Parité (arithmétique) 153915 31361065 2008-07-06T22:49:30Z Xario 409272 /* Voir aussi */ de En [[arithmétique modulaire]], étudier la '''parité''' d'un [[entier]], c'est déterminer si cet entier est ou non un [[multiple]] de [[2 (nombre)|deux]]. Un entier multiple de deux est un entier '''pair''', les autres sont les entiers '''impairs'''. [[Euclide]] dans ses [[Éléments d'Euclide|Éléments]] (Livre VII et Livre IX - propositions 21 et suivantes) étudie les propriétés des nombres pairs et impairs et définit aussi les nombres pairement pairs (double d'un nombre pair) , pairement impairs (produit d'un nombre pair et d'un nombre impair), impairement impair (produit de deux nombres impairs) mais exclut de son étude le nombre 1 et le nombre 0. == Nombres pairs et impairs == En [[mathématiques]], tout entier, [[entier naturel|naturel]] ou [[entier relatif|relatif]] est soit pair soit impair. * S'il est multiple de [[2 (nombre)|deux]], c'est un nombre pair. Par exemple, les nombres : -4, 8, et 60, sont pairs. Le nombre [[0 (nombre)|zéro]] est pair, parce qu'il est égal à 2 multiplié par 0. * Sinon, le nombre est impair. Par exemple -5, 3, et 71 sont impairs. Le nombre [[1 (nombre)|un]] est impair, c'est le plus petit entier naturel impair. L'[[ensemble]] des entiers naturels pairs peut être écrit comme ceci : : ''Entiers naturels pairs'' = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =<math> \{2n;n \in \mathbb N\} = 2\mathbb N</math> et l'ensemble des entiers relatifs pairs peut s'écrire comme ceci : : ''Entiers relatifs pairs'' = {..., - 8, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...} =<math> \{2n;n \in \mathbb Z\} = 2\mathbb Z</math> De même, les ensembles des entiers impairs naturels ou relatifs s'écrivent : : ''Entiers naturels impairs'' = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} =<math> \{2n +1 ;n \in \mathbb N\} </math> : ''Entiers relatifs impairs'' = {..., - 9, - 7, - 5 , - 3, - 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} =<math> \{2n+1;n \in \mathbb Z\} </math> Tout entier naturel pair se décompose de manière unique en produit d'une puissance de deux et d'un entier naturel impair. : 18 se décompose en 2 × 9 : 504 = 8 × 63 = 2<sup>3</sup> × 63 == Arithmétique des nombres pairs et impairs == Les lois suivantes peuvent être vérifiées en utilisant les propriétés de la [[divisibilité]]. Elles sont un cas particulier de règles dans l'[[congruence sur les entiers|arithmétique modulaire]], et sont communément utilisées pour vérifier si une égalité semble correcte en testant la parité de chaque coté : === Somme et différence === Les règles analogues à celles-ci pour la divisibilité par 9 sont utilisées dans la méthode de [[preuve par neuf]]. * pair ± pair = pair ; * pair ± impair = impair ; * impair ± impair = pair. De manière plus générale, une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire. Une somme ou différence de plusieurs entiers impairs est * paire quand le nombre d'entiers qui la compose est pair * impaire quand le nombre d'entiers de la somme est impair. === Produit=== Ces règles sont valables parce que 2 est un [[nombre premier]]; les règles analogues pour la divisibilité par un nombre composé seraient plus complexes. * pair × pair = pair ; * pair × impair = pair ; * impair × impair = impair. === [[Divisibilité]] et quotient === Un nombre pair ne peut jamais diviser un nombre impair. Un nombre impair peut diviser un nombre pair mais alors, il divise aussi sa moitié. Le quotient de deux nombres entiers n'est pas nécessairement un nombre entier. Par exemple, 1 divisé par 4 égale 1/4, qui n'est ni pair ni impair, les [[concept]]s pair et impair ne s'appliquant que sur les entiers. Mais lorsque le [[quotient]] est un entier, c'est à dire quand l'un divise l'autre , on peut établir les règles suivantes * pair / impair = pair ; * impair / impair = impair ; * impair / pair n'est jamais un entier ; * pair / pair peut être pair ou impair. === Exposant === Si a est un réel strictement négatif, alors le signe de a<sup>n</sup> dépend de la parité de n * Si n est pair alors a<sup>n</sup> est positf * Si n est impair alors a<sup>n</sup> est négatif Si P est une fonction polynôme à valeur dans <math>\mathbb R</math> * Si tous les exposants de x sont pairs, alors, pour tout réel x, P(- x) = P(x) * Si tous les exposants de x sont impairs, alors, pour tout réel x, P(- x) = - P(x) On dit que les polynômes du premier type sont pairs et les polynômes du deuxième type sont impairs. : Si P(x) = x<sup>4 </sup> + 7x<sup>2</sup> - 5, alors P est pair : Si P(x) = x<sup>5 </sup> + 8x<sup>3</sup> - 6x, alors P est impair C'est cette référence à la parité de l'exposant qui a donné leur nom aux [[fonctions paires et impaires]] ==Résultats utilisant la parité== === Écriture en base === Un [[nombre]] exprimé dans le [[système de numération]] [[décimal]] est pair ou impair si son dernier [[chiffre]] est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair. Le même système est utilisable dans n'importe quelle [[base (arithmétique)|base]] paire. En particulier, un nombre exprimé en système de numération [[système binaire|binaire]] est impair si son dernier chiffre est 1 et pair si son dernier chiffre est 0. Dans une base impaire, le nombre est pair si la somme de ses [[chiffre]]s est paire, et est impair si la somme de ses chiffres est impair. === Nombres premiers, nombres parfaits === Tous les [[nombre premier|nombres premiers]] sont impairs, avec une exception : le [[nombre premier]] 2. La [[conjecture de Goldbach]] établit que chaque entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs modernes par [[ordinateur]] ont montré que cette [[conjecture]] est vraie pour les entiers inférieurs à 4 × 10<sup>14</sup>, mais la [[démonstration]] générale n'a pas encore été trouvée. Tous les [[nombre parfait|nombres parfaits]] connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair. === Structures === Les nombres pairs forment un [[idéal]] dans l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] des entiers, mais pas les nombres impairs. Un entier est pair s'il est [[congruence|congru]] à 0 [[modulo]] cet idéal, en d'autres mots s'il est congru à 0 modulo 2, et impair s'il est congru à 1 modulo 2. Le [[théorème de Feit-Thompson]] établit qu'un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est un nombre impair. Ceci est un exemple de nombres impairs jouant un rôle dans les théorèmes de mathématiques plus poussées où la méthode d'application d'un simple hypothèse d'"ordre impair" est loin d'être évidente. === Musique === Avec les [[instruments à vent]] qui sont cylindriques et clos à une extrémité, comme la [[clarinette]] à bec, les [[harmonique]]s produites sont des multiples impairs de la [[fréquence fondamentale]]. ==Voir aussi== {{Nombre}} ===Articles connexes=== *[[parité]] *[[parité (mathématiques)]] *[[Arithmétique modulaire]] {{Mathématiques}} [[Catégorie:Propriété arithmétique]] [[Catégorie:Arithmétique élémentaire]] [[ar:أعداد فردية وزوجية]] [[bg:Четни и нечетни числа]] [[ca:Nombre senar]] [[cs:Sudá a lichá čísla]] [[da:Lige og ulige tal]] [[de:Parität (Mathematik)]] [[el:Άρτιοι και περιττοί αριθμοί]] [[en:Parity (mathematics)]] [[es:Números pares e impares]] [[eu:Zenbaki bakoiti]] [[fi:Parillinen luku]] [[he:מספר זוגי]] [[hu:Páros és páratlan számok]] [[io:Para e ne-para nombri]] [[is:Oddatala]] [[it:Numeri pari e dispari]] [[ja:奇数]] [[ko:홀수와 짝수]] [[la:Numerus impar]] [[lmo:Nümar díspari]] [[lt:Lyginiai ir nelyginiai skaičiai]] [[ml:ഇരട്ടസംഖ്യകള്‍]] [[nds:Evene un unevene Tallen]] [[nl:Even]] [[nn:Oddetal og partal]] [[no:Partall]] [[pl:Liczby parzyste i nieparzyste]] [[pt:Números pares e ímpares]] [[ru:Чётные и нечётные числа]] [[simple:Even number]] [[sk:Párne číslo]] [[sl:Soda in liha števila]] [[sr:Парни и непарни бројеви]] [[sv:Jämna och udda tal]] [[th:จำนวนคู่และจำนวนคี่]] [[tr:Çift ve tek sayılar]] [[ur:جفت عدد]] [[zh:奇數和偶數]]