G=r ) = P( G=d ) = P( G=t ) = 1/3 </math> ;</center> donc <center><math> P( I=d ) = 1/2 \quad\hbox{ et }\quad P( G=r | I=d ) = 1/3 </math>.</center> ''P''('' I=d | G=r '') = 1/2 traduit l'absence de préférence dans la réponse du gardien. Cet a priori consiste à supposer que le gardien est neutre dans son choix. Cette supposition n'est pas de nature différente de celle de l'équiprobabilité. Toutefois, sans cette supposition, la réponse du raisonneur peut se justifier par sa conviction (infondée) que le gardien désigne ''d'' dès qu'il le peut (c’est-à-dire, ''P''('' I=d | G=r '')= 1). En revanche les chances de survie des autres prisonniers ont évolué : ''P''('' G=d | I=d '') = 0 exprime que le gardien ne ment pas, et <center><math> P( G=t | I=d ) = { P( G=t \hbox{ et } I=d ) \over P( I=d ) } = { P( G=t ) \over P( I=d ) } = { 1/3\over 1/2} = 2/3 </math></center> car ''G=t'' ⇒ ''I=d''. {| class="wikitable" |+ Les chances de survie des prisonniers ! ! ''r'' le raisonneur !! ''d'' le désigné !! ''t'' le troisième |---- | initialement|| 1/3|| 1/3|| 1/3 |---- | après la réponse du gardien|| 1/3 || 0 || 2/3 |} == Conclusions == Donc, le prisonnier n'a toujours qu'une chance sur 3 d'être gracié, par contre, l'information bénéficie au prisonnier non désigné, qui voit sa chance d'être gracié monter à 2/3. Si ce problème ressemble au [[paradoxe des deux enfants]] (même valeurs de probabilité), il en diffère par nature. Il s'agit d'un raisonnement fallacieux et non d'un véritable paradoxe. Bien que le flou sémantique soit patent : deux valeurs de probabilité sont avancées par le raisonneur sans clairement préciser les variables aléatoires associées ; il ne justifie en rien la valeur 1/2, qui révèle une contradiction interne dans les propos du raisonneur. J. Pearl a introduit le paradoxe des trois prisonniers dans le but de montrer que l'[[Inférence bayésienne|analyse bayésienne]] fournit un outil puissant de formalisation du raisonnement dans l'incertain. Cet exemple illustre surtout à quel point cet outil est délicat à employer. == Prolongement == Supposons maintenant que les prisonniers sont dans trois cellules individuelles numérotées. L'un des numéros a été tiré au sort et le prisonnier occupant la cellule associée à ce numéro sera gracié. Enfin le gardien offre au raisonneur la possibilité d'échanger sa place avec l'un de ses congénères. Que doit faire le raisonneur ? Eh bien, en permutant avec le troisième prisonnier, il s'approprie les chances de survie de ce dernier ; ses chances de survies passent donc de 1/3 à 2/3. Pour s'en convaincre, il faut considérer que le raisonneur se retrouve dans la situation d'un joueur confronté au [[problème de Monty Hall]]. == Voir aussi == === Article connexes === *[[Liste de paradoxes]] *[[Paradoxe probabiliste]] *[[Paradoxe des trois pièces de monnaie]] *[[Paradoxe des deux enfants]] *[[Problème de Monty Hall]] === Liens externes === * Patrick Fabiani. ''[http://www.cert.fr/dcsd/THESES/fabiani/manuscrit_fabiani/node149.html Le paradoxe des trois prisonniers]'', 1996. Expose divers raisonnements. === Références === <references/> [[Catégorie:Paradoxe probabiliste]] [[de:Gefangenenparadoxon]] [[en:Three Prisoners problem]] [[nl:De drie gevangenen]]